אודי

ניסוי וטעייה ...האמת שעשיתי המרת קואורדינטות z=siny ואז ראיתי שאם אני מכפיל בשורש מסויים אני יכול לקבל ליד dx פונקציה של z שהנגזרת שלה צמודה ל-x ליד dz. ואז זה ייצא מדוייק. אני לא זוכר אם לומדים שיטה מסודרת למצוא גורם אינטגרציה.

אבל מה היה מצחיק? :(

נקודת המפתח בשאלה היא שהמטריצה צריכה להיות אלכסונית. כשאתה מעלה מטריצה אלכסונית בחזקה אתה פשוט מעלה כל איבר באלכסון בחזקה. מכאן נובע שהאיברים באלכסון של D צריכים להיות שורש שלישי של 26-. יש לך שלושה שורשים מרוכבים כאלו (טוב, טכנית שניים מרוכבים ואחד ממשי, אבל מוצאים אותם ע"י הטכניקה להוצאת שורש ממספר מרוכב). כלומר, יש לך שלוש בחירות שונות לאבר הראשון באלכסון ושלוש בחירות שונות לאבר השני באלכסון - סה"כ 9 קומבינציות אפשריות של זוג שורשים או 9 מטריצות אפשריות. קל לך למצוא את השורשים המרוכבים מהצגה פולרית.

נכון, דברתי על הפונקציה בלי הריבוע 8-[ בכל מקרה, את בוחרת את החצי הימני של הישר ואת מסודרת גם עם הריבוע.

עבור C=0 כל קטע שתבחרי יהיה טוב. arctg היא פונקציה עולה על כל הישר ולכן הפונקציה שקבלת יורדת על כל הישר.

לפי תנאי ההתחלה y היא הפונקציה המבוקשת ו-x הארגומנט, לא ההפך. אם א-פריורי הוא לא בטוח שהפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?x(y) קלה להיפוך ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x), לא כדאי לפתור ככה. (מצד שני, אם פתרת וראית שהפונקציה הזו קלה להיפוך, תשכחי ממה שאמרתי).

נשמע אחלה שימי לב שאת צריכה שהפונקציה תהיה מונוטונית לא עולה רק בקטע מסויים, כך שטכנית אפילו הדרישה הזו לא הכרחית, אבל היא מפשטת מאוד את הפתרון.

הממ... מן הסתם לא כל דרישה שרירותית תעבוד. דרישה על התאפסות (חלקים מ)הנגזרת נראית לי בסדר כי זה פשוט אומר שחלק מסויים מהפתרון הפרטי "שייך" לפתרון המשוואה ההומוגנית, ואפשר תמיד להפחית או להוסיף פתרון של המשוואה ההומוגנית לפתרון הפרטי למשוואה הלא-הומוגנית. הדרישה שהם דרשו טובה גם כי האבר שלא מתאפס בנגזרת נותן את ה-1 שרוצים מתנאי ההתחלה, עד כדי מכפלה בפונקציה כלשהיא.

וריאציית הפרמטר אומרת שאם הפתרון הכללי למשוואה ההומוגנית הוא מהצורה: http://www.codecogs.com/gif.latex?y=c_1%20%5Carctan(x)+c_2 אז קיים פתרון פרטי למשוואה הלא הומוגנית מהצורה: http://www.codecogs.com/gif.latex?y=c_1(x)%20%5Carctan(x)+c_2(x) כאשר המספרים http://www.codecogs.com/gif.latex?c_1,c_2 מוחלפים בפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?c_1(x),c_2(x). זה בדיוק מה שהם הניחו. כדי למצוא את הפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?c_1(x) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?c_2(x) דרושות שתי משוואות. המשוואה הראשונה ברורה מאליה - הפתרון הפרטי מקיים את המשוואה הלא הומוגנית, ולכן אם נגזור אותו ונציב במשוואה הלא הומוגנית נקבל שהיא מתקיימת. לגבי המשוואה השנייה יש לנו חופש בחירה, והם בחרו לדרוש ששני איברים מהנגזרת של הפתרון הפרטי מתאפסים כדי לפשט את ההצבה של הנגזרות.

