אודי

הגבול באפס או באינסוף?

העובדה שלא נתקלת במשהו לא אומרת שהוא טעות. http://www.codecogs.com/gif.latex?x' הוא פשוט משתנה אינטגרציה שונה מ-x. הייתי יכול לכתוב באותה מידה y או z במקום http://www.codecogs.com/gif.latex?x'.

כי זה אומר שכל ערך מימין ומשמאל יהיה גדול יותר. מאינטגרציה על הנגזרת ורציפות הפונקציה. http://www.codecogs.com/gif.latex?f_%7B(x)%7D=f_%7B(x_%7Bmin%7D)%7D+%5Cintop_%7Bx_%7Bmin%7D%7D%5E%7Bx%7Df'(x')dx' האבר השני תמיד חיובי.

כן, זה עובד. נניח שיש וקטור נוסף (a,b,c) שהוא פתרון של המערכת A'x=0. אז בפרט נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?(a,b,c)1=(a,b,c)3=(a,b,c)5 כש-1,3,5 הן השורות במטריצה המקורית A. ומזה נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?A(a,b,c)=C(1,0,1,0,1) עבור קבוע כלשהוא C. אם נחלק את (a,b,c) ב-C נקבל ש-(a,b,c) חייב להיות כפולה של (1,2,3) (ב-C^-1).

יש לי ניסיון :oops: נדרג את המטריצה באופן הבא: נחסר את השורה השלישית מהראשונה, את החמישית מהשלישית ואת הראשונה מהחמישית. קבלנו מטריצה חדשה, A', כשהוקטור (1,2,3) פורש את מרחב הפתרונות של A'x=0 (אפשר להראות שכל וקטור אחר צריך להיות כפולה שלו). הסכום של מימד מרחב הפתרונות (1) ומימד המטריצה (מימד מרחב העמודות המבוקש) הוא מספר העמודות (3). מכאן ברור שמימד המטריצה ובפרט מרחב העמודות הוא 2.

אוקי, צודק, זה לא היה מלא. :oops: שים לב שהמישור המשיק מוגדר פה באופן רציף על כל המרחב. המישור המשיק מכיל בתוכו את וקטור הגרדיינט במקדמים של http://www.codecogs.com/gif.latex?(z-z_0),(y-y_0),(x-x_0) מכך שאומרים לך שהמישור המשיק מוגדר באופן רציף על כל המרחב אתה יכול להסיק שגם הגרדיינט רציף בכל המרחב, ובפרט: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20=%20(x+z,-y-z,x-y)

מחכה לאינקוג, אני מניח

אם יש מישור משיק בכל נקודה, אז נובע שבכל נקודה קיים למשטח גרדיינט סופי שמתאר את הוקטור הניצב לו אם לפונקצייה יש גרדיינט סופי בכל נקודה היא גזירה בכל נקודה אם היא גזירה בכל נקודה היא רציפה בכל נקודה, כי גזירות היא דרישה חזקה יותר מרציפות. עריכה: תוספת - שים לב שהמישור המשיק מוגדר פה באופן רציף על כל המרחב. המישור המשיק מכיל בתוכו את וקטור הגרדיינט במקדמים של http://www.codecogs.com/gif.latex?(z-z_0),(y-y_0),(x-x_0) מכך שאומרים לך שהמישור המשיק מוגדר באופן רציף על כל המרחב אתה יכול להסיק שגם הגרדיינט רציף בכל המרחב, ובפרט: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20=%20(x+z,-y-z,x-y)

4. זו שאלת המשך ונראה שחסרים פה נתונים, כלומר השאלה הקודמת שתתן פרטים על המשטח http://www.codecogs.com/gif.latex?z(x,y) 5. מהצבת t=1 בארגומנטים http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t), http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t) של הפונקצייה החדשה אתה מקבל ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?g(1) מתאימה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0,1,2). כדי למצוא את הנגזרת של g, אתה צריך לחשב את הנגזרות החלקיות של f בנקודה (0,1,2) ולהכפיל אותן בנגזרות של הפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t), http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t) בנקודה 1: http://www.codecogs.com/gif.latex?g'(1)=f_x(0,1,2)x'(1)+f_y(0,1,2)y'(1)+f_z(0,1,2)z'(1) לאחר חישוב כל הנגזרות הרלוונטיות מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?g'(1)=4%20%5Ctimes%200%20+%205%20%5Ctimes%203%20+%20(-5)%20%5Ctimes%206%20=%20-15

