אודי

נכון. ואם המסלול המעגלי הוא במישור מקביל לקרקע ישרה, מה זה אומר על הרדיוס שלו, R או Rcosa?

נכון. אז איזו אופציה שנתתי מהשתיים נכונה, א' או ב'?

הרדיוס וכיוון התאוצה הצנטריפוגלית אמורים להתאים למסלול המעגלי שהמכונית מבצעת. האם המכונית מבצעת מסלול מעגלי: א. במישור מקביל למדרון (מה שאומר בפרט שהיא משנה את הגובה שלה במהלך המסלול)? ב. במישור מקביל לקרקע ישרה (מה שאומר בפרט שהגובה שלה במהלך הסיבוב נשאר קבוע)?

אוקי, במחשבה שנייה אני אתקן את תשובתי כי נראה לי שטעיתי. המהירות בציר y תתאפס בנקודה כלשהיא לפני שיא המסלול, אבל זה כנראה יקרה כשיש לגוף מהירות שיורית בציר x. זה נובע מכך שהמתיחות מתאפסת ומפסיקה לשנות את כיוון המהירות בנקודה מסויימת לפני שיא המסלול. אם בנקודה הזו יש לגוף מהירות שיורית בכיוון x שום דבר לא מסוגל לחסל אותה עד שהחוט נמתח מחדש. אז כל האנרגיה הקינטית שהופכת לפוטנציאלית מנקודה זו ואילך היא זו של רכיב המהירות בציר y. שני הרכיבים לא מתאפסים ביחד ולכן מה שאמרתי קודם לא נכון - הגוף לא יגיע לשיא הגובה. כי יש לו אנרגיה קינטית שיורית בציר x שהוא לא מסוגל להיפטר ממנה. אבל אני לא בטוח שהגוף יבצע בדיוק את המסלול המתואר - כלומר שהמהירות השיורית בציר x תספיק כדי לסגור מעגל.

טל"ח

תסתכל על השורה האחרונה בתצלום מסך שלך - בסופו של דבר אתה אכן פותר את התרגיל באמצעות אנרגיות. מטרת ההסבר פה היא להראות לך שבניגוד למקרה המוט, הכדור צריך להגיע לשיא הגובה עם מהירות שונה מאפס. אתה יכול למצוא את המהירות הזו מתוך הכוח הצנטריפוגלי או במערכת האינרציאלית, אין הבדל. אבל אתה חייב למצוא את המהירות בשיא הגובה כדי שתוכל למצוא את המהירות בתחתית המסלול המעגלי מתוך משוואת שימור האנרגיה. ההבדל בין מוט לחוט הוא שהמוט מפעיל על הכדור כוח נורמלי והחוט לא. הכוח הנורמלי שהמוט מפעיל על הכדור ימנע ממנו ליפול ישר למטה אם הכדור יגיע לשיא הגובה במהירות אפס. ולכן אם הכדור והמוט הגיעו לשיא הגובה במהירות אפס הם ישלימו מסלול מעגלי. החוט לא מסוגל למנוע מהכדור ליפול ישר למטה אם הוא מגיע לשיא הגובה עם מהירות אפס, ולכן במקרה של החוט הכדור צריך להגיע לשיא הגובה עם מהירות שמספיקה להשלמת מסלול מעגלי (או מהירות שעבורה הכבידה מספקת את התאוצה הרדיאלית המתאימה בשיא).

:)

הם לא הוכנסו כארגומנטים. אלו סוגריים של גורם משותף. הפונקציה M מכפילה אותם (כמו ש-f הכפילה את המשוואה בבעייה השנייה). כאמור, M היא פונקציה של x בלבד. שלבי הפתרון בשתי הבעיות זהים.

1. ניסוי וטעייה. ראיתי שאני לא מגיע למשוואה נוחה עם גורם אינטגרציה שהוא פונקצייה של y. ...אפשר היה לקבל אינטואיציה מכך שאחת הנגזרות הראשונות (הארוכה, עם יותר מידע) מכילה את y בכל איבר שלה אך לא את x, אבל זה לא תמיד עובד. 2. שים לב לתיקון בעריכה. היה שם סימן ששכחתי ששינה את התשובה.

גורם האינטגרציה בשאלה הראשונה (4) הוא דווקא פונקצייה של x. לפי אותם שלבים (רק שעכשיו לא צריך את כלל השרשרת כי http://www.codecogs.com/gif.latex?M' היא נגזרת חלקית לפי x): http://www.codecogs.com/gif.latex?M(3x%5E2y+2xy+y%5E3)dx+M(x%5E2+y%5E2)dy=0 1. השוואת הנגזרות המעורבות: http://www.codecogs.com/gif.latex?M(3x%5E2+2x+3y%5E2)=M'(x%5E2+y%5E2)+2xM 2. העברת אגפים: http://www.codecogs.com/gif.latex?3M(x%5E2+y%5E2)=M'(x%5E2+y%5E2) 3. צמצום: http://www.codecogs.com/gif.latex?M'=3M 4. פתרון: http://www.codecogs.com/gif.latex?M=e%5E%7B3x%7D 5. ומכאן והלאה - משוואה מדוייקת.

