אודי

אין בעייה :)

זה המיטב שאני יכול לעשות, אני חושש אמרת שאת מקבלת שאינטגרל מתבדר פחות עצמו הוא אפס והראיתי לך שאפשר להציג את האינטגרל השמאלי כאינטגרל מתבדר פחות עצמו.

אני לא יודע מה לומר לך, כי לא שמעתי את האנשים האלו ואת הניסוח המדוייק של הטענה שלהם. יכול להיות שלא הבנת אותם והטענה שלהם לא אמורה להיות תקפה למקרה הנוכחי. יכול להיות שהם לא הבינו אותך. יכול להיות שהם התכוונו לקונטקסט ספציפי יותר ממה שאנחנו מדברים עליו פה. אבל השאלה הייתה לגבי האינטגרל השמאלי בתרגיל המקורי - ומה לעשות, אפשר להראות שהוא מתכנס במקרים מסויימים. לא רק משיקולי הצבת גבולות בפונקצייה קדומה, אלא כמו שהראיתי גם משיקולי הפרדה לתחומים ואנטי-סימטריה של האינטגרלים שם. אפשר להציג את האינטגרל כאותו אינטגרל פחות עצמו, ואני חושב שאף אחד משלושת האנשים האלו לא טען שמשהו פחות עצמו שונה מאפס, אפילו אם זה אינטגרל מתבדר. בסופו של דבר, את צריכה להחליט בעצמך איזה טיעון נשמע לך יותר הגיוני, מה שאני אומר פה או מה שהם אמרו לך אז. אני חושב שהתרגיל הנוכחי הוא דוגמא נגדית די חזקה למה שהם טענו.

שכנעתי אותך?

אבל כמו שאמרתי, זה לחלוטין מקביל. מכיוון ששני החלקים של האינטגרל מבטלים זה את זה, אני יכול לעשות את החלפת המשתנים המתאימה כדי להציג אותם כאותו אינטגרל פחות עצמו. הנה, תראי בעצמך http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cintop%5E%7B1%7D%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5Cln%20x%7D=%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B0%7D%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D כשהשתמשתי בהחלפת המשתנים y=lnx http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B1%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5Cln%20x%7D=%5Cunderset%7B0%7D%7B%5Cintop%5E%7B-%5Cinfty%7D%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D=-%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B0%7D%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%7D כשהשתמשתי בהחלפת המשתנים y=-lnx והפכתי את כיוון האינטגרציה כדי להוציא מינוס.

תקרא עד הסוף את הערך בויקיפדיה. הם נותנים שם בדיוק את הדוגמא שלי מהקסם ומקבלים מה שקבלתי. http://en.wikipedia.org/wiki/Improper_integral http://upload.wikimedia.org/math/d/f/4/df44876b5b4d4466fcd12a688c470c64.pngכמו שאמרתי, התוצאה של האינטגרל הלא אמיתי הזה תלויה בהגדרת האינטגרל. אפשר להגדיר אותו כך שלא יהיה לו פתרון מוגדר, אבל זו לא הגדרה פרקטית.

כבר הסכמנו שחיסור אינטגרל מתבדר מעצמו נותן אפס, נכון? אז בבירור יש משהו שהם לא דברו עליו.

וכמובן שההגדרה הזו משמעותית רק לדוגמא הספציפית שנתתי, היא לא משנה את הנקודה לגבי חוסר המשמעות של שמות משתני אינטגרציה וגם לא את חוסר ההבדל העקרוני בין חיסור אינטגרלים מתבדרים לחיבור קטעים שבהם האינטגרל מתבדר עם סימנים שונים.

נראה לי שצטטת את ההודעה הלא נכונה. מה שכתבת מתייחס להודעה האחרונה שלי. וכבר אמרתי:

כל מה שאת צריכה לזכור הוא שבאינטגרל מסויים הפעולות הבאות לגיטימיות: א. החלפת משתנים. ב. בחירת שם אקראית למשתנה אינטגרציה. ג. חיבור/חיסור קטעים שונים של אינטגרל על אותה פונקציה. סעיף ב' לא נכון לאינטגרל לא מסויים. הבהרה נוספת: ה"קסם" עובד להגדרה הקונבנציונלית שאני מכיר לאינטגרל לא אמיתי: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7Df(x)dx%5Cequiv%5Cunderset%7Ba%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cunderset%7B-a%7D%7B%5Cintop%5E%7Ba%7D%7Df(x)dx ...כמובן שאפשר לספק הגדרה אחרת שעבורה מה שכתבתי לא יהיה נכון, למשל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cunderset%7B-%5Cinfty%7D%7B%5Cintop%5E%7B%5Cinfty%7D%7Df(x)dx%5Cequiv%5Cunderset%7Ba%5Crightarrow%5Cinfty%7D%7B%5Clim%7D%5Cunderset%7B-a%7D%7B%5Cintop%5E%7Ba%5E%7B2%7D%7D%7Df(x)dx אבל עד כמה שאני יודע ההגדרה הזו לא ממש שימושית.

