אודי

מרצה אמר איפה? מתי? באיזה הקשר? :scratch: איזה גבול יש לך פה באינטגרל? זה אינטגרל על קטע סופי. אם אתה מדבר על הגבול של סכומי רימן, הוא לא רלוונטי, כי הוא לא מונע החלפת סדר סכימה ואינטגרציה באינטגרל רגיל בסכום של, נגיד, שתי פונקציות. תכונת הליניאריות הידועה של אינטגרלים: http://upload.wikimedia.org/math/8/c/9/8c9d45cbaafdb0128c6afe26f707a355.pngבסכום אין לך שום לקיחת גבול. זה סכום על אינסוף איברים לאורך כל הדרך.

לא הבנתי למה המשפט לא אמור לתפוס. גם אם יש אינסוף פונקציות אפשר לחלק את האינטגרל על סכומן לאינסוף אינטגרלים ולסכום אותם. אינטגרציה היא פעולה ליניארית וזה לא תלוי במספר האיברים בסכום. אם קטע האינטגרציה היה אינסופי זה היה עניין אחר, כי שם באמת יש לקיחת גבול. פה יש לך אינסוף פונקציות שאתה יכול לעשות עליהן אינטגרציה לפני או אחרי שאתה מחבר אותן. אבל הן יישארו אינסוף לפני או אחרי. בשום שלב לא היה לך מספר פונקציות סופי שהשאפת אותו לאינסוף.

שוב, אם אתה מתחיל אותו מ-2 הוא מתכנס. אם אתה מתחיל אותו מ-1 כמו שדרשתי הוא מתבדר. אם זה לא משכנע אותך, תסתכל על הטור שהוא הערך המוחלט של הטור הזה. אז בהצבת n=1 מתקבלת זהות עקרונית לגבול של, נגיד, ערך מוחלט של אחד חלקי x באפס. אינסוף. מבחן ההשוואה הגבולי לא דורש שהגבול יהיה שונה מאפס. הוא קובע כללים מסויימים לגבולות סופיים וכללים אחרים לאפס. קבלנו מקרה שבו מבחן ההשוואה הגבולי לא מתקיים עבור טור עם סימנים מתחלפים כמו שדרשת.

על איזה טור אתה מדבר עכשיו? כי הטור שצטטת מתבדר. דברנו על זה. כי האבר הראשון הוא אינסוף והסכום של השאר אכן מתכנס לפי מבחן האינטגרל. בנוסף, נתתי לך דוגמא נוספת טובה יותר.

יש לי דוגמא יותר טובה בשבילך. תסתכל על הטור המתבדר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D ועל הטור המתחלף המתכנס (לייבניץ) http://www.codecogs.com/gif.latex?(-1)%5En%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bn%7D%7D המנה שלהם היא http://www.codecogs.com/gif.latex?q=%5Cfrac%7B(-1)%5En%20%5Csqrt%7Bn%7D%7D%7Bn%7D והגבול הוא אפס באינסוף, אבל דווקא הטור הראשון מתבדר והשני מתכנס, ולפי מבחן ההשוואה הגבולית שניהם היו צריכים להתכנס.

נו, אז ממש הצבתי אחד וקבלתי חילוק של מספר סופי חיובי באפס. זה אינסוף. ...אם מפריעה לך הכפילות האפשרית בסימן של האיבר הראשון תסתכל על טור שהוא ערך מוחלט של הטור הראשון. הגבול יהיה אחד אבל מעבר לזה הרעיון אותו רעיון.

איך אני יכול לחשב את הגבול (החד צדדי מימין) של הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D באפס? אותו הדבר.

זה מעט מאולץ, אבל למשל הטורים http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B1-n%5E2%7D ו- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D הגבול הוא 1-, אבל הטור הראשון מתבדר (כי בפרט האבר הראשון בו הוא פלוס אינסוף והסכום השלילי של שאר האברים סופי, מבחן האינטגרל) והשני מתכנס.

טור שכל איבריו שלילייים אפשר לכתוב כמינוס של טור חיובי. ברור שהמינוס לא ישנה את ההתכנסות של הטור (רק את הסימן של הסכום), ולכן אפשר לעשות את המבחן עם שני טורים חיוביים ולהסיק מהטור (שכולו) חיובי על הטור (שכולו) שלילי המקביל.

