אודי

למצוא את המקדמים מהשיקולים שצייינת זו יופי של הוכחה/הפרכה.

אני מקבל: א. http://www.codecogs.com/gif.latex?x=5 ב. http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0=4.5 (כאשר צריך לעשות מניפולציות על משפט אבל כדי להגיע לתשובה, בין השאר לעשות ln ולגזור את האינטגרל על p לפי http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 באמצעות משפט לייבניץ).

השאלה הזו לא קשורה לריבוי (שממילא רלוונטי רק למשוואות עם מקדמים קבועים, לזכרוני), אלא לורונסיקיאן. א. את מחשבת את הורונסיקאן של שלושת הפתרונות האלו ובודקת באיזו נקודה מבין הנקודות הנתונות הוא מתאפס. הנקודה הזו לא יכולה להיות חלק מהתחום D, כי פתרונות בלתי תלויים של משוואה דיפרנציאלית בתחום D נותנים ורונסיקאן שונה מאפס בתחום. ב. לא ניסיתי, אבל אני חושד שאם תחשבי את הורונסיקאן ממשפט אבל (באינטגרל בין http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 ל-x) ותשווי לתוצאה שקבלת בסעיף א' מהפתרונות הבלתי תלויים תוכלי למצוא את הנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0.

זה אמנם לא נראה ככה אבל ההבדל בין שתי התוצאות הוא קבוע, http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cln3. אינטגרל לא מסויים מוגדר עד כדי קבוע, ולכן את יכולה לקבל תוצאות שונות בקבוע כתלות באופן שבו את עושה את האינטגרציה הלא מסויימת. ברגע שתהפכי את זה לאינטגרל מסויים (או תשווי לתנאי התחלה/שפה כדי למצוא את הקבוע) החופש הזה ייעלם. לשם השוואה, בדקי את האינטגרל הלא מסויים של http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+1)%5E2 מול האינטגרל הלא מסויים של http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+2x+1.

יש פה חיסור וקטורים: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR%7D=%5Cvec%7Br_2%7D-%5Cvec%7Br_1%7D (הוקטורים סוגרים משולש, אז החיסור טריוויאלי), השאר הוא פשוט פירוק לרכיבים של ההפרש.

ואכן נרמלתי את המד"ר. והמקדם של y הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+1%7D. המד"ר היא http://www.codecogs.com/gif.latex?y'+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+1%7Dy=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D(x+1)e%5E%7B2x-2%7D

הפתרון שלך לא נכון. פתרתי את זה בעצמי עד הסוף ויש לי שלוש מסקנות: - http://www.codecogs.com/gif.latex?W(1)=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D ולא מינוס (בדקתי שוב את ההגדרה של הורונסקיאן ולקחנו http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1(x)=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+1%7D) - הפתרון המלא הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(x)=%5Cfrac%7B3%7D%7B16(x+1)%7D((2x%5E2+2x+1)e%5E%7B2x-2%7D-5) - הפתרון הזה מקיים את שתי הדרישות (http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(1)=0,%5C,y_2'(1)=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D)

למה? נתון לך שהפתרון המבוקש מקיים y2(1)=0 הציבי x=1 בפתרון שקבלת: השווי את http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(1) שקבלת מהצבה לאפס וקבלי למה שווה C.

פעמיים יספיקו ואת צריכה להציב משהו במקום C, בעזרת התנאי y2(1)=0

נראה לי שכן. לא תדעי עד שלא תפתרי, לא?

.... יתוקן בהמשך 8-[

מאגף ימין והנתונים. בנקודה x=1 אני יודע את כל מה שצריך כדי לחשב אותו.

האינטגרל הזה פתיר בחלקים והוא לא נורא כ"כ, אבל לא נראה לי שזו הדרך שרוצים שתלכי בה. גם אחרי שאת מוצאת את הפתרון השני הקומבינציה הליניארית של הפתרונות שמקיימת את התכונות המבוקשות לא טריוויאלית. נראה לי שאת אמורה להשתמש בזהות אבל עבור הורונסקיאן: http://www.codecogs.com/gif.latex?W(x)=W(1)e%5E%7B-%5Cintop_%7B1%7D%5E%7Bx%7Dp(x')dx'%7D=y_1y_2'-y_1'y_2 - את יכולה למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?W(1)=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D מהפתרון הידוע http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1 וממה שנתון לך על הפתרון המבוקש; - את יכולה לחשב את אגף ימין כפונקציה של הפתרון המבוקש http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2 והנגזרת שלו http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2' (להציב את הפתרון הידוע http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1 והנגזרת שלו). - תקבלי משוואה ליניארית מסדר ראשון לפתרון המבוקש http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2 והיא צריכה להיות קלה יותר לפתרון. וזה יוביל אותך ישר לפתרון שאת צריכה. - אל תשכחי את קבוע האינטגרציה (את מוצאת אותו באמצעות התנאי על הפתרון ב-x=1).