כתבתי את זה לפני שראיתי את השאלה שלך. חשבתי שההסבר הזה יהיה ברור יותר מכיוון שההסבר המקורי שלי לא ברור.

בעיקרון אסור לי סתם לשים מינוס בגבולות האינטגרציה בלי להחליף משתנים, זה משנה את התוצאה. אבל זה לא מה שעשיתי פה, למרות שבמקרה הספציפי הזה זה נראה אותו הדבר. 1. החלפתי ל-y=-x. באינטגרל אני מקבל כתוצאה מההחלפה שלושה מינוסים - אחד מהחלפת המשתנה עצמו (x=-y), אחד מהחלפת הדיפרנציאל (dx=-dy) ואחד ליד האינסוף בגבולות האינטגרציה. 2. מכיוון ששני המינוסים הראשונים מבטלים זה את זה, התוצאה הסופית נראית כאילו רק שמתי מינוס בגבולות האינטגרציה. אבל לא. היו שם שני מינוסים נוספים שבטלו זה את זה ועברתי דרך החלפת משתנים לגיטימית. לא סתם הוספתי מינוס.

אני חושב שאולי יעזור לחשוב על זה במשמעות המקורית של אינטגרל מסויים, שטח מתחת לפונקציה. מה שעשיתי בקסם היה לפרק פונקציית האפס (הקו האדום, השטח מתחתיה הוא אפס) לשתי פונקציות נפרדות שסכומן אפס, x ו-x- (הקווים הכחולים): http://i182.photobucket.com/albums/x203/Udi_E/linint_zps3d9eef7a.jpg כשאני סוכם את השטחים מתחתיהן (בינם לבין ציר ה-x) אני עדיין מקבל אפס, כי השטחים זהים בגודלם אבל שונים בסימן - שטח אחד נמצא מתחת לפונקציה ולכן חיובי ושטח אחד מעל לפונקציה ולכן שלילי. החלפת המשתנים שעשיתי, y=-x, מקבילה לשיקוף הגרף הכחול התחתון ביחס לציר האנכי (נקרא לו z, לצורך העניין): http://i182.photobucket.com/albums/x203/Udi_E/linint2_zpsce81e48f.jpg עכשיו אני מחסר מהשטח מתחת לקו הכחול הימני את השטח המתקבל כשאני עושה אינטגרציה מאפס למינוס אינסוף על הגרף הכחול שמאלי. אבל זה מקביל לחלוטין לחיבור השטח המתקבל כשאני עושה אינטגרציה ממינוס אינסוף לאפס על הגרף השמאלי לשטח הימני, המתקבל מאינטגרציה מאפס עד אינסוף. ...כלומר זה מקביל לתוצאה הסופית של הקסם שלי, האינטגרל ממינוס אינסוף עד אינסוף על הפונקציה x :D

אבל את מבינה שהחלפת המשתנים הזו חוקית לחלוטין, נכון? אין שום סיבה לפסול אותה. ולכן היא לא משנה את התוצאה המספרית של סכום האינטגרלים, רק את הדרך שבה הוא כתוב.

למה? האם התוצאה של סכומי האינטגרלים הבאים (לפני ואחרי ההחלפה שעשיתי) שונה? http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx+%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7D%20y%5C,%20dy http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx+%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7D%20x%5C,%20dx החלפת השם מאפשרת לי לחבר את תחומי האינטגרציה, אבל היא לא משנה את התוצאה של סכום האינטגרלים. התוצאה לא תלויה בשם של משתנה האינטגרציה. זה שונה מהמקרה של אינטגרל לא מסויים.

אני לא מתעלם מהמינוס. התחשבתי במינוס כשעשיתי את החלפת המשתנים. משם הגיע המינוס אינסוף בגבולות האינטגרציה. אחרי שהחלפתי משתנים למשתנה y=-x קראתי למשתנה שאליו החלפתי x במקום y. זה מותר לי, בדיוק מאותה סיבה שלא משנה איך קוראים למשתנה באינטגרלים המסויימים שנתתי למעלה. אם אני יכול להחליף שם למשתנה האינטגרציה באינטגרלים המסויימים האלו בלי שזה ישנה את התוצאה, אני יכול להחליף את השם גם באינטגרל שבו החלפתי ב"קסם". למעשה האינטגרלים האלו הם בדיוק אותו אינטגרל שבו החלפתי שם משתנה ב"קסם", עד כדי מינוס.

שיניתי את המשתנה. ואז החלפתי את השם של המשתנה החדש. מותר לי. אמרי לי, האם באמת יש הבדל כלשהוא בין האינטגרלים הבאים? http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dy%5C,%20dy ....את יכולה לומר שמה שעשיתי ב"קסם" היה להחליף משתנה ל-y=-x, ואז לקרוא ל-y בשם x מכיוון ש-y הוא רק משתנה אינטגרציה באינטגרל מסויים, מותר לי לקרוא לו איך שבא לי. אין משמעות לשם.

