אודי

למה הגדרת הנגזרת? נראה לי פשוט מאינטגרציה החלפת משתנים: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=f(0)+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bx%7Df'(x')dx'=f(0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bx%7Df'(-x')dx'=f(0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B-x%7Df'(y')(-dy')=f(0)+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B-x%7Df'(y')dy'=f(-x) כאשר בין השלב השני לשלישי השתמשתי באי זוגיות הנגזרת, ובין השלב השלישי לרביעי החלפתי משתנה אינטגרציה (http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=-x') ולכן גם שיניתי את סימן הגבול העליון (אפס נשאר אפס). אם עושים את זה עם אינטגרל מסויים זה פורמלי מספיק.

למה השלמה לריבוע? :scratch: אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5E2+1%7D=%5Carctan(x) אז נובע מכלל השרשרת בגזירה: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B4x%5E2+1%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Carctan(2x) אתה יכול לעשות החלפת משתנים באינטגרל y=2x אם אתה לא משתכנע שזה מיידי.

מספר השורשים הממשיים של פונקציה רציפה לא יכול להיות גדול יותר ממספר נקודות הקיצון* של הפונקציה + 1. נניח שהפונקציה y=x^2007+ax+2001 חותכת את אפס פעם אחת. כדי שהפונקציה תוכל לחתוך שוב את אפס ב-x מאוחר יותר היא צריכה לשנות כיוון, כלומר צריך להיות לה מינימום או מקסימום אחרי נקודת החיתוך הראשונה. לכן לפונקציה רציפה עם נקודת קיצון אחת יכולות להיות שתי נקודות חיתוך עם אפס, לפונקציה רציפה עם שתי נקודות קיצון שלוש נקודות חיתוך וכו'. חישוב נקודות קיצון מראה שעבור a ממשי לפונקציה יש לכל היותר שתי נקודות קיצון, http://www.codecogs.com/gif.latex?x_%7B0%7D=%5Cpm%5Csqrt%5B2006%5D%7B%5Cfrac%7B-a%7D%7B2007%7D%7D, ולכן יכולות להיות לכל היותר שלוש נקודות חיתוך של הפונקציה עם ציר x. * (אגב, נקודת פיתול לא נחשבת בספירה הזו, אבל זה בסדר כי חישוב הנגזרת השנייה מראה שעבור a שונה מאפס נקודות הקיצון תמיד תהיינה מינימום או מקסימום (למעשה, a חייב להיות שלילי כדי שתהיינה נקודות קיצון).

כי האינטגרל ממשפט גרין מתאפס. וכן, גם אני שמתי לזה לב אחרי התשובה הראשונה שלי.

הגיוני שזה מה שיוצא לאינטגרל כי התחום סימטרי ביחס לציר x. אבל שימי לב שהמסלול שלך לא סגור, ולכן הוא שווה לתוצאה שלך ממשפט גרין פחות משהו (האינטגרל על הצלע החסרה)

מה שנשאר לך זה לעשות פרמטרזיציה של גבולות תחום האינטגרציה. את יכולה לשרטט אותו ולראות שהגבולות של הם ארבע ישרים שונים ולכן את צריכה לחלק אותו לשני חלקים, http://www.codecogs.com/gif.latex?-2%5Cleq%20x%5Cleq%200 ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?0%5Cleq%20x%20%5Cleq%202 עבור x<0 (התחום הראשון): הגבול התחתון של תחום האינטגרציה ב-y הוא y=-2-x והעליון y=2+x עבור x>0 (התחום השני): הגבול התחתון של תחום האינטגרציה ב-y הוא y=-2+x והעליון y=2-x עכשיו כל מה שנשאר לך לעשות הוא את האינטגרל ב-y ואחריו את האינטגרל ב-x.

לא. אם נבחר את כיוון למטה כציר החיובי לתנע החד ממדי שלנו, התנע של אלמנט מסה של כדורי גומי לפני הפגיעה בקרקע הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?P_i=vdm ואחרי הפגיעה בקרקע http://www.codecogs.com/gif.latex?P_f=-vdm. ההפרש בין לפני לאחרי הוא התנע שעבר לקרקע, http://www.codecogs.com/gif.latex?dP=2vdm. הכיוון שאני חותר אליו הוא שלא לכל מניפולציה מתמטית שאפשר לעשות לנוסחאות יש בהכרח משמעות פיסיקלית בבעייה שדנים בה.

