מנוי

דוגמא טובה יותר - תחשוב על אינטגרל על פונקציה שמוגדרת בשטח של עיגול בקואורדינטות קרטזיות ופולריות. בקואורדינטות קרטזיות אתה עובר על x משמאל לימין ועל y מלמטה למעלה. בקואורדינטות פולריות אתה שומר על סדר עולה בקואורדינטות (r מאפס ל-R ותטא מ-0 לשני פאי), אבל יוצא שכיוון כיסוי השטח שלך הוא שונה ואין באמת חפיפה בין נקודות ההתחלה והסיום בשני המקרים. זה לא משנה כל עוד השטח מכוסה כך שהוא יוצא חיובי (האינטגרל על הפונקציה בשטח לא בהכרח, אבל השטח כן). וכדי לשמור על זה אתה צריך ששתי הקואורדינטות שלך יהיו עולות (כי אלמנט השטח האינפיטיסימלי הוא, כאמור, http://www.codecogs.com/gif.latex?r%5C,dr%20%5C,d%5Ctheta) למה אם אני אלך באחת מהקורדינטות הפוך(מהגדול לקטן) אני אקבל כיסוי שטח שלילי? בגלל שאלמנטי השטח האינפיטיסמיליים שלי יהיו שליליים?

אני לא מבין איך מההצבה X=-U , אתה מקבל גם שערכי הX מאבדים את סימן המינוס וגם שהאינטגרל שרצים בו ערכי ה-X מתהפך.

אני רואה את הדוגמא שלך, אבל תראה מה כותבים בויקפדיה: http://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution תרד למטה לשורה: Theorem. Let U be an open set in Rn and φ : U → Rn an injective differentiable function with continuous partial derivatives, the Jacobian of which is nonzero for every x in U. Then for any real-valued, compactly supported, continuous function f, with support contained in φ(U), מתחת לשורה נתונה נוסחא להחלפת משתנים ואתה יכול לראות שהם שמו את דטרמינטת היעקוביאן בערך מוחלט... והנה אף תמונה ממתנט עצמו: http://i.imgur.com/FL8gxh3.png וזה הכיתוב שמופיע מתחת לתמונה במתנט(הם אפילו רשמו מתחת לזה קו מדגיש): http://i.imgur.com/uZH6lzM.png

למיטב הבנתי יעקוביאן תמיד חיובי כי הוא מופיע בערך מוחלט,לא?

אני מנסה להוכיח את הטענה הבאה: http://i.imgur.com/ENkltch.png ברור שאני מבין למה זה מתקיים, אבל אני מחפש נוסח פורמלי, ואני לא מצליח לתפור את כל הנתונים לכדי הוכחה פורמלית. אני צריך להשתמש פה בכל מה שאני יודע על העתקות ואינטגרלים, אני רואה שיעקוביאן הוא 1. אבל איך אני מראה שבשני המקרים גם במרחב UV וגם במרחב XY מדובר באותו התחום , ואיך מזה אני מניח שאיטנגרל הוא אפס?

איך אתה רואה שלא קיימת סביבה של הנקודה (http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0,y_0,z_0) שבה אין חילוץ Z כפונקציה של Y וX?

אני מחפש דוגמא נגדית לhttp://www.codecogs.com/gif.latex?F(x,y,z) פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה (http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0,y_0,z_0) כך שhttp://www.codecogs.com/gif.latex?F(x_0,y_0,z_0)=0 הנגזרת החלקית של F בנקודה (http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0,y_0,z_0) לפי Z שונה מאפס(כלומר, כל תנאי משפט הפונקציות הסתומות מתקיימות מלבד הנתון שF בעלת נ"ח רציפות),אז תנאי המשפט לא קיימים כלומר, לא קיימת Z כפונקציה של X,Y בסביבת הנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0,y_0,z_0. יש למשהו רעיון ?

