אודי

אם הנקודה שמצאת בעזרת כופלי לגרנז' היא מינימום אז לא סביר שהיא נותנת את הערך הגדול ביותר של הפונקציה. לגבי 75=(0,5)f, היא ערך גדול. את יכול לראות שהפונקציה מונוטונית עולה לאורך השפות שהנקודה הזו נמצאת בקצה שלהן* אני חושד שהיית מוצאת את הנקודה הזו אם היית מתחשבת ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?x,y כאילוצים נוספים בעזרת כופלי לגרנז', אבל אני באמת כבר לא זוכר את הפרטים האלו. *עריכה: טוב, על השפה האלכסונית היא לא מונוטונית עולה כי יש מינימום כאמור, אבל היא מונוטונית עולה גם עליה מהמינימום.

בדקת לאיזה סוג של נקודת קיצון משתייכת הנקודה שקבלת בעזרת כופלי לגרנז' על השפה? אני לא יודע אם החישוב שלך עם כופלי לגרנז' נכון, אבל הפונקצייה יכולה לקבל על השפה ערך גבוה יותר בנקודה שפורמלית אינה נקודת קיצון (במובן זה שהגרדיינט לא מתאפס שם). למשל, בנקודה (0,5) הפונקציה שלך מקבלת את הערך 75 שגבוה יותר מהערך שציינת כערך הכי גדול. ...אם אני זוכר נכון, כן היית אמורה לעלות על הנקודה הזו בעזרת כופלי לגרנז'.

יאפ. "קיימת פונקציה", לא "קיימת פונקציה יחידה". כאמור זו גם לא פונקציה יחידה, יש לפחות שתיים יחידות קיימת אם כל הנגזרות והערך של הפונקציה מוגדרים באופן חד ערכי בנקודה, וגם זה רק בבעיות מסויימות. ...וכמובן שהנגזרת של הפונקציה לפי עצמה לא רלוונטית ליחידות.

איפה את רואה את המילה "יחידה" בשאלה? :scratch: ...וכבר מצאתי לך שתי פונקציות שמקיימות את המשוואה, אז כמובן שאין סיבה להניח שיש יחידות פה.

...והקטע החסר בסעיף א' - את לא צריכה להוכיח ש-z חייבת להיות גזירה ברציפות (זה גם לא נכון. למשל http://www.codecogs.com/gif.latex?z=%7Cx-1%7C+%7Cy-2%7C מקיימת את המשוואה אבל לא גזירה ברציפות ולא נעליים). את צריכה להראות שקיימת z שגזירה ברציפות, וזה קל מאוד באמצעות דוגמא. למשל http://www.codecogs.com/gif.latex?z=(x-1)%5E2+(y-2)%5E2 :)

שני הסעיפים נראים לי שגויים. א. את לא יכולה לטעון שהפונקציה Z אלמנטרית. מהצבת x,y את מקבלת שבנקודה זו Z מקיימת משוואה סתומה: http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ez=1-z את יכולה לטעון שיש למשוואה הזו פתרון יחיד בנקודה (Z=0) מכיוון שזו נקודת החיתוך היחידה בין האגפים, אבל הפונקצייה Z עצמה לא חייבת להיות יחידה. ב. מה שרשמת פה הוא לא פיתוח טיילור מסדר שני מסביב לנקודה (1,2). כדי לרשום אותו את צריכה לחשב את הנגזרות החלקיות של Z לפי X ולפי Y בנקודה הזו עד סדר שני. ...למרבה המזל יש לך את כל מה שצריך כדי לחשב את הנגזרות מגזירה של המשוואה הסתומה המקורית. את גוזרת את Z ואת האקספוננט של Z באמצעות כלל השרשרת, ואחרי שאת מסיימת לגזור (פעם או פעמיים) מציבה את ערכי X,Y,Z בנקודה כדי להיפטר מכל מה שאינו הנגזרת החלקית שאת מעוניינת לחשב. את מחשבת את הנגזרות לפי הסדר כדי שיהיו לך את המספרים להציב בחישוב של הנגזרת הבאה בתור (אבל כמובן שאת גוזרת נגזרות שניות מהמשוואה הסתומה לפני הצבה)