3. השאלה הזו די זדונית. א. הטריק פה הוא כזה - אתה צריך לשים לב שהנגזרות הוקטוריות המבוקשות הן לא סתם נגזרות וקטוריות, אלא נגזרות וקטוריות של העקומים r1,r2 בנקודה (1,2,3) (אפשר לראות מהצבת t=1 ו-u=0 בהצגה הפרמטרית של העקומים).. כלומר, הנגזרות האלו מתארות את כיוון המשיק לעקום בנקודה (1,2,3). המשיק לעקום על משטח מאונך לגרדיינט למשטח באותה נקודה, ולכן שני וקטורי הנגזרות מאונכים לגרדיינט בנקודה. זה אותו גרדיינט שיוצר יחד איתם את המקבילון. ב. מסעיף א' ומהפשטות של הנגזרות הוקטוריות (יוצאות הוקטורים (1,1,1) ו-(0,2,0)) נובע שבחישוב נפח המקבילון כדאי לבצע מכפלה וקטורית בין שני וקטורי הנגזרות (יוצא הוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(2,0,-2)) ג. עכשיו יש לך מכפלה סקלרית של הוקטור מב' עם הגרדיינט כדי לחשב את נפח המקבילון. מכיוון שמדובר בוקטורים מקבילים, התוצאה היא פשוט הגודל של הוקטור מב' כפול גודל וקטור הגרדיינט, כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Csqrt%7B8%7D%20%7C%5Cnabla%7Bu%7D(1,2,3)%7C ד. מכיוון שאתה יודע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Csqrt%7B8%7D נובע מסעיף ג' ש-[tex |\nabla{u}(1,2,3)|=1[/tex]. זה אפילו לא חסם עליון, הם סתם השתמשו בניסוח הזה כדי לשמור על ערפול לגבי הזוויות במקבילון.

1. יש לך שני נתונים על הנקודה (a,b,c): א. היא על הישר, ולכן מקיימת את משוואת הישר. מזה נובע b=2a ו-c=3a ולכן גם הגודל המבוקש מקיים 2a+b+c=7a ב. היא הנקודה הקרובה ביותר לנקודה (1,1,1) מה שאומר שהוקטור (a-1,b-1,c-1) מאונך לוקטור הכיוון של הישר, (1,2,3). כשאתה מציב במכפלה הסקלרית של ב' את התוצאה של א' אתה מקבל 14a=6 או 7a=3 שהיא תשובה ד'. 2. זה חישוב סטנדרטי של אינטגרל משטחי. הקוארדינטות שלך פולריות, וההצגה הפרמטרית המתאימה של המשטח S היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?x=r%20%5Ccos%20%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?y=r%20%5Csin%20%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?z=1-r(%5Ccos%20%5Ctheta%20+%20%5Csin%20%5Ctheta) כאשר r בין אפס ל-2 ותטא בין אפס לשני פאי. אחרי שאתה מחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cd%5Cvec%7BS%7D%7C=%7Cd%5Cvec%7BS,_r%7D%20%5Ctimes%20d%5Cvec%7BS,_%5Ctheta%7D%7C אתה מקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cd%5Cvec%7BS%7D%7C=%5Csqrt%7B3%7Dr ואז האינטגרציה על ds פשוטה. התשובה היא http://www.codecogs.com/gif.latex?4%5Cpi%5Csqrt%7B3%7D

לא נראה לי שפספסת משהו. נראה לי שיש טעות בתרגיל. 1. ההגדרה של העבודה לא נכונה. היא צריכה להיות מוגדרת עם הדיפרנציאל dr ולא עם המיקום r. איך שהעבודה מוגדרת פה לא היית אמור בכלל לגזור את המסלול כדי לחשב את המכפלה הסקלרית, אבל ברור שהם התכוונו שתגזור (כי האינטגרל שמתקבל בלי גזירה לא פתיר אנליטית). 2. החזקה של האקספוננט שמתקבלת אחרי הצבת x+y היא http://www.codecogs.com/gif.latex?9-t%5E2. בתחומי t הנתונים זה אומר שצריך לקבל חזקות של 6 ו-9 לאקספוננט אחרי הצבת הגבולות, לא 3 ו-0. לדעתי y של המסלול אמור להיות http://www.codecogs.com/gif.latex?3-2t%5E2 ולא http://www.codecogs.com/gif.latex?9-2t%5E2 (לחילופין, החזקה של האקספוננט בשדה צריכה להיות x+y-6). זה נותן את התשובה שהם רוצים.

לילה טוב :)

אוקי, זה בסדר, אבל אתה עדיין מקבל בסוף סתירה כשאתה מחפש את הערך של t ב-(1,1), כי אתה מקבל מספר( (tg(t)^(2/3 ) שהוא וההופכי שלו שווים לחצי

1. עקום החיתוך הוא מעגל ברדיוס יחידה (http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=1) בגובה http://www.codecogs.com/gif.latex?z=1. אפשר לראות את זה אם מציבים http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=2-z%5E2 במשוואה http://www.codecogs.com/gif.latex?z=x%5E2+y%5E2 (את מקבלת משוואה ריבועית ב-z עם שני פתרונות, כשהפתרון השלילי נפסל מכיוון ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?z=x%5E2+y%5E2 חיובי) 2. הרוטור של F הוא, כאמור, (1,1,1). הנורמל לעיגול הוא הוקטור (0,0,1) מסיבות ברורות (העיגול מקביל למישור xy). 3. לכן מה שנשאר לך מסטוקס הוא פשוט מכפלה סקלרית של שני הוקטורים - שיוצאת קבועה, 1 - ומכפילה את האינטגרל על השטח של העיגול - שהוא פאי (עיגול ברדיוס יחידה).

