אודי

נכון. :oops: הייתי מתחיל בלחפש פונקציה שאין לה גבול באפס, ואז תופר לה סדרה מתאימה שתתן את הגבול המתאים. אז פונקצייה מתאימה היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D הפונקציה לא קבועה (היא 1 עבור x חיובי, 1- עבור x שלילי) ואין לה גבול באפס. ...מכאן אפשר להסיק שכל סדרה חיובית ששואפת לאפס תתן לנו את הגבול המבוקש, כי, בפרט, כל אבר בה מקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?f(a_n)=1. אז בסדרה אין מה להשקיע: http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n=%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D

טל"ח

יש בה דילוג על כל מיני בורות לא ברורים, כמו למשל שבכיוונים מסויימים (מסלולים על הצירים, למשל) מתקבל שאחד הרכיבים של הגרדיינט מתבדר לאינסוף בכלל על המסלול ולא ברור מה הגבול של הגרדיינט בראשית. :scratch: טוב, אני עייף אז לא אתעמק במופלא ממני כרגע.

אני לא מאוד בטוח בזה. באופן כללי השאלה הזו נראית לי מפוקפקת, מכיוון שהערך של הגרדיינט בראשית תלוי בכיוון ממנו מתקרבים לנקודה ואת נאלצת להניח מסלול בעל אופי מסויים במקום לקבל ערך אחד של הגרדיינט וממנו להסיק את הכיוון. אבל אולי זה מה שרצו שתעשי

אני חושב שמה שרוצים שתניחי הוא שהמסלול הרלוונטי לחישוב הגרדיינט הוא מסלול לאורך הכיוון של הנגזרת המכוונת, כלומר מסלול שמקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?y=x%5Ctan%5Calpha אז הגרדיינט קבוע לאורך המסלול הזה ומתקבל כ: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f=(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(%5Ctan%20%5Calpha)%5E%7B2/3%7D,%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(%5Ctan%20%5Calpha)%5E%7B-1/3%7D) ומכיוון שהוא שווה לוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?R(%5Ccos%5Calpha,%5Csin%5Calpha), נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctan%20%5Calpha=%5Cfrac%7B%5Cnabla%20f_y%7D%7B%5Cnabla%20f_x%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Ctan%5Calpha%7D או http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctan%20%5Calpha%20=%20%5Csqrt%7B2%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha%20=%2054.73%5E%7B%5Ccirc%7D

רגע, יש פה משהו מוזר. הנגזרות החלקיות בכלל לא מוגדרות היטב בנקודה הזו הגרדיינט יוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f=(%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%5E%7B2/3%7D,%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D(%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D)%5E%7B1/3%7D) ואפשר לקבל ערכים גבוליים שונים כתלות במסלול שבו מתקרבים לראשית.

הגרדיינט מורכב מנגזרות חלקיות וכן, את צריכה לחשב אותו פה, אבל יותר מזה - את צריכה למצוא את הכיוון שלו. הנגזרת המכוונת בכיוון הגרדיינט תהיה מקסימלית כי מכפלה סקלרית של וקטור בוקטור יחידה מקסימלית כשוקטור היחידה בכיוון הוקטור שבו הוא מוכפל. ...כלומר, אחרי שמצאת את הגרדיינט את מנרמלת אותו ומשווה לוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Ccos%5Calpha,%5Csin%5Calpha). וקטור היחידה שלך ווקטור היחידה בכיוון הגרדיינט זהים.

מצטער, הייתי צריך לצאת. בכל מקרה, גזרתי את v לפי כלל השרשרת: http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_r=u,_xx,_r+u,_yy,_r http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_t=u,_xx,_t+u,_yy,_t כאשר: http://www.codecogs.com/gif.latex?x(r,t)=e%5Er%20%5Ccos%20t http://www.codecogs.com/gif.latex?y(r,t)=%20e%5Er%20%5Csin%20t גם בחישוב הנגזרות השניות http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Brr%7D,v,_%7Btt%7D השתמשתי בכלל השרשרת, רק ששם צריך לשים לב שבכל איבר שגוזרים מהנגזרת הראשונה יש נגזרת של מכפלה ולכן פרט לגזירה של הנגזרות הראשונות http://www.codecogs.com/gif.latex?u,_%7Bx%7D,u,_%7By%7D לפי כלל השרשרת יש גם אברים שמכילים גזירה של הפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Er ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%20t%5C%20%5C,%5Csin%20t כפול הנגזרות הראשונות (ומה שנשאר מהאיבר שאותו גוזרים).

