אודי

לגבי א', חיתוך עם ציר y קל למצוא מהשוואת x=0 וחיפוש פתרונות למשוואה http://www.codecogs.com/gif.latex?tcost=0 (אחד הרכיבים במכפלה צריך להתאפס, קל לדעת מתי זה קורה בקטע הנתון). לטעמי הדרך הכי נוחה לפתור את נקודות החיתוך עם http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Cpi היא אכן לצייר. http://www.codecogs.com/gif.latex?tsint=%5Cpi זו משוואה שאין לה פתרון אנליטי.

חשבתי שפתרת את א', יש שם תשובות :scratch: שדה משמר אם הוא נגזר מפונקציית פוטנציאל. אם היית מקבלת מאינטגרציה על הרכיבים שתי פונקציות שנבדלות זו מזה באיבר או יותר שמכילים גם את x וגם את y, סימן שאי אפשר למצוא פונקציית פוטנציאל והשדה לא משמר. דרך אחרת לדעת אם השדה משמר היא לחשב את הנגזרות המעורבות, כלומר את הנגזרת לפי y של רכיב x של השדה ואת הנגזרת לפי x של רכיב y של השדה. אם השדה משמר ונגזר מפונקציית פוטנציאל הנגזרות המעורבות יהיו זהות. הדרך השנייה היא מקרה פרטי לטענה הכללית יותר שהרוטור של שדה משמר מתאפס, כלומר שדה משמר מקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%5Cnabla%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BF%7D%20=%200

אם השדה הוא נגזרת של הפוטנציאל מתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?F=%5Cnabla%20U מכיוון ש-F הוא גרדיינט של הפוטנציאל את צריכה לעשות אינטגרציה לכל רכיב לפי המשתנה המתאים - אינטגרציה לפי x לרכיב i ואינטגרציה לפי y לרכיב j - כדי לשחזר את הפוטנציאל. תקבלי שתי פונקציות שאמורות להיות זהות פרט לכך שהראשונה יכולה להכיל איברים שהם פונקציה של x בלבד שלא יהיו בשנייה; השנייה יכולה להכיל איברים שהם פונקצייה של y בלבד שלא יהיו בראשונה. אלו איברים שנעלמו בגזירה החלקית. פונקציית הפוטנציאל המלאה תכיל את כל האיברים של שתי הפונקציות, כל איבר פעם אחת. כדי לבדוק את עצמך חשבי את הגרדיינט של הפונקצייה הזו ותקבלי את F. מהרגע שיש פונקציית פוטנציאל חישוב האינטגרל על C קל מאוד. פשוט מחשבים את הפרש הפוטנציאל בין נקודת הסיום לנקודת ההתחלה של C.

מכיוון שהכל פה מפורק לרכיבים של בסיס אורתונורמלי אין הרבה הבדל לעבוד עם וקטורים ב-R3 יותר אינטואיטיבי, רק שימי לב שאת כותבת את הטרנספורמציות נכון.