יכול להיות שאני מפספס משהו, כי אני לא מבין למה הם הדגישו ש-y1 חיובי, אבל לדעתי שלושת הטענות נכונות. א. 1. תסתכלי על ההפרש בין y1 ל-y2. הוא גם פתרון של המשוואה ומקיים y(0)=y(3)=0 (וגם y'(0)=0, כי ההנחה היא ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1'(0)=y_2'(0) אם שני הפתרונות הם של אותה משוואה). 2. גם y=0 הוא פתרון של המשוואה עם אותם תנאי התחלה כמו y1-y2 (היינו, y(0)=y'(0)=0), שמקיים (בפרט) y(3)=0. כלומר, בנקודה x=3 הורונסקיאן של y=y1-y2 ו-y=0 מתאפס. 3. מכיוון ששתי הפונקציות פתרונות של אותה משוואה ו-x=3 נמצאת בתוך התחום שבה מקדמי המשוואה רציפים נובע מהתאפסות הורונסקיאן שהפונקציות חייבות להיות תלויות ליניארית בכל התחום, כלומר ש-y1-y2 תלויה ליניארית ב-y=0. 4. אבל תלות ליניארית בפונקציית האפס גוררת ש-y1-y2 היא פונקציית האפס בעצמה ולכן נובע y1=y2 בכל התחום. ב. 1. נניח בשלילה שקיימת נקודה x1 בקטע הפתוח שבה http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(x_1)%20%5Cgeq%20y_1(x_1). 2. מ-1 ורציפות הפתרונות (והפתרונות חייבים להיות רציפים אם המקדמים רציפים בקטע) נובע שקיימת נקודה בתחום x2 בין x1 ל-3 (יכולה להיות גם x1 בעצמה) שבה http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(x_2)%20=%20y_1(x_2). בנקודה הזו הורונסקיאן של ההפרש בין הפתרונות, y1-y2, והפתרון y=0 מתאפס. 3. כמו שראינו בא', מ-2 נובע ש-y1-y2=0 בכל התחום מה שעומד בסתירה עם הנתון http://www.codecogs.com/gif.latex?y_1(3). 4. מכאן שההנחה שהנחנו לא נכונה - ההפרש בין הפתרונות y1,y2 לא יכול להחליף סימן אם הפונקציות שונות, כי אם הוא מחליף סימן זה גורר שהורונסקיאן של y1-y2 ו-y=0 מתאפס בנקודה מסויימת והפונקציות y1,y2 חייבות להיות זהות. ג. ההוכחה מקבילה לחלוטין לב' עם שינויי הסימן המתאימים.

אני מתנצל שאני מציק, אבל זה די הבסיס של נושא הפוטנציאל. לא ברור לי איך פספסת את זה בהרצאות והתרגולים. :scratch: בכל מקרה, כזכור: http://www.codecogs.com/gif.latex?U=-%5Cintop%5Cvec%7BE%7D%5Ccdot%20d%5Cvec%7Br%7D כאשר האינטגרציה נעשית מנקודת הרפרנס (במקרה שלנו, (0,0,0)) עד לנקודה שבה מחושב הפוטנציאל. כאשר עושים את האינטגרציה במסלול שמחולק לחלקים כמו בשאלה הזו צריך להוסיף לכל שלב את התוצאה של השלב הקודם, שמייצגת את האינטגרל עד לנקודה שבה מתחיל השלב החדש. 1. בקטע הראשון של המסלול המוזכר http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Br%7D=dx%5Chat%7Bx%7D ולכן נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x_0,0,0)=-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bx_0%7DE_x(x,0,0)dx=-%5Cintop0dx=0 2. בקטע השני של המסלול המוזכר http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Br%7D=dy%5Chat%7By%7D ולכן נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x_0,y_0,0)=U(x_0,0,0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7By_0%7DE_y(x_0,y,0)dy=-%5Calpha%5Cintop_%7B0%7D%5E%7By_0%7D2x_0ydy=-%5Calpha%20x_0y_0%5E2 3. בקטע השלישי של המסלול המוזכר http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Br%7D=dz%5Chat%7Bz%7D ולכן נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x_0,y_0,z_0)=U(x_0,y_0,0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bz_0%7DE_z(x_0,y_0,z)dz=-%5Calpha%20x_0y_0%5E2-%5Calpha%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bz_0%7D2y_0zdz=-%5Calpha%20(x_0y_0%5E2+y_0z_0%5E2) כלומר סה"כ: http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x_0,y_0,z_0)=-%5Calpha%20(x_0y_0%5E2+y_0z_0%5E2)