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_r=u,_x%20e%5Er%20%5Ccos%20t+u,_y%20e%5Er%20%5Csin%20t http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Brr%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%5E2t+u,_%7Bxy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%20t%20%5Csin%20t%20+u,_%7Byx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%20t%20%5Ccos%20t%20+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%5E2t+e%5Er(u,_x%20%5Ccos%20t+u,_y%20%5Csin%20t) http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_t=-u,_x%20e%5Er%20%5Csin%20t+u,_y%20e%5Er%20%5Ccos%20t http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Btt%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%5E2t-u,_%7Bxy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%20t%20%5Csin%20t%20-u,_%7Byx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%20t%20%5Ccos%20t%20+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%5E2t-e%5Er(u,_x%20%5Ccos%20t%20+%20u,_y%20%5Csin%20t) כשאת מחברת את שתי הנגזרות השניות את מקבלת שהנגזרות המעורבות והאברים הפרופורציונים לנגזרות הראשונות מבטלים זה את זה וסה"כ: http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Brr%7D+v,_%7Btt%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D(%20%5Csin%5E2t+%5Ccos%5E2t)+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D(%5Ccos%5E2t+%5Csin%5E2t)=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D או, מחלוקה באקספוננט: http://www.codecogs.com/gif.latex?u,_%7Bxx%7D+u,_%7Byy%7D=e%5E%7B-2r%7D(v,_%7Brr%7D+v,_%7Btt%7D)

כן, רק שלא הייתי משתמש בביטוי פתרון סינגולרי, כשמדברים על סינגולריות מתייחסים למשהו אחר. פתרון יחיד. שמוגדר בתחום שבו המשוואה מוגדרת.

אני לא בטוח, אבל אני חושב שבמקרה הזה אין הבדל ביניהם. מצאת את הפתרון באמצעות שימוש במשפט קיום ויחידות, והתנאים למשפט הזה מתקיימים רק בתחום מסויים. אי אפשר לומר שהפתרון y=0 מקיים את המשוואה ברציפות מעבר לנקודות http://www.codecogs.com/gif.latex?x=%5Cpi או http://www.codecogs.com/gif.latex?x=2%5Cpi, כי המשוואה לא מוגדרת בנקודות האלו.

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7Bxf(x)%7D%7Bx%7D הפעל את אופרטור הגבול על אגף ימין. במונה יש לך ביטוי ששואף ל-1; במכנה יש לך ביטוי ששואף לאינסוף, ולכן השבר כולו חייב לשאוף לאפס. אם אגף ימין שואף לאפס גם אגף שמאל חייב לשאוף לשם :)

3. בכל אופן, לסעיף ב' אני לא מקבל את התשובה שקבלת. אני מקבל תשובה שנראית לי מפוקפקת מעט, אני מודה, אבל היא עובדת - המשפחה האורתוגונלית ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=Cy יוצאת פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=Dx. כשאת מציבה את ערכי הנקודה (1,2) בשתי המשפחות את מקבלת ש-D=5 ו-C=2.5; וכשאת גוזרת את שתי העקומות הספציפיות שקבלת ומבודדת את ערכי http://www.codecogs.com/gif.latex?y' בנקודה (לבדיקה) את מקבלת באמת ששני המעגלים האלו ניצבים בנקודה, כלומר מכפלת הנגזרות http://www.codecogs.com/gif.latex?y' היא 1-.

3. לא ברור לי על איזה סעיף את מדברת, כי הפתרון של סעיף א' לא קשור לזה של סעיף ב'. את מדברת על סעיף ב' (שמחולק לשני סעיפים, 1 ו-2)? 4. הפתרון הסטנדרטי למשפחה אורתוגנלית. גוזרים את המשוואה שמגדירה את המשפחה המקורית. מבודדים את y'. מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=%5Cfrac%7Bxy%7D%7B9-y%5E2%7D מכאן נובע שהמשפחה האורתוגונלית צריכה לקיים: http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=%5Cfrac%7By%5E2-9%7D%7Bxy%7D וזו משוואה פרידה סטנדרטית למדי שבין הפתרונות שלה יש מעגל אחד בלבד, שיוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=9 (השאר אליפסות או היפרבולות). 5. נראה לי שאת צריכה להשתמש במשפט קיום ויחידות. קל לראות שהפתרון הטריוויאלי y=0 מקיים את המשוואה בסביבות הנקודה הנתונה (4,0) ושהפונקצייה http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y)=y' רציפה שם (וגם הנגזרת שלה לפי y רציפה). מכאן נובע ש-y=0 צ"ל הפתרון היחיד. תחום ההגדרה שלו מוגבל כמובן לאיזור שבו הסינוס במכנה לא מתאפס.