המשוואה הזו לא פרידה (בגלל איבר ה-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5Ctan(y)) אז חילוק ב-dx לא יעזור. לפי הצורה שלה המשוואה צריכה להיות מדוייקת, אבל דרוש גורם אינטרציה (=להכפיל את המשוואה בפונקצייה) ע"מ שהיא באמת תצא כזו. הכפילי את המשוואה ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos(y) ותראה שהיא יוצאת מדוייקת אז.

אני די בטוח שאחרי שתנסי לפתור את המשוואה יהיה לך ברור יותר איך לענות על השאלה. את לא יכולה לנתח או לקבוע תכונות של פתרון לפני שמצאת אותו.

הצבה http://www.codecogs.com/gif.latex?z=y-2x-1 ואז המשוואה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?z(x) פרידה.

את צריכה לשים לב שהביטוי במונה תואם, עד כדי קבוע, לנגזרת של הביטוי בתוך החזקה במכנה. כלומר יש לנו אינטגרנד מהצורה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bp'(x)%7D%7Bp(x)%5En%7D אם n הוא 1, הפתרון של האינטגרל הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?ln(p(x)). אחרת הפתרון הוא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x)%5E%7B-n+1%7D, עד כדי מקדמים מספריים מתאימים.

משהו דומה, כן. אני כבר לא זוכר את הפרטים של איזו פונקציה נמצאת בתוך איזה אינטגרל, אבל מה שאת אומרת נשמע סביר. ...בכל מקרה, גם האינטגרל שלך לא נורא. זה פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cfrac%7B(1-x%5E2)%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%7D%7B3%7D

2. זה לא האינטגרל שאני מקבל מההצבה הזו. המשוואה שאני מקבל ב-z היא http://www.codecogs.com/gif.latex?z'+%5Cfrac%7Bx%7D%7B2(1-x%5E2)%7Dz=x והאינטגרל על השבר שהוא המקדם של z הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cfrac%7Bln(1-x%5E2)%7D%7B4%7D.

אני אתן לך כיוון לפתרון, לא פתרון מלא. 2. ההצבה http://www.codecogs.com/gif.latex?z=%5Csqrt%7By%7D, תייצר לך משוואה ליניארית וקלה לפתרון עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?z(x) (אחרי שתחשבי את הנגזרת ותצמצמי את המשוואה החדשה ב-z) ומכאן קל למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x). 3. זו משוואה כמעט מדוייקת. אחרי שאת מעבירה אותה לצורה http://www.codecogs.com/gif.latex?M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 ומחשבת את הנגזרות החלקיות את רואה ש-M,y ו-N,x שונות זו מזו רק במקדם מספרי. לפיכך, את יכולה להכפיל את כל המשוואה בגורם אינטגרציה פשוט (חזקה שברית כלשהיא של x או y) שיביא אותה לצורה של משוואה מדוייקת. משוואה מדוייקת את יודעת איך לפתור. א. הניחי גורם אינטרציה מהצורה http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5En או http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5En; ב. הכפילו בו את המשוואה וחשבי את M,y ו-N,x החדשות; ג. מצאי מהו n המתאים (ל-x אני מקבל מינוס חצי, ייתכן של-y אפשר למצוא משהו אסתטי יותר, או שבכלל להניח גורם אינטגרציה מהצורה http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5Eny%5Em ולקבל חופש בחירה רב יותר)

זה צמוד לנושא ספציפי/שיטת פתרון ספציפית במד"ר? כי אם כן כדאי לציין אותה

הערה לגבי 4 - כשמשרטטים את המערכת ובודקים כיוונים רואים שהפקטורי סינוס וקוסינוס מכילים גם מינוס צמוד. הוא לא משנה את התוצאה פה אבל אם היו שואלים את כיוון השדה (ולא רק גודל) זה היה משנה. :)