מה בדיוק הבעייה שנתקלת בה בפתרון? הרי מנחים אותך מה לעשות כדי לפתור את השאלה...

:icon_thumright:

http://forums.techstud.net/index.php/topic/5423-פיסיקה-1-עבודה-ואנרגיה/?p=113994

...כמובן שזה לא סותר את העובדה שבמקרים מסויימים אפשר להשתמש בכלים פשוטים יותר מעולם חקירת הפונקציות כדי להוכיח את אחד משני המקרים האחרים לפולינום מדרגה 4. 1. אם הפונקציה חיובית ממש או שלילית ממש אין לה שורשים ממשיים 2. אם מצליחים, למשל, למצוא שני שורשים (או שתי החלפות סימן) ולהראות שבשאר הישר הפונקציה מונוטונית ממש אפשר להוכיח שיש שני שורשים. אבל כאמור, אלו לא דרכים ריגורוזיות במובן זה שהן מתבססות על ניסוי וטעייה יותר מאשר על משפטים מתמטיים. אם לא הצלחת למצוא החלפות סימן או שאתה לא יודע להוכיח שהפונקציה מונוטונית בקטעים המתאימים - אתה תקוע. הדרך הריגורוזית המתאימה לפתור שאלה כזו היא באמצעות כלים מאלגברה. מסתבר שיש שיטות אנליטיות (לא פשוטות...) לפתרון של פולינומים מדרגה 3 ו-4: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%9E%D7%9E%D7%A2%D7%9C%D7%94_%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%A9%D7%99%D7%AA http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%9E%D7%9E%D7%A2%D7%9C%D7%94_%D7%A8%D7%91%D7%99%D7%A2%D7%99%D7%AA

מה שניסיתי להסביר הוא שהשאלה הזו לא באמת קשורה למשפט הרציפות של קושי. כאמור, משפט הרציפות של קושי לא מבטיח שיש חיתוך עם ציר ה-x. הוא לכל היותר מדבר על התאפסות הנגזרת. השאלה כפי שנסחת אותה היא שאלה באלגברה של פולינומים... ידוע שלכל פולינום מדרגה n יש n שורשים. הבעייה היא שלא כולם חייבים להיות ממשיים (=נקודות חיתוך עם ציר x). במקרה של פולינום מדרגה רביעית (בהנחה שיש אברים מסדר 1 או 3) אין לך דרך אנליטית פשוטה לפתור ולראות כמה מהם ממשיים. ייתכנו שלושה מצבים אפשריים - ארבעה שורשים ממשיים, שניים ממשיים ושניים מרוכבים, או ארבעה מרוכבים. הדרך היחידה שבה ניתן ליישם את משפט ערך הביניים כדי לפתור את השאלה הוא אם אתה מצליח למצוא חמישה מספרים עוקבים (x1<x2<x3<x4<x5) שבכל אחד מהם הפונקציה מחליפה סימן (כלומר, סה"כ הפונקציה מחליפה סימן ארבע פעמים), אז נובע ממשפט עה"ב שחייבים להיות ארבעה שורשים ממשיים. אבל זו לא דרך ריגורוזית והיא מאפשרת לך להוכיח חד משמעית רק מקרה אחד משלושת האפשריים. כדי להוכיח שאתה נמצא באחד משני המקרים האחרים אתה צריך להשתמש בכלים מאלגברה, לא חדו"א.

לא. דוגמא נגדית? הפונקציה האלמנטרית y=4. או הפונקציה האלמנטרית y=x^2+1.