אכן. גם 1 היא פונקצייה. את יכולה לקרוא לה x^0 אם בא לך

האינטגרל הזה הוא אינטגרל משטחי מסוג ראשון. רעננתי את זכרוני, ונראה שהליך הפתרון הוא כזה: 1. צריך לבטא נקודה כללית על המשטח כפונקציה של שני משתנים בלתי תלויים. במקרה שלנו המשתנים המתאימים הם x ו-z, ומכיוון שנתון y=x^3 הביטוי המתאים לנקודה על המשטח הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D(x,z)=(x,x%5E3,z) 2. עכשיו צריך לחשב את השטח האינפיטיסימלי dS שעליו עושים אינטגרציה. הוא מוגדר כשטח של מקבילית אינפיטיסמלית בקואורדינטות הנ"ל על המשטח: http://www.codecogs.com/gif.latex?dS=%7C%5Cvec%7BS_x%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BS_z%7D%20%7C%5C,dx%5C,dz כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cvec%7BS_x%7D,%5Cvec%7BS_z%7D הן הנגזרות החלקיות של הוקטור S מהסעיף הקודם לפי x ו-z בהתאמה. קל לראות שמתקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS_x%7D=(1,3x%5E2,0) http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS_z%7D=(0,0,1) ולכן http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7BS_x%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BS_z%7D%20%7C=%5Csqrt%7B9x%5E4+1%7D 3. עכשיו צריך לחשוב על גבולות האינטגרציה. במקרה של x די ברור שהם 1 ו-2; במקרה של z הם אפס והפונקציה הנתונה f, שהצבנו בה y=x^3, כלומר: http://www.codecogs.com/gif.latex?1%5Cleq%20x%5Cleq2 http://www.codecogs.com/gif.latex?0%5Cleq%20z%5Cleq%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D 4. השטח הכולל הוא פשוט האינטגרל על dS שמצאנו בגבולות האלו. http://www.codecogs.com/gif.latex?S=%5Cint%20dS=%5Cintop_%7B1%7D%5E%7B2%7D%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D%7D%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%5C,%20dx%5C,%20dz מתחילים מאינטגרציה טריוויאלית על z, שאחריה האינטגרנד המקורי מצטמצם עם המכנה של הגבול העליון. נשאר אינטגרל על x^5 בין 1 ל-2. התוצאה היא לא 31, כמובן, אלא http://www.codecogs.com/gif.latex?64/6-1/6=63/6=10.5

כמו שאמרת, כלל יד ימין לא אומר מה הנורמל למשטח אלא מה הנורמל למסלול או למישור המסלול. אם אני מבין נכון את השאלה שואלים פה אם הנורמל למשטח והנורמל למסלול לפי כלל יד ימין מתלכדים/מקבילים. ...מה שטיפה מוזר בעיני, כי עקרונית אין שום סיבה שהם יתלכדו.

כל פולינום הוא פונקציה, ובפרט גם פונקציה קבועה (y=1) היא פונקציה מרחב הפולינומים הוא מרחב וקטורי של פונקציות.

היית אמורה לקבל את האינטגרל הזה כהגדרה של מומנט האינרציה של גוף קשיח. ההגדרה הזו היא הרחבה של הגדרת מומנט האינרציה של מסה נקודתית (http://www.codecogs.com/gif.latex?I=mr%5E2), אבל זו בדיוק הנקודה (:icon_giggle:): גם מומנט האינרציה של מסה נקודתית הוא הגדרה, לא הוכחה. אחרי שהגדרת מה זה מומנט אינרציה את יכולה להוכיח מתמטית (או לבדוק נסיונית) שהוא מקיים קשרים מסויימים (למשל שימור תנע זוויתי, או גרסת גוף קשיח לחוק השני של ניוטון).

ג' כמעט נובע מהגדרה. הבסיס אורתונורמלי למרחב, ולכן u שהוא חלק מהמרחב ניתן לפירוק לקומבינציה ליניארית מהסוג http://www.codecogs.com/gif.latex?u=av_1+bv_2+cv_3 כשאת עושה מכפלה לקומבינציה הזו עם כ"א מוקטורי הבסיס ופותחת אותה לפי הכללים של מכפלה פנימית (תוך שימוש באורתונורמליות הבסיס) נובע מכל משוואה שכ"א מהמקדמים הרלוונטים חייב להתאפס כדי שהמכפלה הפנימית תתאפס, כי המכפלות הפנימיות שוות ל-a,b ו-c בהתאמה.

ב' לא קשה. נתחיל את התהליך עם 1. את וקטור הבסיס הראשון צריך פשוט לנרמל. http://www.codecogs.com/gif.latex? ועל כן כדי לנרמל את 1 צריך לחלק אותו בשורש שלוש. אז וקטור הבסיס הראשון שלנו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1=1/%5Csqrt%7B3%7D נעבור לוקטור השני בתהליך. נבדוק מה ההיטל של וקטור הבסיס השני על הראשון: http://www.codecogs.com/gif.latex? מצויין, הם כבר ניצבים. זה אומר שלא צריך לחסר את ההיטל של http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1 כפול http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1 מהוקטור השני, רק לנרמל את הוקטור השני. http://www.codecogs.com/gif.latex? כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?v_2=x/%5Csqrt%7B2%7D נעבור לוקטור האחרון בתהליך. ראשית, נחשב את ההיטלים של שני הוקטורים הקודמים עליו: http://www.codecogs.com/gif.latex? http://www.codecogs.com/gif.latex? ההיטל של הוקטור השני מתאפס, אז צריך לחסר את ההיטל של הוקטור הראשון כפול הוקטור הראשון מ-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2 ולקבל וקטור חדש, http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2-2/3 ומכיוון ש: http://www.codecogs.com/gif.latex? צריך לנרמל (לחלק בפקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B2/3%7D) כדי לקבל את הוקטור השלישי, http://www.codecogs.com/gif.latex?v_3=%5Csqrt%7B3/2%7D*x%5E2-%5Csqrt%7B2/3%7D אפשר לודא שהוקטור הזה מנורמל.