כמו שהסברתי, בגלל שזה רק משתנה אינטגרציה באינטגרל מסויים (אני נפטר ממנו בהצבת גבולות האינטגרציה), לא משנה איך אני קורא לו. הייתי יכול גם לקרוא לו y,z או muki אחרי החלפת המשתנים, זה לא היה משנה את התוצאה של האינטגרל. כשאני קורא לו (מחדש) X אני רק מדגים שהקטעים ניתנים לחיבור.

והנה קסם! בשלב השלישי החלפתי משתנה מ-X למינוס X (ואז קראתי לו איקס מחדש, מה שמותר לי כי זה משתנה אינטגרציה באינטגרל מסויים). http://www.codecogs.com/gif.latex?0=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%20x-x)dx=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5C,%20dx-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B-%5Cinfty%7D%20x%5C,%20dx=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Dx%5C,%20dx+%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7D%20x%5C,%20dx=%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20x%5C,%20dx

א. אין שום הבדל עקרוני בין פירוק לשני חלקים לסתם חיבור או חיסור. עם החלפת המשתנים המתאימה אני יכול לשנות גם את הדוגמא האחרונה שלי כך שתיראה כחלוקה לשני חלקים. אני אחליף באינטגרל הראשון את המשתנה מאיקס למינוס איקס, וקבלתי שהאינטגרל הראשון הוא ממינוס אינסוף לאפס והשני מאפס לאינסוף, על פונקציה לא רציפה שהיא A- בחלק החיובי של הישר ו-A בחלק השלילי (איך היא מוגדרת באפס לא חשוב, כי בנקודה אחת האינטגרל הוא אפס בכל מקרה). http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B0%7Da%5C,%20dx+%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D-a%5C,%20dx=0 ב. מתרגלים טועים. אפילו מרצים טועים מפעם לפעם. קורה.

אה, יש לי דוגמא נגדית עוד יותר משכנעת בשבילך. תחשבי על חיסור של אינטגרל מתבדר (לאינסוף) מעצמו. נגיד האינטגרל על קבוע מאפס עד אינסוף. http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da%5C,%20dx-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Da%5C,%20dx לשני האינטגרלים יש סימנים שונים ושניהם מתבדרים. יחד עם זאת, ברור שהחיסור של האינטגרל מעצמו נותן אפס ולא אינסוף. אגב, יש כמובן גם מקרים שבהם אינטגרלים מתבדרים עם סימנים שונים לא מבטלים זה את זה ואחד מהם מנצח.

זה נאמר בניסוח הזה? שאין מצב בו שני אינטגרלים מתבדרים עם סימנים שונים מבטלים זה את זה? אני מאוד בספק. זה לא מה שאמרת קודם. קודם אמרת שאם אחד מתכנס והשני מתבדר הסכום מתבדר, שזה נכון אבל לא סותר את המצב פה. תחשבי על האינטגרל ממינוס אינסוף עד אינסוף על הפונקציה x. פורמלית, ניתן להגדיר אותו כגבול a->אינסוף על האינטגרל ממינוס a לפלוס a. אבל האינטגרל הזה מתאפס עבור כל a סופי בגלל שהקטעים מימין ומשמאל לאפס אנטי סימטרים (אפשר גם לראות מהפתרון האנליטי), וזה נכון באותה מידה לגבי מינוס אינסוף ואינסוף. כנ"ל האינטגרל על x^3,x^5 וכו'.

שימי לב שלשני האינטגרלים בפירוק של השמאלי יש תוצאות עם סימנים שונים האינטגרל בין אפס לאחד שלילי. האינטגרל בין אחד לאינסוף חיובי. כל אחד מהם מתבדר כשלעצמו (מינוס אינסוף ואינסוף); הסכום שלהם יוצא בדיוק אפס, מכיוון שניתן לכתוב אותם כשני אינטגרלים זהים עד כדי סימן.

ב-p=1 הנוסחא שכתבתי לפונקציה הקדומה לא תקפה, מכיוון שהחזקה של הלוג היא מינוס אחד והאינטגרל על חזק של מינוס אחד הוא לוג. כלומר, התוצאה שבה צריך להציב את הגבולות היא http://www.codecogs.com/gif.latex?log(log(x)) הדבר הזה מתבדר באינטגרל הימני (אינסוף פחות מינוס אינסוף). באינטגרל השמאלי זה מסובך יותר כי מקבלים מהצבת הגבול באפס אינסוף פחות אינסוף. שזה יכול להיות אינסוף, מינוס אינסוף או קבוע סופי. כדי לפתור את זה נחזור אחורה. אפשר לחלק את האינטגרל השמאלי עבור P=1 לשני קטעים, האינטגרל הימני והקטע בין אפס ואחד, ולהראות שהם שווים ומנוגדים בסימן - כלומר שאחרי המרת משתנים מתקבל אינטגרל סימטרי, וה"אינסוף" מימין ל-1 מתקזז בדיוק עם ה"מינוס אינסוף" משמאל לאחד. y=logx נותן את התוצאה המתאימה.

נראה לי שהשמאלי מתכנס עבור P גדול מ-1 את המקרה P=1 צריך לפתור בנפרד כי האינטגרל שלו שונה. לוג של לוג. נראה לי שהוא מתבדר באינטגרל הימני והשמאלי.