מנוי

לא מדויק, הפונקציה אמנם רציפה כשהולכים על ישרים, אבל זה לא סוג המסלול היחיד האפשרי להוכחת רציפית א' כאמור לא מוכיח רציפות, למעשה הטענה שלי לא היית נכונה. דוגמא נגדית: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Cfrac%7Bx%5E%7B12/5%7D+y%5E%7B6/5%7D%7D%7Bx%5E4+y%5E2%7D

אני מעלה תמונה של שאלה מהמתנט: http://i.imgur.com/L2diWxo.jpg על פניו התשובה המתבקשת היא שהנגזרת המקסימלית היא בכיוון(0,0,1), שזה הכיוון היחיד בגרדיאנט שלא התאפס, אבל מה קורה אם וקטור הגרדיאנט עצמו הוא וקטור האפס. זה לא סותר שום נתון בשאלה, ישנם פונקציות דיפרציאביליות שהגרדיאנט שלהם אפס. אז במקרה זה אין אף כיוון שהנגזרת המכוונת בו היא מקסימלית, כי לכל כיוון הנגזרת המכוונת היא אפס, אני צודק?

הבנתי, תודה!

כן, את זה ראיתי, אבל בסעיף ב' רמזת שישנה עוד דרך להוכיח שכל הנגזרות החלקיות הן אפס, מבלי להסתמך על דיפרציאבילית של הפונקציה. רציתי להבין אותה.

תוכל בבקשה לפרט על הדרך הזאת להראות שאם כל הנגזרות החלקיות קיימות ושוות, אז הן בהכרח שוות לאפס?

אני מנסה להוכיח את הטענה שאני בעצמי לא בטוח שהיא נכונה: אם כל הנגזרות המכוונות של הפונקציה קיימות ושוות לאותו ערך, אז הפונקציה היא בהכרח דיפרציאבילית ,וכל הנגזרוות המכוונות שוות לאפס. איך אפשר לגשת לדבר הזה?

לגבי הניגזרות החלקיות של F לא ידוע לך שהן רציפות. ייתכן פונקציה דיפרנציאבילית, שניגזרות החלקיות שלה אינן רציפות. דוגמא נגדית: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y) כאשר בנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?(x,y)=(0,0) הפונקציה מוגדרת בתור 0, ובכל נקודה אחרת הפונקציה מוגדרת בתור:http://www.codecogs.com/gif.latex?(x%5E2+y%5E2)*sin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D%7D), אזי בנקודה (0,0) הפונקציה דיפרנציאבילית, אך הניגזרות החלקיות שלה שמה אינן רציפות.

אם http://www.codecogs.com/gif.latex?f(u,v) היא פונקציה דיפרנציאבילית לכל u,v, ואני מרכיב אותה על הפונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?u(x,y),%20v(x,y) כך ששתי הפונקציות דיפרנציאביליות לכל x,y. האם הפונקציה המורכבתhttp://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y) כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)) היא גם דיפרנציאבילית לכלל x,y?

אני לא מבין איך מחשבים פונטציאל, למדנו בהרצאה 2 שיטות מנוגדות שמביאות לתוצאות סותרות, אני מצרף 2 סריקות ל2 שאלות, בשניהם מחשבים פונטציאל שמביאים את מטען הבוחן כנגד כיוון השדה מאינסוף, אך בשאלה אחת אומרים בפיתרון שכיוון הוקטור dl (בתוך האינטגרל) הוא בכיוון השדה ,ובשאלה השניה אומרים בפיתרון שכיוון וקטור dl הוא כנגד כיוון השדה. מה מהם נכון? (בשניהם מופיע הסימן מינוס מחוץ לאינטגרל) בכיוון השדה: http://i.imgur.com/bFulLfb.png כנגד השדה: http://i.imgur.com/T7mzdP7.png http://i.imgur.com/PrxeTCo.jpg

אני מנסה להוכיח שאם קיים מישור משיק לפונקציה של 2 או יותר משתנים בנקודה כלשהי, אז כל עקום שיעבור באותה הנקודה יהיה גם כן גזיר. איך אפשר לעשות זאת בהתבסס על ההגדרה של גזירות הפונקציה בנקודה? כלומר, למה כל עקום שנמצא על גרף של פונקציה שגזירה בנקודה מסויימת, חייב להיות גם חלק באותה הנקודה.