כדורי גומי פשוט הופכים את כיוון התנע שלהם. אין צורך לחשב נגזרת למהירות שם (וגם זו נגזרת לא מוגדרת היטב, כי זו קפיצה ברגע סופי). http://www.codecogs.com/gif.latex?dp=d(mv)=2vdm=2v%5Calpha%20dt http://www.codecogs.com/gif.latex?F=2%5Calpha%20v הקיצר, אני מתקשה לחשוב על בעייה שבה האיבר השני בכלל השרשרת שלך יהיה רלוונטי.

כל גרגיר חול מאבד את כל המהירות שלו כשהוא פוגע בקרקע. אני לא מכיר גרגירי חול שמתנהגים כמו גרגרי כדורי גומי בבעיות האלו.

יש לך בעייה קונקרטית?

מה זה "התאוצה שבה הרצפה בולמת את גרגירי החול?" :scratch: התאוצה הזו אינסופית כי היא מעבירה מהירות סופית לאפס בזמן נקודתי. לא נראה סביר שהכוונה אליה. ....אם אני מבין נכון את התיאור שלך האיבר השני מתאפס, מכיוון שמהירות הפגיעה של החול בקרקע קבועה בזמן. התאוצה של החול בכלל לא חשובה כדי לקבוע כמה תנע הולך לאיבוד בפגיעה, רק מהירות הפגיעה (ואם היא משתנה, אז השינוי במהירות הפגיעה, אבל זו לא התאוצה בפגיעה, שהיא כמובן g). משיקולים פשוטים יותר מכלל השרשרת - בהנחה שמהירות הפגיעה קבועה כמות התנע שמועברת לקרקע בזמן dt היא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?dp=vdm=v%20%5Calpha%20dt ולכן הנגזרת היא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?F=%5Calpha%20v.

מתמטית, אתה יכול לקבל את המהירות במערכת מרכז המסה מהמהירות במערכת המעבדה ולהפך. טרנספורמציית מהירויות עובדת לשני הכיוונים. אפס עובר ל-vcm ו-vcm עובר לאפס בכיוון השני ...אבל קל יותר להבין למה כשהמרחק בין הגופים מינימלי המהירות של שניהם היא אפס במערכת מרכז המסה מאשר להבין למה המהירות של שניהם היא vcm במערכת המעבדה. במערכת מרכז המסה האפס מתקבל ישירות ובקלות (התנע הכולל של שני הגופים הוא אפס, המהירויות שלהם מחליפות כיוון (עוברות דרך אפס) ולכן הן חייבות להחליף כיוון באותו זמן, וברור שבזמן הזה המרחק הוא מינימלי כי הן מפסיקות להתקרב ומתחילות להתרחק) ...אם אתה רוצה להסביר את זה במערכת המעבדה אתה אומר שהמהירויות שלהם חייבות להיות שוות בזמן שהמרחק ביניהם מינימלי. אבל הרבה פחות אינטואיטיבי להסיק את זה.

בכיווץ המקסימלי, כמו במרחק המינימלי בשאלה הקודמת, המהירות של כל המסות היא מהירות מרכז המסה, vcm (שאינה v). ...זה נובע מכך שבמערכת מרכז המסה המהירות שלהם באותו זמן היא אפס כי שם הם פשוט מתקרבות זו לזו, משנות כיוון ומתרחקות

אתה פותר את הבעייה הזו בעזרת חוקי שימור, אתה לא צריך כוחות. ב. שים לב שמכיוון שיש שימור תנע (אין כוחות חיצוניים) מהירות מרכז המסה קבועה וניתנת לחישוב. אם אתה יודע מה המיקום ההתחלתי של מרכז המסה (סעיף א') ומה המהירות הקבועה שלו, אתה יכול למצוא את המיקום שלו בכל זמן שהוא. X=X_0+Vt ג. שוב, לא צריך כח. שימור אנרגיה אמור לתת לך את התשובה. אתה יודע שבזמן שהמרחק בין הגופים מינימלי המהירות שלהם במערכת מרכז המסה מתאפסת, ולכן במערכת המעבדה שניהם נעים במהירות מרכז המסה. זה מאפשר לך לבנות את שימור האנרגיה הדרוש לתשובה (בין t=0 לזמן שבו המרחק מינימלי). ד. ענית במהלך החישוב של ג' :) ה. שוב, שימור אנרגיה, תחת ההנחה שבזמן הרחוק המדובר האנרגיה הפוטנציאלית תעלם ותהיה רק אנרגיה קינטית.

