מנוי

אוקי, דוגמא שחוסר גזירות מופיע באמצע קטע: דוגמא לפרמטריזציה לא גזירה של העקום http://www.codecogs.com/gif.latex?%20(%5Cfrac%7B%20%5Cpi%7D%7B2%7D ,עכשיו אם נגדירhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%20%C2%A0s=cos(t) עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D נקבל פרמטריזציה http://www.codecogs.com/gif.latex?(0 ,ועבור http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi נקבל פרמטריזציה http://www.codecogs.com/gif.latex?(0, קל לראות שהפרמטריזציה החדשה לא גזירה בקצה בנקודהhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%20t=%5Cpi בעוד שהפרמטריזציה המקורית דווקא כן.

s היא פונקציה של t, לא t היא פונקציה של s.אחרת הכול באמת מסתדר לפי כלל השרשרת. אתה אומר שאם יש לי עקום חלק, אז עבור כל פרמטריזציה חדשה אחרת, הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?x%20,y,%20z לפי הפרמטריזציה החדשה יהיו גזירות?

דוגמא לפרמטריזציה לא גזירה של העקום http://www.codecogs.com/gif.latex?%20(%5Cfrac%7B%20%5Cpi%7D%7B2%7D ,עכשיו אם נגדירhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%20s=cos(t) נקבל פרמטריזציה http://www.codecogs.com/gif.latex?(0, קל לראות שהפרמטריזציה החדשה לא גזירה בקצה הקטע, בעוד שהפרמטריזציה המקורית דווקא כן. אבל השאלה שלי לא כזה קשורה למשחקי הפרמטריזציה האלה. אני למדתי לגבי פרמטריזציה חדשה שנקראת פרמטר אורך קשת שבה הפרמטר S הוא לא סתם משתנה רץ מB לA כלשהו, אלא פרמטר אורך העקום שרץ מ0 לאורך העקום(נגיד L). ניתן להבין מההרצאה שהמרצה בטוח ומבחינו זה אפילו טריוויאלי שהפרמטריזציה החדשה לפי S גזירה והעקום חלק לפי פרמטריזציה זאת. אני מנסה להבין למה.

נניח יש לי עקום עם פרמטריזציה:http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%C2%A0a כך שזה עקום חלק והפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t),%20y(t)%20,z(t) גזירות ברציפות בתחום http://www.codecogs.com/gif.latex?b . נניח אני עובר לפרמטריזציה חדשה לפי S, כאשר S, הוא אורך העקום. איך אני יודע שהפונקציות החדשות : http://www.codecogs.com/gif.latex?x(s)%20,y(s),%20z(s) גזירות לפי S בתחוםhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%20s(a)?

טוב הצלחתי להגיע למשהו מספק ככול הנראה, תודה!

מה יוצא הנגזרת השניה לפי X, כי כל פעם שאני פותר יוצא לי אותו ביטוי שאין לי איך לעבוד איתו(יוצא לי ערך הפונקציה על נקודות המשולש).

הנגזרת של U לפי X הראשונה(ובין היתר השניה) היא אפס, כי האינטגרל החיצוני בכלל לא תלוי ב-X?

למה הנגזרת שלT לפי T בגבול העליון של האינטגרל החיצוני נותנת אפס בחישוב הנגזרת הראשונה של U לפי T?

אני מנסה לפתור את סעיף ב' של השאלה הזאת: http://i.imgur.com/4nnhloC.png בסעיף ב' אמורים לגזור את הפונקציה U לפי T, אני גוזר אותה לפני T,(אני מציף במקום האינטגרל הכפול את האינטגרלים הנשנים שהוכחתי שהם שווים לאינטגרל הכפול בסעיף א) ומקבל שלפי משפט היסודי של החד"א, אני בעצם צריך לשים בתוך האינטגרד את הערך t(אני מניח שאם אני גוזר איטנגרל שהאינטגרד שלו זה בעצם גם אינטגרל, אז הכול מתנהל כמו המשפט היסודי של החדוא), אני שם בתור האיטנגרל לפי R , את המשתנה T במקום S(כמו שאני הייתי עושה אם זה היה כל אינטגרנד אחר, ומקבל אינטגרל לפיR בין X לX שזה אפס). כלומר, הנגזרת הראשונה של U לפי T היא אפס.

תודה רבה!! ממש עשית סדר בראש!