זו גם הנוסחא שאני השתמשתי בה. רק שצריך לזכור שלמבדא בנוסחא היא צפיפות המטען האורכית ולכן מתקיים הקשר: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda=%5Cfrac%7BQ%7D%7Bl%7D כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?l הוא אורך התיל. x הוא מה שקראת לו r. המרחק האופקי מהתיל. מכיוון שבחרתי מערכת צירים מסויימת שבה המרחק הזה הוא על ציר x, סמנתי אותו ב-x. חשבתי את הפרש הפוטנציאלים בין שני התילים, והוא תלוי בשדה בין התילים בלבד ולא בשדה מעבר לתילים. לא. כאמור, הקיבול תלוי בהפרש הפוטנציאלים בין התילים, והפרש הפוטנציאלים בין התילים הוא אינטגרל על השדה מסוף תיל אחד לתחילת התיל השני.

השדה החשמלי של כל תיל הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7BE%7D%7C=%7C%5Cfrac%7B2Q%7D%7Bl(x-x_0)%7D%7C כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0 הוא מיקום מרכז התיל ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?l אורך התיל (אינסוף, אבל אנחנו לא מציבים אותו כרגע כי אנחנו נצמצם אותו בסוף בחישוב הקיבול ליחידת אורך). נבחר מערכת צירים כך שהתיל הטעון חיובית עובר דרך הראשית (ציר z) והתיל הטעון שלילית נמצא במרחק d ממנו על ציר x. אזי כיוון השדה הכולל הוא x+ והפרש הפוטנציאלים בין התילים נתון ע"י האינטגרל: http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cintop_%7BR%7D%5E%7Bd-R%7D(%5Cfrac%7B2Q%7D%7Blx%7D+%5Cfrac%7B2Q%7D%7Bl(d-x)%7D)dx=%5Cfrac%7B2Q%7D%7Bl%7D%5Cintop_%7BR%7D%5E%7Bd-R%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7Bd-x%7D)dx http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cfrac%7B2Q%7D%7Bl%7D(%5Cln(d-R)-%5Cln%20R-%5Cln%20R+%5Cln(d-R))=%5Cfrac%7B4Q%5Cln%5Cfrac%7Bd-R%7D%7BR%7D%7D%7Bl%7D והקיבול ליחידת אורך הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctilde%7BC%7D=%5Cfrac%7BC%7D%7Bl%7D=%5Cfrac%7BQ%7D%7BVl%7D=%5Cfrac%7BQ%7D%7B4Q%5Cln%5Cfrac%7Bd-R%7D%7BR%7D%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cln%5Cfrac%7Bd-R%7D%7BR%7D%7D

אתה הופך אותה לצפיפות משטחית באמצעות אינטגרציה על המרחק בין הלוחות, כמובן. (שים לב למספור הסעיפים, הוא לא לפי סדר השאלות). א. תסתכל על מעטפת גאוסית גלילית שבסיס אחד שלה נמצא בתוך הלוח המוארק והשני בפלוס אינסוף. על שני הבסיסים השדה מתאפס (אחד כי הוא נמצא באינסוף והשני כי הוא נמצא בתוך מוליך). על הדפנות של הגליל השדה מקביל לדפנות (השדה בכיוון ציר z משיקולי סימטריה) ולכן לא תורם לשטף. מכאן נובע שהשטף דרך הגליל מתאפס ולכן גם המטען בתוך הגליל. אבל המטען בתוכו מורכב מהצפיפות המשטחית על הלוח העליון, הצפיפות הנפחית בין הלוחות (שהפכת למשטחית ע"י אינטגרציה) והצפיפות המשטחית על השפה העליונה של הלוח המוארק. מכאן נובע שהצפיפות על השפה העליונה של המוליך התחתון חייבת להיות שווה למינוס הסכום של שתי האחרות. ג. אתה מפעיל אותו שיקול, אבל על מעטפת גאוסית גלילית שעוברת דרך מרכז הלוח העליון ומרכז הלוח התחתון (שים לב שכעת אתה לא יודע את הצפיפות המשטחית על השפה התחתונה של הלוח העליון ויודע את הצפיפות המשטחית בין המוליכים ובשפה העליונה של המוליך התחתון). ב. הסעיף היחידי שלגביו אני מעט לא בטוח. אני חושב שהתשובה צריכה להיות אפס כי אחרת מתקבל שמופר תנאי השפה באינסוף (וכי ללוח מוארק צריך להיות מטען עם סימן אחד, וכל המטען השלילי נמשך לשפה העליונה בגלל המטענים החיוביים בלוח השני ובין הלוחות).

שכחת את הרכיב הניצב למישור של התאוצה הרדיאלית...