אודי

החוק לגזירת מכפלה שבו אתה משתמש כדי להשיג ביטוי אנליטי לנגזרת מניח באופן מובלע שכ"א מהפונקציות במכפלה גזירה בנקודה שבה אתה משתמש בו. ההנחה הזו אינה תקפה נקודתית ב-x=0 כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin(1/x) אינה גזירה שם. ...לכן הכלל לא ניתן ליישום בנקודה הזו והביטוי לא מתאר את הנגזרת שם, גם לא ברמה הגבולית.

מספיק שהנגזרות החלקיות לא יהיו שוות כדי שהשדה לא יהיה משמר.

1. אתה מחשב נפח, כלומר אינטגרל על יחידה בכל התחום המתואר. אחרי אינטגרציה טריוויאלית ב-z (נע בין אפס ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin%20(x%5E2+y%5E2)) מעבירים את האינטגרל לקואורדינטות פולריות ומתקבל אינטגרל על http://www.codecogs.com/gif.latex?r%20%5Csin%20(r%5E2) כאשר r בין אפס לשורש פאי ותטא בין אפס לשני פאי. האינטגרל ב-r פתיר אנליטית, כי האינטגרנד הוא הנגזרת של http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Ccos%20(r%5E2)/2. האינטגרל בתטא טריוויאלי. 2. משפט הדיברגנץ. השטף של השדה דרך המעטפת שווה לאינטגרל הנפחי של הדיברגנץ של השדה. מכיוון שהדיברגנץ קבוע (3), התוצאה היא פשוט נפח האליפסואיד כפול 3. את נפח האליפסואיד אפשר לחשב ע"י מעבר לקואורדינטות אליפטיות מתאימות: http://www.codecogs.com/gif.latex?x=r%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Cphi http://www.codecogs.com/gif.latex?y=r%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5Csin%20%5Cphi http://www.codecogs.com/gif.latex?z%20=%202r%20%5Ccos%20%5Ctheta היעקוביאן יוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?2r%5E2%20%5Csin%20%5E2%20%5Ctheta. אינטגרציה על פי בין אפס לשני פאי, על תטא בין אפס לפאי ועל r בין אפס לאחד. 3. מחשבים את הגרדיינט למשטח בנקודה. לאחר גזירה חלקית והצבת ערכי x,y,z של הנקודה מתקבל שהגרדיינט שווה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?(e%5E2,e%5E2,-4e%5E2)=e%5E2(1,1,-4). ניתן למצוא את וקטור הכיוון של הישר מבחירת שתי נקודות עליו וחישוב ההפרש ביניהן (למשל (2,2,1) ו-(7-,4,4)) ואז מתקבל ששני הוקטורים, הגרדיינט למשטח בנקודה ווקטור הכיוון של הישר, פרופורציונים, כלומר הישר ניצב למישור המשיק למשטח.

יש מצב שזו טעות הדפסה? הרי זה אומר בפרט שערכי y של המסלול השני שונים (בין 1- ל-1, לא מגיעים ל-50) וזה לא ייתכן אם הרצים נעים על אותו מסלול

אני חושב שזה אמור לנבוע מהתוצאות של האינטגרלים המשטחיים הנ"ל (שלא מתאפסים?). אתה יכול לחלק את האינטגרלים המשטחיים על הכדור והאליפסה לשני חלקים, לאינטגרלים על שני משטחים שהגבול שלהם הוא אותו מסלול (מעגל/אליפסה). אם F הוא דיברגנץ של G, אזי לפי משפט גרין האינטגרל המשטחי על כל חלק שווה לאינטגרל המסלולי על G עם כיוון השעון ונגד כיוון השעון, שזה אותו אינטגרל עד כדי סימן. כלומר, הסכום של שני האינטגרלים שהוא האינטגרל המשטחי הכולל על הכדור/אליפסה אמור להתאפס. אם האינטגרל המשטחי בסעיף א' או ב' לא מתאפס לא יכול להיות שהשדה הנ"ל רוטור של שדה אחר.