לפי ההגדרה הפונקציה גזירה אמ"מ מתקיים: http://i.imgur.com/1RXYUAm.jpg למדנו משפט שאם הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y) גזירה בנקודה כלשהי, אז קיים מישור המשיק לה בנקודת ההשקה כך שהמישור אינו מקביל לציר Z. עכשיו נתבונן בהגדרה של הדיפרנציאבליות, לפי ההגדרה אפשרי למשל שhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x יהיה בסדר גודל יותר גדול מhttp://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y ;והפונקציה עדיין תהיה דיפרנציאבילית, אך במקרה זה המישור המשיק הוא דווקא מקביל לציר z.(כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y יכול להתאפס הרבה לפני שהשארית תתאפס). למה מקרה זה לא ייתכן?

זה לא ממש תיכון מבחנתי, הנגזרת הזאת למדתי סמסטר קודם , ובספר הקורס נאמר במפורש שהפונקציה צריכה להיות חיובית. יש בעיה בהוכחה שלך, כי למשל בדוגמא שלי אלפא איננו מספר שלם, ולכן אתה לא יכול לפתח אותה ע"י הבינום של ניוטון.

אם תסתכל איך הוכיחו את זה, תראה שבשלב מאוד קריטי של ההוכחה אתה מניח שהפונקציה חיובית. מה שלא מתקיים במקרה שלנו. ההוכחה: http://i.imgur.com/E1hLbxZ.png

אשמח לראות איך הגעת לנוסחא הזאת.

איך ניתן לפתח את הנגזרת של הפונקציה הבאה:http://www.codecogs.com/gif.latex?%20f(x)=%20x%5E%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?x=-2? אני יודע את הפיתוח שלה עבור ערכי X גדולים מאפס, אבל זה עובר דרך נגזרת לוגוריתמית, כלומר אני צריך להכניס את הפונקציה לתוך הln וזה בעיה כי הפונקציה שלילית.

האם פרבולאיד הוא משטח ריבועי, כי במשוואה שלו לא כל הנעלמים הם בריבוע?(http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=z)?

איך אפשר להוכיח את הטענה הזאת עבר המקרה הכללי? כלומר נתון משטח ריבועי כלשהו ,ומישור כלשהו שחותך אותו. איך ניתן להוכיח שהחתך של המשטח עם המישור הוא תמיד עקום ריבועי, ולא ייתכן במצב שיווצר קו ישר למשל?

תוכל להסביר את המשמעות המתימטית של מה אני עושה פה, אני בסה"כ רוצה ש R יהיה קטן מאוד ביחס לH, אז אם הייתי מפתח סביב אפס עוד הייתי מבין, כי אם R קרוב מאוד לאפס, אז בהכרח הוא קטן ביחס לH, אבל למה אני מפתח סביב הנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?R_0 שבה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(R_0)=h?

לא ממש הבנתי למה אתה מתכוון, איזה פונקציה צריך לפתח לפולינום טיילור ואיך לעבוד עם הפולינום שפיתחתי כדי לעשות את ההזחה הנדרשת?

:-) זה לא להגשה, זה סתם שאלות לפיתוח חשיבה....

האם התשובה פה היא A=1? כביכול הוכחתי את זה לפי הגדרת הגבול בלשון סדרות, אבל זה נראה לי יותר מידי קל, אני צודק? http://i.imgur.com/udzxles.png

איזה פונקציה צריך לפתח לטיילור סביב אפס?

משהו מאוד מוזר:http://i.imgur.com/aV3pQ4i.jpg אם עושים את ההזנחה ישירות(מניחים שR קטן מאוד ביחס לh) קל לראות שמקבלים 0(כי הביטוי שבסוגריים מתאפס), אך אם עושים מכנה משותף בתוך הסוגריים, ומכפילים בצמוד, ורק אז עושים את ההזנחה של R ביחס לh, אפשר תוך כמה פעולות אלגבריות לקבל את התשובה שמופיע בפיתרון בעמוד, איך זה הגיוני ששני דרכים של הזנחה מובילים ל2 תשובות שונות?!

למה הפונקציה F היא רציפה בr=0?

יש למשהו כיוון איך הולכת ההוכחה של זה? אני מבין את זה רעיונית, אבל איך אני מפרמל את העסק? http://i.imgur.com/xHg39U8.jpg