החישוב בסעיף 1 שלך הוא לא האנרגיה הקינטית במערכת מרכז המסה. המהירות שהעלית בריבוע היא המהירות של מרכז המסה במערכת המעבדה. זה גם לא נותן לך את האנרגיה הקינטית במערכת המעבדה. כדי לחשב את האנרגיה הקינטית במערכת מרכז המסה אתה צריך לעשות את אותו חישוב כמו ב-2 רק עם המהירויות במערכת מרכז המסה.

כשאני חושב על זה לעומק כופלי לגרנז' בכלל לא יעזרו פה, כי אומרים לך בפירוש שהמקסימום הוא בנקודה ולא על כל הישר. אז תשכחי ממה שאמרתי בהתחלה :oops:

את צריכה למצוא פונקציה שמקבלת מקסימום בתחום שהישר הנ"ל הוא גבול שלו בנקודה (4,4). אם הנקודה היא מקסימום של הפונקציה על הישר אז הנגזרת המכוונת בכיוון הישר בנקודה (4,4) חייבת להתאפס. כלומר: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f(4,4)%5Ccdot%5Cfrac%7B(1,-1)%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D=0 מפה יש לך חופש בחירה גדול למדי במקדמים של הפונקציה הריבועית. אם תבחרי שניים שלא מתאפסים כך שהגרדיינט יהיה פונקציה של x ו-y ששונה מאפס בנקודה (למשל המקדמים של x^2 ו-y^2) תוכלי לקבל קשר ביניהם בעזרת הנגזרת המכוונת בנקודה ולבחור אחד מהם ולקבל את השני.

טל"ח

יום נפלא :)

הנתונים המספריים הם לא הנתונים המספריים של התרגיל שלך, אבל העיקרון הוא אותו עקרון: http://forums.techstud.net/index.php/topic/5618-%D7%97%D7%93%D7%95%D7%90-2-%D7%9E%D7%AA%D7%A0%D7%98-%D7%95%D7%94%D7%92%D7%A9%D7%94/

על לא דבר :)

אם את יודעת שצריך להציב רק בסוף את הנקודה למה את מציבה ביטויים לנגזרות לפני הגזירה השנייה? :scratch: את לא תקבלי את הנגזרת המעורבת ככה. את צריכה לגזור את הביטוי עם הנגזרות הראשונות ללא שום הצבה: מגזירה של המשוואה פעם ראשונה לפי y: http://www.codecogs.com/gif.latex?3z%5E2z,_y%20-xz,_y%20-1%20=0 ואז את גוזרת את המשוואה לפי x ומקבלת: http://www.codecogs.com/gif.latex?6zz,_xz,_y+3z%5E2z,_%7Bxy%7D-z,_y-xz,_%7Bxy%7D=0 הציבי את הנגזרות הראשונות ואת הנקודה בשוויון האחרון ותקבלי את התוצאה שאת צריכה לנגזרת המעורבת.

בגדול זו הדרך, אבל א. את צריכה לשים לב שאת מציבה את הערך של הנקודה והנגזרות בנקודה רק אחרי שאת גוזרת פעם שנייה ולא לפני; ב. לטעמי נוח יותר לגזור את המשוואה המקורית לפי y ואז לפי x מאשר את השבר שקבלת.

את צריכה לחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?Z,_x ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?Z,_y בנקודה קודם. זאת אומרת, שפעם את גוזרת את המשוואה לפי x ומציבה את הנקודה (כדי למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?Z,_x) ופעם את גוזרת את המשוואה לפי y ומציבה את הנקודה (כדי למצוא את http://www.codecogs.com/gif.latex?Z,_y). אחרי שמצאת את שתי הנגזרות הראשונות את יכולה לגזור את אחת המשוואות שקבלת מהגזירה הראשונה לפי המשתנה האחר (לדעתי דווקא נוח יותר לגזור את הנגזרת הראשונה של המשוואה לפי y לפי x מאשר ההפך).