שנייה

אורך המסלול נכון. אפשר למצוא אותו גם משיקולים פשוטים יותר, כמו השוואה בין המסלולים הנתונים לפרמטריזציה סטנדרטית של מעגל http://www.codecogs.com/gif.latex?x=R%20%5Ccos(%20%5Comega%20t) http://www.codecogs.com/gif.latex?y=R%20%5Csin(%20%5Comega%20t) (אפשר לנמק את ההשוואה זה בכך שניתן לראות מהנתון שמכיוון ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=R%5E2 הפרמטריזציה הנתונה מתאימה למעגל סביב הראשית) מההשוואה ברור מיד ש-R=50 ולכן אורך המסלול הוא פשוט ההקף: http://www.codecogs.com/gif.latex?l=2%5Cpi%20R=100%5Cpi ...לפי הדרך הפורמלית המלאה, אם את מתעקשת עליה, את צריכה לעשות אינטגרל קווי מסוג ראשון על זמן מחזור של המסלול, שהוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%202%20%5Cpi%20/%20%5Comega.

או שיש גבול שונה להגדרת הנגזרת כשמגיעים לנקודה ממסלולים שונים

אם אפשר לבנות פונקציה שרציפה בנקודה אחת בלבד אפשר (כנראה, לא מתחייב לפני שאני רואה את הדוגמא שלך) לבנות ממנה פונקציה שגזירה באותה נקודה בודדת שבה היא רציפה השאלה למה זה טוב

יש לך שלוש משוואות פה לשלושת הרכיבים של הגרדיינט. נסמן: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20=(a_x,a_y,a_z) מהנגזרת המכוונת את מקבלת: http://www.codecogs.com/gif.latex?a_x+2a_y+2a_z=1%20%5Ctimes%20%7C(1,2,2)%7C=3 מגזירה בשרשרת של הפונקציה לפי x (והצבת x=1 כנתון בנקודה) את מקבלת: http://www.codecogs.com/gif.latex?a_x+4a_z=3 מגזירה בשרשרת לפי y (והצבת y=2 כנתון בנקודה) את מקבלת: http://www.codecogs.com/gif.latex?a_y+4a_z=-5 הפתרון של המערכת הזו הוא (קל למצוא מהצבת http://www.codecogs.com/gif.latex?a_x,a_y משתי המשוואות האחרונות בראשונה): http://www.codecogs.com/gif.latex?(a_x,a_y,a_z)=(7,-1,-1) ...וזה נותן את הנורמה המבוקשת אז זה כנראה נכון

2. עד כמה שידוע לי הקדם היחיד למעבדה הזו הוא הקורס פיסיקה 1/1מ'. אני די בטוח שאם היה קדם נוסף הוא היה מופיע ב-UG. http://ug.technion.ac.il/rishum/mikdet.php?MK=114032&SEM=201203

את לא הראשונה שאומרת את זה היום... http://forums.techstud.net/index.php/topic/6625-%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C%D7%99%D7%9D/

נראה לי שיש בעייה מתודית להניח בהוכחה קיום פרמטריזציה שחוזרת לאותו ערך של פרמטר, אפילו שמדובר בחזרה לאותה נקודה במסלול סגור. הפרמטר צריך להיות מונוטוני (למשל, זווית שעולה בערך של 2pi). ...אבל נראה לי בסדר להניח שהנגזרת באותה נקודה מוגדרת באופן חד ערכי, גם אם הערך של הפרמטר שונה בכל מקרה, בבירור כוונו פה לכך שתשתמשו בגרין...

למה אתה מכפיל ב-(y,0)? :scratch: האינטגרל הזה הוא פשוט אינטגרל על http://www.codecogs.com/gif.latex?F_ydy כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?F_y הוא רכיב y של השדה (ומותר להציב בו x=0).

1. (נראה לי) כדי שאורך וקטור הגרדיינט יהיה גדול מאפס. אם יש וקטור גרדיינט שונה מאפס שלושת המשיקים חייבים להיות ניצבים לו ולכן חלק ממישור אחד שהוא ניצב אליו. תסתכל על פונקציית הכדור f=x^2+y^2+z^2 בראשית הצירים. הראשית (0,0,0) היא "משטח רמה", אבל הגרדיינט למשטח שווה שם לאפס וכיוונו לא מוגדר היטב, וכמובן שאי אפשר לדבר על עקומים או על משיקים להם. 2. לא אם רוצים לפתור עם משפט גרין. הוא מחייב גזירה נוספת ולכן מגיעים לנגזרת השלישית של f. 3. תסתכל על תחום A שמכיל את החצי העליון של מישור xy, בלי הראשית, ותחום B שמכיל את החצי התחתון של מישור xy, בלי הראשית. כ"א מהתחומים פשוט קשר אבל האיחוד שלהם לא פשוט קשר. ולכן אם יש שדה וקטורי שמשמר בכל תחום פשוט קשר (כי יש לו נקודה סינגולרית בראשית) הוא ישמר ב-A, ישמר ב-B, אבל לא באיחוד שלהם.