אוקי, תודה רבה! פשוט כשלומדים משהו חדש, בהתחלה לא בטוחים במה שעושים.

אני לא הבנתי, איך העובדה שhttp://www.codecogs.com/gif.latex?y(x) גזירה פעם אחת (או גזירה ברציפות פעם אחת) משפיע או לא משפיע על אם אני יכול או לא יכול להפעיל את כלל לייבניץ, אני פשוט מנסה לגזור את http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x), אני רואה שהיא מורכבת מ2 פונקציות, אזי אני אומר שאם כל אחת מהפונקציות גזירות,אז http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x) גזירה. אני מנסה להפעיל את כלל לייבניץ כדי לגזור כל אחת מהפונקציות בנפרד, אני רואה שאני מצליח. אני גוזר. אותו התהליך אני מבצע עם הנגזרת של http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x). איך הנתון שhttp://www.codecogs.com/gif.latex?y(x) גזירה עוזר לי בכלל לייבניץ?

אם נתונה הפונקציה: http://i.imgur.com/tWcIBkS.png נניח שהם היו מבקשים ממני לגזור את הפונקציה שבתמונה בנקודה X=0, במקרה זה הייתי צריך להשתמש בהערה 1. (כי לא ניתן למצוא מלבן שבו X=0 ,והתמונה של 2 הפונקציות שבגבולות האינטגרל לא כוללת את הנקודה Y=0). אני מנחש שהם התכוונו שאני אגדיר מלבן "קרוב" לנקודה הבעייתי, ואז אתקרב לנקודה הבעייתית. אם זה כך, אז נשמע לי בעייתי, כי אם אני מתקרב לנקודה הבעייתית עם המלבן הזה, אני מתקרב רק "מכיוון אחד-מהצד שבו המלבן נמצא". או שהכוונה שאני מגדיר אינסוף מלבנים סביב הנקודה הבעייתית ועם כולם ביחד מתקרב אליה?

Y באינטגרל היא פונקציה של T, כשאני גוזר את האינטגרד לפי X, זהו סתם קבוע, ולכן הנתון על הגזירות של הY הוא מיותר(וגם על הרציפות של הנגזרת), הלא כן?

אשמח אם תוכל להגיד לי איפה יש פה טעות: שים לב שהשתמשתי רק בעובדה שאם Y גזירה פעם אחד אז היא גם בפרט רציפה. http://i.imgur.com/lEpkVIJ.jpg

ממש תודה!

בשאלה הזאת נתון שפונקציה y גזירה פעמיים בריצות: http://i.imgur.com/3GbeFp1.png אני לא מבין לצורך מה לתת נתון חזק כזה. מספיק היה להגיד שy רציפה, ואז לפי כלל לייבניץ היה אפשר לגזור אותה פעמיים. למה זה טוב שY גזירה פעמיים(ועוד ברציפות!)?

...

לא. הנה התשובה המלאה: יהי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y) אינטגרנד עם נקודות אי רציפות סליקות (אבל נגזרת רציפה לפי y) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y) אינטגרנד מתוקן שבו החלפנו את הערך בנקודות אי הרציפות הסליקות בגבול של הפונקציה f בהן. אזי, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Df(x,y)%5C,dx http://www.codecogs.com/gif.latex?G(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Dg(x,y)%5C,dx נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=G(y) http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(y)=G'(y) מכיוון שאת אגף ימין מותר ללא שום ספק לחשב באמצעות כלל לייבניץ, והחישוב שלו באמצעות כלל לייבניץ נותן את אותה תוצאה בדיוק שנותן החישוב של אגף שמאל עם אגף לייבניץ (עד כדי, שאם באגף שמאל אחד מהגבולות נמצא בנקודת אי רציפות סליקה צריך להחליף את הערך של הפונקציה בנקודה בערך הגבולי ואז מתקבלת אותה תוצאה), נובע שנקודת אי רציפות סליקה לא משנה לכלל לייבניץ תחת המניפולציה הזו. האם זה לא אומר בעצם שאתה לא משתמש בכלל לייבניץ עבור הפונקציה הישנה אלא עבור הפונקציה החדשה ,ורק בדרך הזאת אתה מצליח לגזור את הפוקציה לפי כל Y? עריכה: נראה לי שהבנתי, אתה גוזר את הפונקציה הנתונה באמצעות כך שאתה מגדיר פונקציה חדשה ומפעיל עליה את כלל לייבניץ, ומצדיק את הפעולה הזאת בכל ששינוי ערך הפונקציה במספר סופי של נקודות, לא משפיע על ערך האינטרגל. אני מבין נכון?

