מנוי

בתרגול הזה, הם מנסים למצוא את העבודה שנעשתה על המערכת בהבעת מטען כלשהו מאינסוף: http://i.imgur.com/NFwFZbZ.jpg http://i.imgur.com/6SK6yXT.jpgעל פניו נראה שמי שפתר את התרגיל ניסה לשלב כמה שיטות והתבלבל לגמרי. הפיתרון הוא פשוט הפרש הפוטנציאלים, והולך בצורה כזאת: http://i.imgur.com/f0Zv0mw.jpgבשיטה הזאת מגיעים לתוצאה אחרת לחלוטין, האם אני צודק?

שאלתי את השאלה בגלל משפט הפונקציות הסתומות, קראתי את ההוכחה של המשפט כמה פעמים: http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/implicit.htm ואני לא רואה סיבה לדרוש שהפונקציה הסתומה תהיה גזירה ברציפות בנקודה M, אני רואה שגם אם היא רק גזירה (ולאו דווקא ברציפות), עדיין החילוץ אפשרי. (אני לא מדבר על הגזירות ברציפות של הפונקציה המחולצת, ששמה הדרישה לגזירות ברציפות של הפונקציה הסתומה ברורה לי).

תודה

הסיבה שאני לא יכול לעבור את תחום התקפות של הפונקציה נעוצה בזה שפונקציית הפוטנציאל צריכה להיות דיפרנציאבילית לכל כל העקום שלאורכו אני עושה את האינטגרל הקווי סוג 2?

על פי איזה שיקולים בחרת דווקא את http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D ולא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B-%5Cpi%7D%7B2%7D. בהתחשב בזה שעשית פה איזשהו גבול, למה התקרבת על ציר X לאפס מצד ימין ולא מצד שמאל?

על פניו בביטוי הזה: http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D אתה מציב משום מה 0 במכנה,לא? ערך ה-X שלה הוא אפס, ואתה משום מה מציב אותו?

ואם אני רוצה לחשב את הפרש הפוטנציאלים כמו בדוגמא שלי ,שבו אני צריך את 2 הפונקציות. אני אמור לדעת למצוא כזאת, כי אני יודע שהיא קיימת,לא?

אם השדה משמר בתחום, מה זה אומר על פונקציית הפוטנציאל שלו?

לא שאלו, אבל המתרגל כתב 2 ביטויים לפונקציית הפונטציאל עבור X>0 ו0>X הוא כתב את הביטוי עם X במכנה, ועבור Y<0 ו0<Y הוא כתב את הביטוי עם Y במכנה.(הוא הפריע למקרים). אתה אומר ששני הביטויים האלה זה שטויות גמורות?

מצד אחד לא דיברנו על מספרים מרוכבים, מצד שני הגדרנו שדה משמר כשדה שעל כל מסלול סגור האיטנגרל הקווי סוג 2 שלו מתאפס, מה שאכן יקרה במקרה שלנו עבור כל אינטגרל קווי שלא יקיף את הראשית(על פי משפט גרין).

האינטגרל הקווי של השדה הזה סביב כל מסלול שלא מקיף את הראשית יתאפס על פי משפט גרין. זהו כן שדה משמר, בכל תחום סגור שלא כולל את הראשית.

מה הפוטנציאל של השדה הזה: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft(%5Cfrac%7B-y%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D,%5Cfrac%7Bx%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D%5Cright) סביב תחום סגור שאינו מכיל את הראשית? יצא לי ביטויים כמו עבור X שאינו שווה 0, הפונאציאל הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D). ועבור Y שאינו שווה 0, הפוטנציאל הוא : http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D). עכשיו נניח שאני עושה אינטגרל קווי מהנקודה(1,0) לנקודה (0,1) אני מקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D . מצד שני, אם אני מציב בפונקציות הפונטציאל ומחסיר ביניהם, אני מקבל אפס. אני מבין שאני עושה משהו לא נכון, אבל מה?

האם כל פונקציה שגזירה ברציפות בנקודה כלשהי, בהכרח גם גזירה ברציפות בסביבת הנקודה? על פניו נראה שכן, נניח שהפונקציה גזירה ברציפות בנקודה M, ונניח שערך הנגזרת לפי Y שם הוא L, אז לכול אפסילון, קיימת דלתא כלשהי, שעבור כול הנקודות בסביבה דלתא הזאת הנגזרת החלקית של הפונקציה לפי Y קרובה ל L מרחק אפסילון בנקודה M. עכשיו נתבונן בנקודה כלשהי בתוך סביבת דלתא הזאת,קיימת לה סביבה מאוד קטנה המוכלת בתוך דלתא, נסמן אותה בתור D (אני חושב על דלתא בתור רדיוס של סביבה מעגלית כלשהי), הנגזרת החלקית שלה לפי Y בהכרח קרובה ל L מרחק אפסילון(לפי מה שנאמר קודם) וכול הנקודות בסביבה D , גם הנגדרות החלקיות שלכן לפי Y קרובות לL גם לפי מה שנאמר קודם, ולכן הפונקציה גזירה ברציפות גם עבור הנקודה הזאת. מכאן שאם הפונקציה גזירה ברציפות בנקודה, אזי היא בהכרח גזירה ברציפות בסביבת הנקודה. איפה טעיתי?

"השדה מתבדר" זה אומר שאנו מגדירים את השדה רק על התחום שבו הפונקציה היא כן דיפרנציאבילית,הלא כן?

חסרות פונקציות לא דיפרנציאביליות בעלות נגזרות חלקיות(לא רציפות) בכל נקודה?

כי ראיתי שההוכחה לכך שההשדה הוקטורי הנגזר מהפוטנציאל הוא בהכרח שדה משמר, עוברת דרך ההנחה שהפוטנציאל היא פונקציה דיפרנציאבילית.

אם קיימת פונקציית פונטציאל שאיננה דיפרנציאבילית, האם זה עדיין אומר שהגרדיאנט שלה הוא שדה משמר?

תודה רבה, רק אפשר לדעת עם איזו תוכנה עשית את הציור?

תודה.

http://i.imgur.com/o1tKobN.png

איך למצוא את השטח הזה באמצעות האנטגרל הקווי: http://i.imgur.com/ac20Jy0.png

שאלה נוספת על עקומים. למה אם הפונקציות XYZ כפונקציות של t גזירות ברציפות לכל t, אז בהכרח יש לעקום משיק לכל t?

ממש תודה! שאלה אחרת: מה לגבי העקום :http://www.codecogs.com/gif.latex?%20y=(%5Ctheta)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D*sin(%5Ctheta)%20%C2%A0,x=(%5Ctheta)%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D*cos(%5Ctheta) האם זהו עקום חלק בקטע http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5B-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D,%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5D ? כי הנגזרת לפי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta לא קיימת ב http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta=0%20%C2%A0

אוקי, ומה הסיבה שבקצה הקטע מאבדים את הגזירות,הרי הפונקציה הפיכה לאורך כל הקטע, והעקום הוא חלק.