אתה יכול להשתמש באיזו פרמטריזציה שבאה לך כל עוד היא מתאימה למסלול, אבל פה לא נראה לי שהיא מתאימה. לדעתי אם תציב אותה בשוויון תקבל סתירה (הקבוע r שווה לפונקציה משתנה של הפרמטר t). הרמז מוביל אותך הישר לתשובה מהצבה...

לא בלי קשר לתחום, אם קיימת פונקציית פוטנציאל אז הנגזרות המעורבות שלה חייבות להיות שוות אם הנגזרות לא שוות אין פונקציית פוטנציאל והשדה לא יכול להיות משמר

המישור המשיק למעגל? איך הוא יעזור לך? :scratch: אם את מציבה את משוואת המישור במשוואת הכדור את מקבלת פונקצייה שמתארת את הקשר בין x ו-y של מעגל החיתוך, אבל לא את z. אני לא יודע אם יש משמעות לגרדיינט של הפונקצייה הזו במרחב תלת ממדי - הגרדיינט יוצא וקטור דו ממדי ולכן לא יכול להיות מאונך למעגל, שמוגדר בתלת ממד. אין קשר בין z של הנקודה לגרדיינט. הקיצר, לא נראה לי שאפשר לפתור את השאלה מהכיוון הזה (כי את נפטרת ממימד ותקועה בדו ממד כשהוקטורים שאת צריכה בסופו של דבר תלת מימדיים). (ואפילו אם אפשר, כנראה לא כדאי)

לא, אם הוא משיק למעגל הוא חייב להיות איתו באותו מישור. את יכולה להדגים לעצמך עם מטבע ואצבע ...אחרת הוא לא משיק למעגל אלא "מצטלב" למעגל

המישור הנתון בשאלה, שהוא המישור שחותך את הכדור, והמישור עליו המעגל והמשיק למעגל נמצאים.

1. העברתי אגף וגזרתי (לא שהיה צריך, כי באגף השני יש קבוע שממילא נעלם בגזירה). הגרדיינט פה לא מחייב צורה מפורשת לחישוב. 2. ההצגה הפרמטרית שלך לא נכונה. לפי ההצגה הזו הישר מקביל לציר z, והוא לא (בפרט ערכי x,y משתנים). אם תציב את ערכי הנקודה (7-,4,4) במשוואת הישר המקורית תראה שמתקבלת זהות (2=2=2), כלומר הנקודה על הישר.

...האמת שאפשר גם לפתור בלי אלימינציה. מהרגע שאת עושה את שתי המכפלות הסקלריות האלו (המשיק מאונך לגרדיינט למישור והמשיק מאונך לרדיוס) יש לך שתי משוואות בשלושה משתנים לרכיבים של הוקטור המשיק. אם את בוחרת אקראית רכיב אחד את מקבלת את השניים האחרים מהמשוואות. הוקטור שקבלת צריך להיות פרופורציוני לאחת התשובות.

אפשר להסתבך אבל לא כדאי. 1. המשיק למעגל נמצא על המישור הנ"ל, ולכן הוא מאונך לגרדיינט למישור; 2. המעגל עובר דרך הראשית, ולכן המשיק מאונך גם לוקטור מהראשית לנקודה P (הרדיוס של המעגל); מבדיקת המכפלות הסקלריות הרלוונטיות, הוקטור היחידי מהתשובות שמקיים את שתי הדרישות הוא ה'. ..אם זה לא היה המצב אז היה צריך להסתבך :)

אבל ההנחה שבאמצעותה הגעת לפונקציה הזו (שתי הפונקציות במכפלה גזירות) לא תקפה באפס. ולכן לא חייב להיות קשר בין הפונקציה לבין הנגזרת באפס. כשאתה מנסה להשליך הגדרה מחוץ לתחום התקפות שלה תקבל באופן טבעי סתירות ודברים לא אינטואטיביים ...אתה יכול באותה מידה להתפלא מכך ש-x^-1 מקבלת ערך סופי בכל נקודה ליד אפס אבל אינסוף באפס עצמה ("איך זה יכול להיות? הרי בכל נקודה ליד אפס יש ערך מוגדר וסופי!"). וגם, אין שיפועים שהולכים וקרבים לאפס בפונקציה עצמה. כמו שאמרת, לפונקציה אין שום גבול באפס.