2. נכפיל את המשוואה ב-f ונקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?fydx-f(x%5E2+y%5E2+x)dy=%5CPhi,_xdx+%5CPhi,_ydy=0 נחשב את הנגזרת המעורבת http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CPhi_,%7Bxy%7D משני האברים ונדרוש שוויון. נזכור בגזירה את כלל השרשרת, כלומר כשגוזרים את f לפי x או y מקבלים תמיד מכפלה של הנגזרת לפי הארגומנט http://www.codecogs.com/gif.latex?f' ב-2x או 2y. נקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?2y%5E2f'+f=-2xf'(x%5E2+y%5E2+x)-(2x+1)f ולאחר העברת אגפים וחלוקה ב-2: http://www.codecogs.com/gif.latex?(x%5E2+y%5E2)(x+1)f'=-(x+1)f או: http://www.codecogs.com/gif.latex?f'=-%5Cfrac%7Bf%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D אבל http://www.codecogs.com/gif.latex?f' היא נגזרת של f לפי http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2, ולכן נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?f'%5C(r%5C)=-%5Cfrac%7Bf%5C(r%5C)%7D%7Br%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cln(f%5C(r%5C))=-%5Cln%5C(r%5C) http://www.codecogs.com/gif.latex?f%5C(r%5C)=%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x%5E2+y%5E2)=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D מכאן והלאה זה פתרון של משוואה מדוייקת.

על לא דבר :) 1. הסימן תלוי בכיוון הפעלת הכוח ובבחירת נקודת הרפרנס. הפוטנציאל בנקודה A ביחס לנקודת רפרנס O מוגדר כ- http://www.codecogs.com/gif.latex?U(A)=-%5Cintop_%7BO%7D%5E%7BA%7D%5Cvec%7BF%7D%5Ccdot%20d%5Cvec%7Br%7D ובמקרה שלנו הכבידה בכיוון מטה, כלומר אם נסמן את כיוון התקרה ככיוון ציר y החיובי: http://www.codecogs.com/gif.latex?U(A)=-%5Cintop_%7BO%7D%5E%7BA%7D-mg%5Chat%7By%7D%5Ccdot%20d%5Cvec%7Br%7D=%5Cintop_%7BO%7D%5E%7BA%7Dmg%5C,%20dy=mg(y_%7BA%7D-y_%7BO%7D) אם ניקח את נקודה O בגובה התקרה אז כל הנקודות בבעייה מקיימות http://www.codecogs.com/gif.latex?y_O ולכן הפוטנציאל יהיה שלילי. אם נקח את נקודה O כנקודה הנמוכה ביותר במסלול אז כל הפוטנציאלים יהיו חיוביים. זה לא משנה את הפתרון.

1. א. בחירת נקודת הייחוס לחישוב הפוטנציאל שרירותית לחלוטין. אתה יכול לבחור את התקרה, אתה יכול לבחור את הנקודה הנמוכה ביותר במסלול, אתה יכול לבחור כל נקודה שבא לך. בחירת הנקודה לא באמת משנה את שוויון האנרגיה - היא מוסיפה את אותו קבוע לשני האגפים בשוויון. ב. הצעתי את התקרה כי הבחירה הזו (כמעט) מתאימה למשוואה שרשמת, עד כדי מינוסים. 2. א. רדיוס המסלול המעגלי הוא אורך קטע החוט שנמצא מתחת למסמר כאשר החוט פוגע במסמר - l/4. ב. לכן, כשהכדור בנקודת השיא של המסלול המעגלי הוא בגובה l/4 מעל המסמר, כלומר במרחק l/2 מתחת לתקרה (ו-l/2 מעל הנקודה הנמוכה ביותר במסלול). 3. לא בבעייה הזו. אם הכדור מתחיל ממנוחה בגובה גבוה יותר משיא המסלול המעגלי ויש שימור אנרגיה אז כשהכדור בשיא המסלול המעגלי חייבת להישאר לו אנרגיה קינטית.

לא. הגבהים לא נכונים. הכבידה לא פועלת כלפי התקרה, ולכן האנרגיה הפוטנציאלית שיש לגוף בתחילת התנועה גבוהה יותר מזו שיש לו בשיא המסלול המעגלי. אתה צריך לבחור נקודת רפרנס ולחשב ביחס אליה את האנרגיה הפוטנציאלית. אם הרפרנס הוא התקרה, אז כל הגבהים ביחס אליה שליליים, לא חיוביים. הגובה של שיא המסלול הוא לא l- גם במערכת הזו אלא 2/l-. הגובה בתחילת התנועה הוא 3/l-.