כאמור, ההגדרה הכללית ביותר של מומנט האינרציה עבור גוף קשיח היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop%5Crho%20r%5E%7B2%7Dd%5EDr כאשר רו היא צפיפות המסה ומימד האינטגרל D כמימד הגוף המדובר, במקרה הזה D=1. ראשית הצירים שלפיה נקבע r נמצאת איפה שאת ממקמת את ציר הסיבוב. ואני די בטוח שהיית אמורה לראות את זה בהרצאה או בתרגול.

לא ראיתם בהרצאה/תרגול איך מחשבים מומנט אינרציה? כמו כל מומנט אינרציה. אנטגרל על הגוף על http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Crho%20r%5E2.

לא. רק אם ציר הסיבוב שלו הוא הקצה. אם הוא מסתובב סביב המרכז זה 1/12. ניתן לחשב מומונט אינרציה עבור כל מיקום ציר אחר באמצעות משפט שטיינר.

אוקי, מצאתי את האינטגרנד שלך. מכיוון שהמשטח נתון ע"י פרמטריזציה ב-x וב-z מהצורה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D(x,z)=(x,y(x),z) נובע שאלמנט השטח dS הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?dS=%7C%5Cvec%7BS_x%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BS_z%7D%20%7C%5C,dx%5C,dz=%5Csqrt%7By_x%5E2+1%7D%5C,dx%5C,dz=%5Csqrt%7B9x%5E4+1%7D%5C,dx%5C,dz אני מניח שאין פה טעות כי נראה שהשורש מתבטל עם המכנה בגבול העליון של z אחרי האינטגרציה ב-z. התוצאה הסופית היא 10.5. :oops:

גבולות האינטגרציה ל-z הם http://www.codecogs.com/gif.latex?0%5Cleq%20z%5Cleq%5Cfrac%7Bx%5E%7B5%7D%7D%7B%5Csqrt%7B1+9x%5E%7B4%7D%7D%7D ול-x (עליו את עושה אינטגרציה בסוף) http://www.codecogs.com/gif.latex?1%5Cleq%20x%5Cleq2

http://i182.photobucket.com/albums/x203/Udi_E/surf_zps15ffa479.jpg הנה המשטח שלך. גבולות האינטגרציה ל-x ול-z די ברורים, אבל האינטגרנד עצמו אמור להקבע לפי אינטגרל משטחי מסוג ראשון ואני פשוט לא זוכר איך מחשבים אותו

די ברור שהערך העצמי המדובר הוא אפס, הערך העצמי עם הערך המוחלט הקטן ביקום אפס הוא ערך עצמי של המטריצה כי השורות שלה תלויות. קל לאפס את השנייה והרביעית ע"י חיסור מכפלה בסקלר של השורות הראשונה והשלישית מהן, בהתאמה. את יכולה גם לחשב את הדטרמיננטה ולראות שהיא מתאפסת. היות ואפס הוא הע"ע המדובר שהוקטור הדרוש הוא ו"ע שלו, כל מה שאת צריכה לעשות הוא לכפול את הוקטור במטריצה ולהשוות לאפס. זה והפרטים הנוספים שנמסרים לך על הרכיבים יספיקו לך כדי לחשב את כל הרכיבים.

זה נכון? 8-[ כאמור היה שם משהו מוזר. מומנט האינרציה הוא חיבור של מומנט אינרציה של מסה נקודתית (הקליע) ושל מוט דק סביב ציר בקצהו האחד (השליש).