1. א. לסטודנט לתואר גבוה יש פטור משכר לימוד אם הוא מלגאי בעל ארבע מנות מלגה ומעלה. מספר מנות המלגה המוקצה למשתלם משתנה מפקולטה לפקולטה. המנחה לתואר יכול להשלים את המכסה אם המספר הבסיסי לא מספיק לפטור משכר לימוד. הסכום שמרוויחים מתרגול לא גבוה (ובודאי שלא מכסה שכר לימוד אם אין פטור). בטכניון, ובמיוחד בדוקטורט, מקור ההכנסה העיקרי של המשתלם הוא המלגה ולא השכר על תרגול. בתואר שני אני מניח שהם יכולים להיות מאותו סד"ג אם אתה מוכן לתרגל מספיק שעות. That said, אני חושב שאם אתה מוכן להתפשר על מגורים במעונות ולוותר על זוטות כגון אחזקת רכב לא אמורה להיות לך בעייה קשה מדי להסתדר כלכלית (ואני מודה שלא עשיתי מחקר מבוסס בנושא, זה יותר רושם שקבלתי). ב. הבנתי שבפקולטות מסויימות יש סטודנטים מצטיינים לתואר ראשון שמתרגלים לקראת סוף התואר. זה תלוי בהיצע וביקוש - אם באותה פקולטה יש עודף של משתלמים לתארים גבוהים שרוצים לתרגל אני מניח שהם יקבלו עדיפות על סטודנטים לתואר ראשון. אתה צריך לברר בפקולטה שלך אם מחפשים מתרגלים. 2. א. בדוקטורט אתה חייב למצוא מנחה שיסכים להנחות אותך. אם תמצא מנחה (בהנחה שהציונים לא באמת בעייה) אתה מסודר. ב. קבלת המלגה (שוב, מעל מספר מסויים של מנות, 3 לזכרוני) מותנית בשהייה בטכניון ולא מאפשרת עבודה מחוץ לטכניון. מותר לעבוד בטכניון (תרגול). יש אספקט אחד חשוב ביותר שלא התייחסת אליו וכדאי שתחשוב עליו - אתה צריך לזכור שאם המטרה שלך היא להיות חוקר ומרצה היא לא מושגת ברגע שסיימת את הדוקטורט. אפילו אם סיימת אותו באופן מזהיר, בדרך כלל תידרש לפוסט-דוקטורט אחד לפחות בחו"ל ואחר כך תידרש למצוא תקן פנוי בתחום המחקר שלך. אם אתה לא מגביל את החיפושים שלך לארץ כנראה לא תהיה בעייה, אבל אם אתה רוצה להישאר בארץ - זו תהיה בעייה, כי כמעט בכל האוניברסיטאות ובכל התחומים מספר התקנים מצומצם והתחרות עליהם עזה. אם אתה נעול על המסלול האקדמי כדאי לבחור את נושא ומנחה הדוקטורט בזהירות יתרה ע"מ שתבטיח לעצמך סיכוי טוב יותר להשיג תקן במוסד טוב. אני לא מנסה לרפות את ידיך, אבל חשוב שתהיה מודע לבעייה הזו לפני שאתה ממשיך ללימודים גבוהים. לא נראה לי שהמצב הזה הולך להשתפר עד שתסיים דוקטורט.

טכנית זה פתרון שאוהד הציע קודם. אני פשוט תקנתי משהו לא נכון שהיה לי בעריכה :icon_giggle:

סליחה על השאלה החצופה, אבל איך אתה יודע? סוגריים מרובעות הן כאמור סימון של ערך שלם, לא של ערך מוחלט. אם הם רצו ערך מוחלט למה לא השתמשו ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Ca_n%7C?

תודה! :mrgreen:

צודק. תקנתי.

את גוזרת את z לפי t בעזרת כלל השרשרת: http://www.codecogs.com/gif.latex?z'(t)=-2xx'(t)+4yy'(t)-3x'(t)-2y'(t) עכשיו כל מה שנשאר לך לעשות כדי למצוא את הקצב המבוקש (אגף שמאל) זה להציב באגף ימין את ערכי x,y ואת הנגזרות http://www.codecogs.com/gif.latex?x',y' בנקודה (נתונות) כדי להגיע לתוצאה המספרית המבוקשת.

:scratch:

אם אתה רוצה סדרה שתלוייה ב-n ולא סדרה קבועה, אפשר את http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n=1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D

סוגריים מרובעות זה ערך שלם ולא ערך מוחלט, לא?

דומני שיש טעות ברכיב y של הוקטור הנורמל נגזרת של סינוס היא קוסינוס, וקוסינו של מינוס שלוש פאי חלקי שתיים הוא אפס. ואפס כפול שלוש הוא אפס

(לא עשיתי אנליזה נומרית אבל) איך שאני מבין את השאלה, בסעיף השני החישוב מניח שהסינוס והקוסינוס המוצבים בחישוב הם שני ערכים נפרדים בטבלה - ולכן במקרה הזה הם מייצגים שני משתנים בלתי תלויים שלכל אחד מהם שגיאה נפרדת (שהיא במקרה זהה). ולכן כשאתה גוזר לפי סינוס הנגזרת של קוסינוס מתאפסת. אם היית מחשב את הקוסינוס מהערך הטבלאי של סינוס (ולא מערך טבלאי נפרד) אז המשתנים היו תלויים והיית צריך לבטא את סינוס כפונקציה של קוסינוס (או ההפך) ואז לגזור.