טוב, נכון, זה נקרא פרבולואיד היפרבולי ולא היפרבולואיד כי z לא בריבוע, התבלבלתי 8-[

הגרדיינט מגיע עם כיוון מהבית הרעיון הוא שאם תלך מהנקודה הנתונה 6 יחידות בכיוון הגרדיינט תפגע בנקודה הקרובה ביותר אליה במישור, מכיוון שהמרחק בין הנקודה הקרובה ביותר על המישור לנקודה המקורית נמדד לאורך וקטור בכיוון הגרדיינט. במילים אחרות, כדי למצוא את הנקודה הקרובה ביותר על המישור אתה מוריד אנך מהנקודה המקורית למישור, והאנך למישור הוא בכיוון הגרדיינט למישור בנקודת הפגיעה.

3. א. המשטח הוא פרבולואיד היפרבולי. אפשר להציב את נתוני הנקודה (0,0,0) ולראות שמקבלים u=0, ואז להציב u=0 ולחלץ את z כפונקציה של x ו-y ולקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?z=(y%5E2-(x+1)%5E2+1)/7 ב. 1. מחשבים גרדיינט של המישור הנתון ושל משטח הרמה, ומשווים בין שני הגרדיינטים עד כדי קבוע פרופורציה (שמוצאים מייד מהשוואת רכיב z של הגרדיינטים - 2). 2. מוצאים את x ו-y של הנקודה מהשוואת הרכיבים המתאימים של הגרדיינטים. 3. מוצאים את z של הנקודה מהצבת x,y במשוואת משטח הרמה. 4. מנתוני הקוארדינטות של הנקודה והגרדיינט למשטח הרמה בה כותבים את משוואת המישור. 2. א. מוצאים את המרחק של הנקודה מהמישור באמצעות הנוסחה המתאימה. מתקבל 6. ב. מוסיפים לנקודה הנתונה 6 פעמים וקטור יחידה בכיוון הגרדיינט למישור (הנקודה הקרובה ביותר לנקודה הנתונה במישור נמצאת בקצה הניצב מהנקודה הנתונה למישור). ג. קבלנו את הנקודה המבוקשת על המישור (בודקים שאין טעות בסימן ואכן התקבלה נקודה על המישור ולא בכיוון השני). עריכה: תוקן שם המשטח (מודגש)

(כשאת מציבה את A ו-C במשוואת המישור המשיק את מציבה שם כמובן גם את ערכי x,y,z של הנקודה)

למשטח הרמה של הפונקצייה ולמישור המשיק לו בנקודה יש גרדיינטים מקבילים. את יכולה לחשב את הגרדיינט של שניהם בנקודה ולקבל שני וקטורים שפרופורציונים אחד לשני: http://www.codecogs.com/gif.latex?m(A,1,C)=(2x,2y,2z)=(2,6,2) כאשר m הוא קבוע הפרופורציה. מרכיב y של השוויון הוקטורי את יכולה למצוא ש-m=6, ומרכיבי x ו-z את יכולה למצוא את A ו-C, ואז להציב במשוואת המישור המשיק כדי לחלץ את D. משם הדרך לתשובה קלה

על לא דבר :)

...ואני מניח שיש עוד דרכים לפתור את השאלה הזו, אבל חישוב גרדיינט ומכפלה סקלרית נראית לי כמו הדרך הכי קצרה ופשוטה.