המבחן לא מדבר רק על הגבול של היחס באינסוף? 8-[

לא לגבי ההגדרה השנייה. ההגדרה השנייה היא למצוא לכל אפסילון חלוקה מסומנת שהיא וכל העידונים שלה נמצאים במרחק קטן מאפסילון מ-I. http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral#Riemann_integral

ההגדרה המקורית נשמעת קטגורית ו"הרמטית" יותר (אם כי היא שקולה לחלוטין לשנייה). ...אני מניח שאם אתה מעוניין להבטיח שהאינטגרל מתכנס קל יותר להגדיר דרישה מחמירה ואז לראות איך אפשר להקל אותה מאשר ההפך. אני בספק אם ההגדרה המקורית נועדה להיות פרקטית להוכחת אינטגרביליות.

זה לא ערבוב, זו ההגדרה המקורית. "לכל חלוקה" משמעותו כל החלוקות המסומנות של כל החלוקות הלא מסומנות. שוב, ההגדרה המקורית לא פרקטית לבדיקה, והאמת גם לא הכי פרקטי לעבוד עם אוסף חלוקות מסומנות. נוח יותר לעבוד עם חלוקה מסומנת אחת ולעדן אותה.

אני מסכים אתך שההגדרה הראשונה מסורבלת הבאתי לך הגדרה חלופית ששקולה אליה ופשוטה יותר תכ'לס, נראה לי שההגדרה שלך שקולה להגדרה השנייה שהבאתי, אבל ההגדרה השנייה שהבאתי עדיין פשוטה יותר כי היא מחייבת סריקת עידונים של חלוקה מסומנת במקום סריקה של סימונים של חלוקה לא מסומנת ומציאת חלוקות לא מסומנות שונות לכל אפסילון, שפחות נוח לעשות באופן שיטתי

אם אתה מסתכל על חלוקה לא מסומנת עדיין מוגדר לך טווח ערכים ולא ערך אחד לתוצאה של סכום רימן.... ואז לא ברור מאיפה ולאן אתה מחשב את האפסילון שלך. אתה צריך לבחור חלוקה מסומנת אחת. מסתבר שהגדרה לפיה לכל אפסילון ניתן למצוא חלוקה מסומנת אחת שמרחק סכום רימן שלה מהערך של האינטגרל קטן מאפסילון לה ולכל עידון שלה שקולה להגדרה המקורית של האינטגרל (סכומי רימן של כל החלוקות עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא נמצאות במרחק קטן מאפסילון מהאינטגרל) . http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_integral#Riemann_integral לא זכרתי את זה.

חלוקה מסומנת אחת כוללת בחירה של ערכי c. אם אתה מדבר על חלוקה לא מסומנת אז החלוקה שלך לא ספציפית ולא אחת.

שוב, המוטיבציה מאחורי ההגדרה של אינטגרל רימן כפי שהיא היא מציאת פונקציה קדומה/חישוב שטח מתחת לגרף הפונקציה. ההגדרה שלך לא טובה כי היא מאפשרת להגדיר פונקציות שאין להן פונקציה קדומה/שטח מתחת לפונקציה מוגדרים היטב כפונקציות אינטגרביליות. למשל, תסתכל על האינטגרל של פונקציית דיריכלה, ששווה לקבוע a בנקודה רציונלית ול-0 בנקודה לא רציונלית, בקטע [1 0]. לפי ההגדרה שלך היא אינטגרבילית רימן, כי אפשר (למשל) לבחור סדרת חלוקות עם פרמטר חלוקה קטן והולך שבה כל קטע מיוצג ע"י ערך בנקודה רציונלית - ואז האינטגרל הזה הוא a. ...אבל ברור שלפונקציה הזו אין פונקציה קדומה ואין שטח מתחת לפונקציה מוגדרים היטב, כי לפי ההגדרה שלך אפשר באותה מידה לבחור סדרת חלוקות עם פרמטר חלוקה קטן והולך שבה כל קטע מיוצג ע"י נקודה לא רציונלית - ואז האינטגרל הזה הוא 0. אם הגבול של סכומי רימן תלוי בבחירת החלוקה אינטגרל רימן לא מוגדר היטב, אין פונקציה קדומה ואי אפשר לחשב שטח מתחת לגרף הפונקציה. אגב, אפשר להגדיר אינטגרביליות באופן אחר (לבג) ואז פונקציית דיריכלה כן אינטגרבילית, אבל המשמעות של האינטגרביליות הזו היא שונה.