נכון ,הנגזרת שלהם לפי Y שווה, אבל למה אני יכול להשתמש בנוסחאת של משפט לייבניץ למציאת הנגזרת הזאת, כאשר אני מציב בנוסחא את הפונקציה הישנה ,שלא עומדת בתנאי המשפט? רגע של עברית: אתה לא חושב שהניסוח בשאלה למעלה פשוט לא נכון? כתוב: "הצדק את השימוש במשפט לייבניץ עבור גזירה של הפוקנציות:..." התשובה שלי עבור 2 הפונקציות: אי אפשר להצדיק את השימוש במשפט לייבניץ עבור הפונקציות, כי הפונקציות האלה אינן רציפות. מה שכן, ניתן להגדיר פונקציה אחרת ורק אז לגזור את הפונקציות לפי Y. האם אני צודק?

אני מסכים שאם אני מחליף את הפונקציה הישנה בפונקציה חדשה שאותה אני מגדיר בX=0 באופן אחר, אז אני מקבל פונקציה רציפה, ומכיוון ששינוי במספר סופי של נקודות לא משפיע על האינטגרל, אני מקבל שיויון באינטגרלים על 2 הפונקציות השונות. עד פה הכול בסדר, אבל באיזה זכות אני משתמש במשפט לייבניץ עבור הפונקציה הישנה ולא עבור הפונקציה החדשה?

מה? למה? מה הבעייה בהגדרה? n הוא חזקה חיובית, לא שבר. אין שום בעייה בהגדרה עבור אינטגרנד שמתאפס ואין גם בעייה בגזירה שלו. כל השאלה שלי התייחסה לשאלה הראשונה.(הייתי צריך לחשוב שזה יכול ליצור בלבול). התכוונתי לפונקציה שהיא הגבול התחתון של האיטנרגל(הפונקציה התחתונה), שהיא הפונקציה x=0. עכשיו בשביל שאוכל להשתמש בכלל לייבניץ, לפי מה שנאמר קודם במתנט, צירכים להתקיימים התנאים הבאים: http://i.imgur.com/FFICBlm.png ניתן לראות שבמקרה שבו הפונקציה שנמצאת בגבול התחתון של האיטנרגל קבועה לx=0 והאינטגרד לא רציף באפס, אז המלבן הזה לא קיים. מה אני מפספס פה?

אני כנראה לא מספיק מבין את כלל לייבניץ, במתנט מופיע השאלה הבאה (שאלה 1): http://i.imgur.com/jfVNW5o.png עבור הפונקציה השמאלית שבשאלה 1,אני לא יכול להשתמש בכלל לייבניץ, כי על פי תנאי המשפט אני צריך שהתמונה של הפונקציות שנמצאות בגבולות של האינטגרל תהיה במלבן שבו האינטגרד היא פונקציה רציפה(כפונקציה של 2 משתנים). הפונקציה התחתונה תמיד תחזיר ערכי X שהם אפס, המלבן לא יכול להכיל ערכי X שהם אפס, כי אז האינטגרד הוא לא פונקציה רציפה(הוא פשוט לא מוגדר עבור X=0, ולכן בפרט גם לא רציף). בפונקציה הימנית על פניו אין בעיה ,כי לכל Y, אפשר יהיה למצוא מלבן שלא יכיל את הנקודות שבהם ערך ה-X הוא אפס. יש דרך להצדיק את השימוש בכלל לייבניץ עבור הפונקציה השמאלית?