הם בונים פה מערכת משוואות שמורכבת משתי מכפלות סקלריות. העקום C נמצא על שני המשטחים, S ו-M, ולכן המשיק ל-C בנקודה P (שכיוונו מיוצג ע"י הוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,-1,2)) מאונך לשני הנורמלים למשטחים בנקודה, שכיוונם הוא ככיוון הגרדיינטים למשטחים. ולכן המכפלה הסקלרית בין המשיק לכ"א הגרדיינטים למשטחים היא אפס. הם פשוט כותבים את המערכת הזו בצורה מטריציונית, אבל אתה יכול לחשוב עליה כעל שתי מכפלות סקלריות נפרדות. המשוואה הראשונה אומרת שהמשיק ל-C ניצב לגרדיינט ל-S, והשנייה שהמשיק ל-C ניצב לגרדיינט ל-M.

והנה הטעות. המעבר צ"ל y=(a-x)/2

לא, יש לך טעות חישוב. לא יכול להיות שאין סימטריה ב-x ו-y כי הביטוי המקורי סימטרי בשניהם ולכן גם הנגזרות ונקודות הקיצון. הפתרון הוא a/3,a/3 והוא מקסימום.

לא השתמשת בנתון שהסכום של שלושת המספרים הוא ממשי קבוע כלשהוא, נסמנו ב-a. אני חושב שאת צריכה לבטא את z כ-a-x-y ואז לעשות את המכפלה, לחשב גרדיינט של פונקצייה של שני משתנים ולהשוות אותו לאפס; לחשב את ההסיאן כדי לראות אם נקודות הקיצון שמצאת הם מינימום, מקסימום או אוכף.

אוקי, הבנתי מה מציק לך. לא ממה שאמרת, אבל לא משנה. קבלת שההסיאן לא יכול להתאפס. כלומר אין נקודת אוכף, רק מינימום או מקסימום. לביטוי שקבלת במשוואה הריבועית יש סימן אפשרי אחד בלבד במקרה של נקודת קיצון. אפשר לראות שהוא רק חיובי (גם מהמקרה a=b=0, אבל גם כי הדטרמיננטה של המשוואה הריבועית שלילית והמקדם של החזקה הגבוהה חיובי). ...ולכן התשובה המלאה היא שעבור כל a ו-b שמקיימים את התנאי כדי שזו תהיה נקודת קיצון (b=-2a) נקודת הקיצון היא מינימום.

נכון. ו-a=b=0 הוא פתרון שמקיים את המשוואה הזו שלא שקלת.

זה פתרון אחד שמאפס את הנגזרת הראשונה שלא שקלת.

אם אין פה טעות חישוב נשארת עם a=b=0 כפתרון למינימום ולשאר אין פתרון

את לא יכולה להכפיל לא במונה ולא במכנה כי שניהם שואפים לאפס. ...בבירור מי שאת יכולה לגזור ולמצוא מה יש לו בנקודה הנ"ל הוא הפולינום, לא הפונקציה. את צריכה רק להצדיק אח"כ למה המינימום והמקסימום של הפולינום הם גם המינימום והמקסימום של הפונקציה. אני חושב שאפשר לעשות זאת כי מהגבול הנתון את יכולה להראות ש-f, הנגזרת הראשונה והנגזרת השנייה שלה שואפות לפולינום ולנגזרות הראשונה והשנייה שלו בנקודה הזו, באמצעות משחק עם השבר והשוואה להגדרות של כ"א מהגבולות. זה מספיק לך בשביל להצדיק מינימום מקסימום זהים. הגבול הנתון עצמו מתאים לנגזרות השניות לדעתי.

כאמור, אני לא מבין את זה. לפי מה שאני רואה החלקיק שיושב במינימום לא יזוז והשני יתנגש בו שם.

את בטוחה ש-a היא התשובה הנכונה ולא d? (אם כי איך שהתשובות מנוסחות, a מכילה גם את d) לפי מה שאני מקבל, האנרגיה של החלקיק בנקודת המינימום זהה לערך של הפוטנציאל במינימום, כלומר כל האנרגיה שלו פוטנציאלית והוא נייח. מכיוון שהמינימום יציב, אין שום סיבה שהוא יזוז. החלקיק השני פשוט יגיע אליו ויתנגש בו.