אודי

שנייה.

טל"ח

האינטגרל על פונקציית רימן הוא אפס על כל קטע, אז זו לא דוגמא טובה כי היא נותנת ערך אחד בלבד של X ולא רצף ערכים. ההסבר המלא שייך בכלל לתורת המספרים, שלא למדתי, אבל הולך משהו כזה - "עוצמת" האינסוף של הרצף גדולה בהרבה מכל סט דיסקרטי של מספרים שתוכל לחשוב עליו. גם סט דיסקרטי אינסופי. ולכן אי אפשר לתאר עקום רציף באמצעות פרמטר שמורכב סדרת מספרים דיסקרטית, גם אם היא אינסופית. דוגמא? ...נניח למשל שהפרמטר שלך t מקבל ערכים טבעיים בלבד בין 1 לאינסוף. סט אינסופי של ערכים דיסקרטים. אפשר לראות שזה עדיין לא מספיק נקודות כדי לתאר עקום רציף בקטע מסויים, נניח עקום שהאורך שלו s. איך? ניקח כל ערך טבעי t ונתאים לו נקודה אחת על העקום, הנקודה המוגדרת ע"פ המרחק לאורך העקום מתחילת העקום http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bt%7D%7Bt+1%7Ds. קבלנו פרמטריזציה שמתאימה לאינסוף נקודות על העקום, אבל ברור שעדיין נשארו אינסוף נקודות על העקום שאין להם ערך מתאים של הפרמטר הדיסקרטי שלנו (למשל הנקודות המתאימות לאינסוף המנות מהצורה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bt%7D%7Bt+2%7Ds כאשר השבר לא מצטמצם).

טל"ח.

טל"ח.

טל"ח.

קודם כל, לא ברור לי על איזו פונקצייה סקלרית אתה מדבר כי עד עכשיו דברת בשאלה הזו על משיק לעקום שנתון ע"י פרמטריזציה שהיא וקטור ולא הזכרת שום פונקצייה סקלרית. :scratch: אם הכוונה שיש לך פונקצייה סקלרית דיפרנציאבלית בנקודה ויש עקום שמוכל בה שקיים לו משיק בנקודה - לזכרוני דיפרנציאבליות מבטיחה לך (בין השאר) שקיים מישור משיק לפונקציה הסקלרית בנקודה. מכיוון שהעקום עובר דרך הנקודה האמורה והוא חלק מהמשטח העקום שמהווה הפונקציה הסקלרית, הישר המשיק לעקום חייב להיות מוכל במישור המשיק לפונקציה. זה נובע ישירות מהגדרת המישור המשיק. אם קיים מישור משיק לפונקציה בהכרח קיים ישר (מוכל במישור) המשיק לעקום (מוכל בפונקציה) בנקודה. ....כמובן שלא יכול להיות מצב שבו קיים מישור משיק לפונקצייה ואין ישר משיק לעקום המוכל בפונקציה. גיאומטרית, אם תסתכל על ההטל של העקום על המישור המשיק תגלה שהוא הישר המשיק.

- כמו שכבר אמרתי, משוואת המשיק מבוססת על הנגזרות האלו. אם הן קיימות ולא מתאפסות, גם המשיק קיים. - כמו שכבר אמרתי, צריך לדרוש שהנגזרות לא יתאפסו בנפרד מזה שהן קיימות. - כאמור, אם התנאים האלו מתקיימים, יש משיק - אם יש משיק העקום חייב להיות חלק. לו הוא לא היה חלק, לא היה יכול להיות לו משיק בנקודה שבה הוא לא חלק. מכיוון שיש משיק בכל נקודה, הוא חייב להיות חלק בכל נקודה. - לפי מה שאני רואה הפרמטריזציה שלך מתאימה לעקום y=x, שהוא אכן חלק בכל נקודה :scratch:

זה לא מושג פורמלי... הנקודה היא שאם אתה מרשה שלפוטנציאל שלך תהיה נקודת קפיצה (כמו שיש לו פה ב-x=0/y=0) אתה מקבל כל מיני סתירות כי נובע לכאורה שהשדה מתבדר שם (אבל אם תבדוק את הביטוי לשדה תראה שהוא דווקא סופי על הצירים כל עוד אנחנו לא בראשית). ולכן המתרגל הגביל את השימוש בפונקציות הפוטנציאל האלו ל-x/y<0 או x/y>0 (בתכ'לס, אפשר גם שווה לאפס אם אומרים שהערך של פונקציית הפוטנציאל שם הוא הגבול החד צדדי). כל הבעיות הפתולוגיות האלו עם פונקציית הפוטנציאל נובעות מכך שהשדה לא משמר על כל המרחב והפוטנציאל ה"אמיתי" שלו בכלל מבוסס על פונקצייה מרוכבת, אבל אני לא רוצה לסבך אותך עם נאומים על ענפים ואנליטיות כי זה לא רלוונטי עכשיו (ואני גם בקושי זוכר את זה).