אה, אוקי. מסכים, אצלינו בקורס פשוט הגדירו את הנגזרת המכוונת באופן כזה שההגדרה תתאים לנגזרת חלקית ולא לנגזרת חלקית חד-צדדית.

אבל הנגזרת בכיוון x- באמת לא אמורה להיות שווה לנגזרת החלקית לפי x אלא מינוס שלה. זה נכון לכל פונקציה, כולל פונקציה דיפרנציאבלית. איפה קראת שהגדרה של נגזרת חלקית בכיוון X, היא תמיד בכיוון X החיובי? זוהי ההגדרה לפי ויקפדיה: http://en.wikipedia.org/wiki/Partial_derivative גם פה בודקים נגזרות חלקית משני הכיוונים. וזאת ההגדרה שראיתי בכל מקור עד כה. לא נתקלתי באף הגדרה של נגזרת חלקית שמסתכלים רק על כיוון X החיובי. למעשה, לפי איך שאני למדתי, הפונקציה שיש לה נגזרות חד צדדיות שונות כשגוזרים אותה לפי X, היא בהגדרה איננה דיפרנציאבילית, כי אין לה נגזרת חלקית בכיוון X. גם אם אני מדמיין את הגרף של פונקציה דיפרנציאבילית, זה ששיפועי המשיקים לאורך ציר X שונים, מראה שבציר זה יש לה שפיץ, ולכן לא ייתכן שיהיה לה שמה מישור משיק.

תמיד ראיתי בהרצאות שh הולך לאפס משני הכיוונים(כלומר תמיד בודקים את הגבול גם אם הולכים בכיוון ההפוך לוקטור), אחרת הנגזרת המכוונת מאבדת מהפרקטיות שלה. למשל אי אפשר להגיד שהניגזרת המכוונת היא מקרה פרטי של ניגזרת חלקית.(אפשר להגיד שהיא מקרה פרטי של נגזרת חלקית חד צדדית ,אבל זה לא הופיע בקורס חדוא1ת). למשל בדוגמא שלך למעלה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D, אם עושים נגזרות חלקית לפי x, אז מקבלים שאם הולכים לכיוון X החיובי מקבלים 1 ואם הולכים בכיוון X השלילי מקבלים 1-, אז במקרה כזה לא יהיה נכון להגיד שהנגזרת המכוונת היא כמו נגזרת חלקית.

"אוקי, נדמה לי שמצאתי דוגמא נגדית ואת הטעות בהוכחה המקורית שלי. הדוגמא הנגדית היא http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D=r הפונקצייה רציפה בראשית וכל הנגזרות המכוונות שלה שם קיימות, שוות וסופיות. ...אבל הן שוות ל-1, והיא לא דיפרנציאבלית שם. הנגזרות החלקיות שלה לא קיימות ולא ניתנות לתפירה כי הנגזרות החד צדדיות שלהן הפוכות בסימנם (1 לנגזרת החד"צ הימנית ו-1- לנגזרת החד"צ השמאלית)." אני מצרף סריקה של הוכחה שהפונקציה הזאת אין לה נגזרת מכוונת לאף כיוון: http://i.imgur.com/L1UBP87.jpg בנוסף אני מצרף 3 דפי סריקה של הוכחה שהפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Cfrac%7Bx%5E%7B12/5%7D*y%5E%7B6/5%7D%7D%7Bx%5E4+y%5E2%7D (בראשית היא מוגדרת אפס). בעלת נגזרות מכוונות לכל כיוון אך לא דיפרנציאבילית: http://i.imgur.com/YitWhiv.jpg http://i.imgur.com/aP9XBkP.jpg http://i.imgur.com/DRbuiNb.jpg

....