1. החישוב שלך מניח שהתרומה לשדה במרכז הדיסקה של כל אלמנטי השטח בדיסקה היא באותו הכיוון וזה לא נכון. פתרת את הבעייה כבעייה חד ממדית.. השדה הוא וקטור ולכן צריך לשים לב גם לכיוון השדה של כל אלמנט שטח. 2. הביטי על שני אלמנטי שטח שנמצאים בשני צדדים מנוגדים של הדיסקה (ביחס למרכז). התרומה של שניהם לשדה במרכז הדיסקה הפוכה בכיוונה, ולכן הם מבטלים זה את זה, לא מסתכמים. השדה במרכז הדיסקה שונה מאפס רק בגלל שצפיפות המטען בדיסקה תלוייה בתטא. 3. הדרך הנכונה לפתור את השאלה היא לחשב את רכיבי x ו-y של השדה בנפרד - כשאת מפרקת נכון את השדה לרכיבים אין מקום להתבלבל לגבי הסימן של כל תרומה. 4. הפירוק לרכיבים במערכת צירים גלילית מאוד פשוט. לרכיב x נוסף פקטור קוסינוס תטא ולרכיב y פקטור סינוס תטא. האינטגרל טיפה מסובך יותר, ואת צריכה להשתמש בזהויות טריגונומטריות, אבל בסוף תקבלי שרכיב y מתאפס ושרכיב x נותן את התוצאה הדרושה.

1. ממה מורכב הלגרנז'יאן במקרה הזה? 2. זו לא אינטואיציה. זה חוק שימור החבל. :) לא נתון בשאלה שהחבל עשוי מחומר גמיש וניתן למתיחה; לא נתון שהחוט נע במהירות קרובה למהירות האור ביחס לצופה; בקיצור, לא נתון שום דבר שעשוי לגרום לנו לחשוד בכך שהחבל שונה מחבלים שאתה מכיר ביום-יום.

תמיד תחזיק את מחברת חדו"א 2 קרוב אליך, היא תציל את החיים שלך יום אחד

לא עשית חדו"א 2? המכפלה הוקטורית היא בעצם שטח של מקבילית אינפיטיסימלית על פני המשטח. הצלעות של המקבילית, הנגזרות החלקיות http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_z מתאימות לכיוונים המשיקים לקווי הקואורדינטות של המשטח בנקודה שבה מחושב אלמנט השטח האינפיטיסימלי. כ"א מהנגזרות מוכפלת באלמנט האינפיטיסימלי המתאים (http://www.codecogs.com/gif.latex?r%20d%5Ctheta ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?dz) כדי לתת את אורך הצלע המקבילית האינפיטיסימלית. כשמחשבים את הנגזרות החלקיות של S כפי שהגדרתי אותו מקבלים (בקואורדינטות פולריות, כמובן): http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_z=(r',0,1) http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta=(0,1,0) והמכפלה הוקטורית נותנת: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D,_z%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta=(-1,0,r') הגודל של הוקטור הזה הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B1+r'%5E2%7D.

זו לא התוצאה של אינטגרל משטחי מחדו"א 2. אם המשטח מבוטא ע"י פונקציה: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D=(r(z),%5Ctheta,z) אז בקואורדינטות פולריות (כאשר מתחשבים ביעקוביאן): http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7BS%7D=%7Cd%5Cvec%7BS%7D,_z%20%5Ctimes%20d%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta%7Cr%20d%5Ctheta%20dz ולאחר חישוב הנגזרות והמכפלה הוקטורית מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7BS%7D=r%5Csqrt%7Br'%5E2+1%7Dd%5Ctheta%20dz

בסעיף א' אתה לא אמור למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z). אתה אמור לרשום אינטגרל שהוא פונקציה של http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z) לא ידוע (והנגזרת http://www.codecogs.com/gif.latex?r'(z)). את הפונקציה המפורשת אתה מוצא מפתרון משוואות אוילר לגרנז'. אם היית מוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z) בסעיף א' סעיף ב' היה מיותר... עריכה: במבט חוזר על השאלה, אתה אפילו לא אמור למצוא את הפונקצייה, רק את משוואת אוילר לגרנז' שהיא מקיימת, שיוצאת מגעילה במיוחד (ובלי הנחות מפשטות אני לא יודע אם אפשר לפתור אותה אנליטית).

על לא דבר :)