ואם אני רוצה להראות מונוטוניות תוך שימוש בנגזרת, כלומר כככול שמתקדמים לעבר המרכז קצב איבוד המסה נהיה יותר איטי. איך לעשות זאת?

אני מנסה לענות על השאלה ,איפה קצב ההתנדבות הוא יותר גדול: http://i.imgur.com/Ext01Em.png אם אני מקבע t כלשהו, קל לראות שצפיפות המסה ליחידת נפח תהיה יותר קטנה אחרי זמן t כלשהו כאשר המרחק מהראשית גדול יותר. אך משום מה כשאני גוזר את פונקציית צפיפות המסה לפי t, אני מקבל משהו מוזר. אני מקבל שאיבוד המסה הוא יותר גדול לרגע t כלשהו, כשאני קרוב יותר למרכז המסה.

אז אתה אומר פשוט שכול המועיין למעלה היה אמור היה להיות כחול וזה בעיה בתמונה?

שלום, אני מנסה להבין איזה מעויין כחול הם רואים בציור הזה: http://i.imgur.com/w5dZ1sg.png לא משנה באיזה זווית אני מסתכל על המישור, אני לא רואה מעויין,אשמח לעזרה.

תודה.

לא, אני יודע שהפיתרון שלך נכון, אני רק שואל למה?

הכלל הראשון הוא שהאינטגרנד תהיה בכלל פונקציה איטנגרבילית. כלומר שהאינטגרל הכפול בכלל יהיה קיים. איך אני יודע שהאיטנגרל הכפול קיים? כי אני יכול לחלק אותו ל2 פונקציות לפי X ולפי Y, ועבור כל אחד מהם לחוד האינטגרל קיים(בין המוכלל לבין הרגיל), אבל מי אמר שזה בהכרח מוכיח שהאיטנגרל הכפול קיים, ואם זה לא מוכיח, אז בפרט אני לא יכול לחלק אותה ל2 אינטגרלים.

למה מותר לי לחלק את האינטגרל הזה ל2 אינטגרלים לפי x ולפי y? לי זה לא נשמע כזה טריוויאלי, כי למדנו שרק תחת תנאים מוגדרים מאוד ניתן לעשות זאת.

אוקי, העניין הוא שלא למדתי משפט: אם הפונקציה שבתוך האיטנגרל הכפול פריקה ל2 אינטגרלים (בין היתר מוכללים), אז ניתן לפרק אותה ל2 אינטגרלים(בין היתר מוכללים) ולפתור אותה ככה. המשפט היחד שראיתי בחומר הקורס שהתייחס לפירוק האינטגרד ל2 פונקציות ,זה המשפט הזה: http://i.imgur.com/EcvUhkY.png ניתן לראות שבמשפט זה יש דרישה שהפירוק יהיה ל2 פונקציות שהן בעצמן אינטגרביליות לפי רימן. האם קיומו של אינטגרל מוכלל אומר בהכרח שהפונקציה אינטגרבילית לפי רימן?

אני מסכים שהוא פריק ל2 אינטגרלים בלתי תלויים, הבעיה שאינטגרל לפי Y, לא קיים, כי הפונקציה לא חסומה. מה אני מפספס פה?

כי אז ערכי הX שלך מוגבלים לתחום http://www.codecogs.com/gif.latex?%5B-1,1%5D

ההצבה לא אמורה לכלול גם את r?

ממש תודה לך!!

שלום רב, זוהי שאלה מספר 2 בגיליון הראשון עבור אינטגרלים כפולים, שאלה שאמורה להיות די בסיסית... http://i.imgur.com/JYaKw7C.png בשלב זה של הקורס עוד לא למדנו שום דבר עבור אינטגרלים כפולים מוכללים, אני אמור לדעת לפתור את השאלה בעזרת ההגדרה של אינטגרביליות לפי רימן. על פניו הפונקציה איננה חסומה בסביבת הנקודותhttp://www.codecogs.com/gif.latex?(x,1) לכל X במלבן, ואם הפונקציה לא חסומה אז היא בפרט איננה אינטגרבילית לפי רימן.

כלומר, אם יש לי אינטגרל של שלוש גבולות, אז או שאני מקפיד בכולם ללכת מהקטן לגדול או שאני יכול ללכת ב2 מהגבולות מהגדול לקטן ובאחת מהקטן לגדול, ואז 2 הגבולות השליליים יקזזו זה את זה?