א. אינטגרל רימן שימושי כי הוא מתאר באופן מדוייק את השטח מתחת לפונקציה (או את הפונקצייה הקדומה, אם תרצה). ב. סכום רימן מתאר את השטח מתחת לפונקציה אינטגרבילית רימן באופן מדוייק רק בגבול שבו פרמטר החלוקה שואף לאפס. ג. אם אתה מסתפק בהגדרה שמתקיימת עבור פרמטר חלוקה אחד במקום סדרה ששואפת לאפס אין השאפה לאפס ואין גבול. בפרט, אפסילון שלך חסום מלמטה עבור פרמטר חלוקה ספציפי, ולכן במקום ערך אחד לאינטגרל יש לך טווח.

זה נכון לגבי מכפלה פנימי של וקטור בעצמו, לא באופן כללי. בתיאוריה את צריכה לבדוק גם את כל הדרישות האחרות של מכפלה פנימית (אדיטיביות, כפל בסקלר וסימטריה, אם כי ברור שסימטריה מתקיימת). נראה שדרישת החיוביות תהיה באמת המגבלה פה.

ולא, בתשובה ב' לא כל הע"ע הם 1. זו מטריצה מעל המרוכבים, יש לך n שורשים שונים. הפולינום האופייני של מטריצת היחידה הוא תשובה ה', לא תשובה ב'.

אמרתי n ע"ע שונים.

אם יש לך n ע"ע שונים אז לכ"א יש ריבוי גיאומטרי ואלגברי 1, ולכן מטריצה כזו בטוח לכסינה. הפולינום האופייני היחיד שמקיים את התנאי הזה הוא הפולינום של תשובה ב'.

I+B דומה ל-A ולכן בפרט יש לה אותם ערכים עצמיים . http://www.codecogs.com/gif.latex?(I+B)x=x+Bx א. אם B לא הפיכה, קיים וקטור עצמי x כך ש-Bx=0 (כי 0 ע"ע של B ). אבל זה אומר בפרט (מהצבה בשוויון הקודם) ש- http://www.codecogs.com/gif.latex?(I+B)x=x כלומר ש-1 הוא ע"ע של Iֹּ+B, ולכן גם של A, וזה לא יכול להיות מנתון. אז B חייבת להיות הפיכה. ב. מצד שני, אם A לא הפיכה קיים ו"ע x כך ש- http://www.codecogs.com/gif.latex?(I+B)x=0 או Bx=-x כלומר, מינוס אחד הוא ע"ע של B. אבל אין פה סתירה להפיכות של B, ולכן A יכולה להיות לא הפיכה (ויכולה גם להיות הפיכה, יש דוגמא טובה עבור B=I, A=2I, ודוגמא הפוכה עבור B=-I, A=0)

אז לא צריך להשתמש בלופיטל בכלל. הגבול מתקבל מייד (כי האקספוננט השלילי במונה מתאפס והפולינום במכנה לא).

נראה לי שאתה צריך להציג את השבר הפוך, כשהפולינום במכנה והאקספוננט (עם חזקה שלילית) במונה. http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Be%5E%7B-1/x%5E2%7D%7D%7Bp(x)%7D אתה צריך לגזור את הפולינום עד הנגזרת הראשונה שלא מתאפסת באפס (אם לפולינום יש אבר מסדר m, הנגזרת ה-m-ית שלו שונה מאפס ב-x=0 כי יש אבר חופשי). כלומר, המכנה שונה מאפס. המונה, לעומת זאת, מתאפס, כי אחרי הגזירה תהיה לך שם פונקציה שהיא סכום של איברים מהצורה http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B-%5Calpha%7D%20e%5E%7B-1/x%5E2%7D עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha, והאברים האלו מתאפסים כולם באפס בגלל האקספוננט (אם לדעתך אתה צריך להוכיח גם את זה אפשר בנפרד),