(ניסיון ראשון, יש משהו מוזר בפתרון הזה 8-[ ): 1. מומנט האינרציה הכולל של המערכת אחרי ההתנגשות הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?I=mL%5E2/3+mL%5E2=4mL%5E2/3 2. שימור תנ"ז נותן: http://www.codecogs.com/gif.latex?mv_0L=I%5Comega=4mL%5E2%5Comega/3 http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Comega=3v_0/4L 3. מרכז המסה ממוקם בגובה L/4 מתחתית המוט (מכיוון שהמוט בלי הקליע שקול למסה m באמצעו לצרכי חישוב מרכז מסה של המערכת). 4. ע"מ שהמוט ישלים זווית ישרה כל האנרגיה הרוטציונלית שלו צריכה להפוך לאנרגיה פוטנציאלית (להעלות את מרכז המסה לגובה 3L/4 ממיקומו ההתחלתי). 5. כלומר, שימור אנרגיה אחרי ההתנגשות נותן: http://www.codecogs.com/gif.latex?I%5Comega%5E2/2=2mgh http://www.codecogs.com/gif.latex?4mL%5E2/3*9v_0%5E2/16L%5E2/2=2mg*3L/4 http://www.codecogs.com/gif.latex?v_0=%5Csqrt%7B2gL%7D

ה-24 הזה לא נכון. הדטרמיננטה של המטריצה הזו (שמתקבלת אחרי שמוציאים את x+6 החוצה כסקלר) היא 162 והיא חיובית. בדקתי במטלב. :oops: ..מה שאתה מתאר לא נשמע כמו חישוב דטרמיננטה של מטריצה 5X5. מה עשית עם כל האחדים? :scratch: אפשר לדרג די בקלות את המטריצה הזו לצורה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccc%7D-2%20&%201%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C3%20&%20-3%20&%200%20&%200%20&%200%5C%5C0%20&%203%20&%20-3%20&%200%20&%200%5C%5C0%20&%200%20&%203%20&%20-3%20&%200%5C%5C0%20&%200%20&%200%20&%203%20&%20-3%5Cend%7Barray%7D%5Cright) ואז קל יותר לחשב את הדטרמיננטה שלה. ה-2- הראשון נותן פקטור של http://www.codecogs.com/gif.latex?%20-2*3%5E4 וכל 1 שבא אחריו נותן פקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?+3%5E4. סה"כ מתקבל שהדטרמיננטה שווה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?2*3%5E4=162

איך הגעת ל-24? עריכה: לגבי התרגיל השני, סכום הדטרמיננטות מתאפס. ראה הסבר מפורט בשרשור: http://forums.techstud.net/index.php/topic/4189-%D7%97%D7%99%D7%91%D7%95%D7%A8-%D7%A9%D7%9C-%D7%93%D7%98%D7%A8%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%A0%D7%98%D7%95%D7%AA/

אבל הסברתי :( פשוט מורידים את האיבר של משפט שטיינר, הוא לא רלוונטי. אם תסתכל על המספרים, תראה שאתה מקבל אז שהיחס בין מומנטי האינרציה הוא 4/3, ולכן נובע שהיחס בין התדירויות צריך להיות הפוך משימור תנ"ז.

על לא דבר :)

טוב, זה לא כ"כ קל לחישוב. נשאר שם למבדה טורדני ליד האלכסון הראשי. עדיין אפשר להוכיח באינדוקציה שהדטרמיננטה של הדבר הזה היא http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Clambda-1)%5EN, פשוט כי כל דטרמיננטה מכילה מכפלה של למבדה מינוס אחד בדטרמיננטה של המטריצה הקודמת בסדרה + מכפלה של מינוס למבדה בדטרמיננטה שאמורה להיות אפס טריוויאלית. כי היא של מטריצה עם עמודת אפסים. 8-[ ייתכן שלעשות את כל ההוכחה באינדוקציה יצא קצר יותר, כי ההוכחה עבור 2X2 קלה מאוד ואז צריך רק לקשר בין מטריצה NXN למטריצה N+1XN+1.