1. המהירות של הכדור בזמן הפגיעה של החוט במסמר גבוהה יותר מהמהירות של הכדור בשיא המסלול המעגלי - הוא מאבד אנרגיה קינטית לטובת פוטנציאלית כדי להגיע לשם. 2. על הכדור פועלים שני כוחות בזמן התנועה - כבידה, שהיא כח משמר, ומתיחות, שמאונכת למסלול של הכדור לאורך כל התנועה ולכן לא מבצעת עבודה. 3. מ-2 אפשר להסיק שיש שימור אנרגיה, ואפשר לרשום אותו בין נקודת ההתחלה של התנועה לשיא המסלול המעגלי ולמצוא את המהירות שם.

עריכה: אוקי, לא חשוב, הבנתי. עד כמה שאני מבין את מוצאת את רכיב k באותה דרך שמצאת אותו קודם, רק שעכשיו את דורשת שלוקטור המשיק (שהוא כיוון התנועה) יהיו רכיבי x,y בכיוון מינוס הגרדיינט, אבל הוא עדיין ניצב לגרדיינט (התלת ממדי). נדמה לי שיוצאת אותה תשובה, 185-

- הכדור לא ינוע בכיוון הגרדיינט אלא בכיוון ההפוך בדיוק לכיוון הגרדיינט, כי כיוון הגרדיינט הוא הכיוון שבו הפונקצייה עולה מקסימלית ואת צריכה את הכיוון שבה היא יורדת מקסימלית - מאיפה ה-185-? :scratch:

אני לא מבין למה אתה ממיר את אלפא במקום להמיר רק את התוצאה הסופית ממטרים לשנייה לקילומטרים לשנייה. אם אתה ממיר את אלפא ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?km%5E%7B-1%7D אתה צריך להמיר גם את A, כי הניוטון שיש לך ב-A הוא בעצם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bkg%5C,m%7D%7Bsec%5E2%7D ואתה צריך להפוך אותו ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bkg%5C,km%7D%7Bsec%5E2%7D אם אתה רוצה שהיחידות של התוצאה הסופית יתאימו. נראה לי פשוט יותר להמיר את המרחק http://www.codecogs.com/gif.latex?r_0 למטרים (כל שאר הגדלים נתונים ביחידות שמתאימות לתוצאת מהירות במטרים לשנייה) ואז להמיר את התוצאה הסופית ליחידות המבוקשות.

השינוי באנרגיה הקינטית של הלווין בין המצב ההתחלתי למצב שבו הוא ברח (הגיע לרדיוס אינסופי עם מהירות אפס) הוא העבודה שבצע עליו הכח: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20E_%7Bk%7D=W=%5Cintop_%7Br_%7B0%7D%7D%5E%7B%5Cinfty%7DFdr כלומר: http://www.codecogs.com/gif.latex?0-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_%7B1%7Dv_%7Br%7D%5E%7B2%7D=-Am_%7B1%7Dm_%7B2%7D%5Cintop_%7Br_%7B0%7D%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Calpha%20r%7Ddr=-%5Cfrac%7BAm_%7B1%7Dm_%7B2%7De%5E%7B-%5Calpha%20r_%7B0%7D%7D%7D%7B%5Calpha%7D או: http://www.codecogs.com/gif.latex?v_%7Br%7D=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2Am_%7B2%7De%5E%7B-%5Calpha%20r_%7B0%7D%7D%7D%7B%5Calpha%7D%7D

על לא דבר :)

למה לא? :scratch:

כן. בנקודה נתונה, הכיוון שבו ההשתנות של הפונקציה מקסימלית ניצב לכיוון שבו היא לא משתנה כלל.

אז קל לראות שהגרדיינט יוצא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f(2,3)=(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+y%7D,%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+y%7D)=%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(1,1) ווקטור היחידה המתאים הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D=(%5Ccos(135%5E%7B%5Ccirc%7D),%5Csin(135%5E%7B%5Ccirc%7D))=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D(-1,1) המכפלה הסקלרית ביניהם היא הנגזרת המכוונת וקל לראות שהיא מתאפסת: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Cvec%7Bn%7D%7D=%5Cnabla%20f(2,3)%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(1,1)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D(-1,1)=0

לא, כי היא לא שואפת לאפס.

הגבולות החד"צ דווקא מוגדרים היטב, 1 מימין ו-1- משמאל. והגבול שיוצא לך כשאתה מציב את הסדרה הוא הגבול החד"צ מימין - 1.