1. אפשר לראות שתחום האינטגרציה עבור כל z קבוע בין אפס לאחד הוא אליפסה, ולכן אתה עובר לקואורדינטות פולריות מתאימות: http://www.codecogs.com/gif.latex?x=2r%20%5Ccos%20%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?y=3r%20%5Csin%20%5Ctheta היעקוביאן הוא 6r. 2. תחום האינטגרציה הוא אפס עד שני פאי בתטא, אפס עד http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B1+z%5E2%7D ב-r, וכמובן 0-1 ב-z. השאר לא בעייתי.

כנראה שבהצבת הגבולות באינטגרלים על הקווים הישרים. כל פעם שאתה ב-1 (x=1/y=1) ומציב את הגבול באקספוננט אתה מקבל את פקטור e המתאים (8e או 7e).

מה קרה לאברים שנוצרו בהצבת הגבולות ב-2cosx? כי זה מה שנותן לך את ה-4- שחסר לך. (את מציבה פאי ואפס ב-4x+2sinx+2cosx ולא שוכחת את המינוס היחסי בין שתי הקצוות).

מכיוון שהפרבולה השנייה חותכת את השורש החיובי (ליתר דיוק, את השורש החיובי ואת שניהם בראשית, אבל השטח הכלוא הוא עם השורש החיובי). שוב, אפשר לראות את זה משרטוט.

(לפי סדר אינטגרציה) http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20z%20%5Cleq%20xy http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2%20%5Cleq%20y%20%5Cleq%20%5Csqrt%7Bx%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%201 ...אם את משרטטת את שתי הפרבולות (ב-x וב-y) במישור xy את רואה שהן חותכות זו את זו ב-(0,0) ו-(1,1).

לא הצלחתי להבין למה 3pi/4. :scratch: ערכי z חיוביים יש לך כאשר פי בין 0 ל-pi/2. אם תכתבי את הגבול התחתון של תחום האינטגרציה ב-z שלך (החרוט) בקואורדינטות פולריות תקבלי את אי השוויון http://www.codecogs.com/gif.latex?r%20%5Ccos%20%5Cphi%20%5Cgeq%20r%20%5Csin%20%5Cphi ומכיוון ש-r חיובי, אפשר לצמצם אותו ולקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%20%5Cphi%20%5Cgeq%20%5Csin%20%5Cphi אי השוויון הזה מתקיים בחצי החיובי של ציר z עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?0%5E%7B%5Ccirc%7D%5Cleq%20%5Cphi%20%5Cleq%2045%5E%7B%5Ccirc%7D ובהמרה לרדיאנים את מקבלת את התחום המבוקש. שוב, שימי לב שכדי שערכי z ישמרו על אותה מגמה שהייתה להם לפני החלפת המשתנים (עלייה) את צריכה להגדיר את תחום האינטגרציה בפי הפוך, כלומר מ-pi/4 עד אפס.

הגבול של פי לא נכון. זה מ-pi/4 עד אפס (אם את מכסה את z בכיוון עולה אז בפי הסדר יורד). מאיפה הגיע 3pi/4?

לא. ...אתה תוכל להקטין את האנרגיה שלה (אפקט דופלר יחסותי) אבל לא לשנות את המהירות.

1. אני חושב שהתבלבלת וזה צריך להיות http://www.codecogs.com/gif.latex?P_y=Q_x, לפחות איך שהשדה הזה מוגדר פה. הנגזרות המעורבות של פונקציית הפוטנציאל, אם קיימת. 2. יש כמה שלילות אפשריות. פה זה אם השדה שייך ל-C1, בתחום פשוט קשר אבל http://www.codecogs.com/gif.latex?P_y%20%5Cneq%20Q_x השדה לא משמר. אני מניח שאפשר לנסח משהו כאשר התנאי של הקשירות יוצר בעיות (או לפונקציות לא רציפות), אבל זה מסובך יותר ולא עולה לי כרגע :oops:

זו הנחה שגוייה. שרטט את המשולש ואת הוקטור vt ותראה שבזמן שמרכז המוט התקדם מהראשית ב-vt הקצוות שלו התקדמו ב-vt כפול שורש שתיים. x גדל בקצב מהר יותר מ-vt, לא איטי יותר.