פעם ראשונה שאני שומע שיש להם דברים כאלו :yikes:

לא, אתה טועה. הנוסחא שהשתמשת בה לחישוב העבודה תקפה כאשר המטען q- הוא מטען בוחן (מטען שאינו משפיע על הפוטנציאל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarphi ואינו משנה אותו). מה לעשות שהמטען q- אינו מטען בוחן בבעייה הזו, מכיוון שהוא משנה את הפוטנציאל שהוא שרוי בו (משרה מטען חיובי על הלוח המוארק באופן שמתאים לשיטת הדמויות ומשתנה בכל נקודה במסלול שלו). הפתרון של התרגול נכון (אילו שיטות הוא מערב? הוא משתמש בשיטת הדמויות ובהגדרה של אנרגיה פוטנציאלית אלקטרוסטטית). ראה גם דיון על התרגיל בשרשור הזה.

היה אפשר גם ככה, אבל זה יותר עבודה ולא צריך :)

זה לא ניחוש מושכל. זה חיבור/חיסור וקטורים לפי טרנספומציית גליליי. כמו שכתבתי למעלה, לפי טרנספורמציית גליליי המהירות של קרון 2 במערכת של קרון 1 היא: הוקטור הזה כבר מכיל תרומה בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?-x' (האיבר השני, כולל המינוס שלפניו, הוא בכיוון הדרוש). כדי שהוקטור הזה יישאר בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?-x' גם האיבר הראשון צריך להיות באותו כיוון (בתיאוריה הוא היה יכול להיות גם בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?+x' אם http://www.codecogs.com/gif.latex?v_2, אבל אני אנחש שאלו לא הנתונים כי רצו תשובה יחידה). יש פה שימוש בתכונה בסיסית של חיבור וקטורים. לא מדובר בניחוש.

(שומר למקרה שמדובר בכל זאת ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?y') המהירות של קרון 2 במערכת של קרון 1 היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv_2%7D%5E%7B(1)%7D=%5Cvec%7Bv_2%7D%5E%7B(lab)%7D-%5Cvec%7Bv_1%7D%5E%7B(lab)%7D=(-v_2%5Ccos(%5Calpha)-v_1%5Ccos(45%5E%7B%5Ccirc%7D))%5Chat%7Bx%7D+(v_2%5Csin(%5Calpha)-v_1%5Csin(45%5E%7B%5Ccirc%7D))%5Chat%7By%7D

נגד כיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?x', אתה בטוח? לא בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?y'? :scratch: כי הפתרון פה פשוט מדי אם זה נגד כיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?x'... ברור שאם הזווית תהיה 45- קרון 2 נוסע נגד כיוון המסילה של קרון 1 גם במעבדה וגם במערכת של קרון 1.

המשפט מנוסח כך שהפונקציה המחולצת גזירה ברציפות. אם היית מנסח אותו אחרת, אולי היית יכול לוותר על הדרישה לגזירות ברציפות של הפונקציה הסתומה. אולי קיימת אפילו גרסא כזו של המשפט אי שם שלא מלמדים. אבל אם אתה שואל למה משפט הפונקציות הסתומות מנוסח כפי שהוא מנוסח אז אין לי תשובה כי לא נסחתי אותו. ...אני יכול רק לנחש שהוא מנוסח כך מכיוון שפונקציות מחולצות גזירות-אבל-לא-גזירות ברציפות מהסוג של פונקציית רימן לא מי יודע מה שימושיות.

אני לא מכיר דרישה כזו. אולי היא קיימת.

- הפוטנציאל אמור לתת אותה תוצאה ללא תלות במסלול - במסלול הקצר ביותר בין (0,1) ל-(1,0) מגיעים ל-(1,0) מ-y חיובי (וכמובן ש-x חיובי בגבול הזה, כמו בכל גבול שמתקרב ל-x=1). - הגבול המתאים לארגומנט של arctan במסלול הזה הוא אינסוף ולא מינוס אינסוף. כמובן שלא ייתכן שלפונקציית פוטנציאל יהיו שני ערכים שונים באותה נקודה. אם אתה מגיע למסקנה כזו כנראה שעברת את תחום התקפות שלה (ואם תחצה את ציר x ותגיע ל-(1,0) מ-y שלילי תגיע למסקנה כזו). ...אבל אתה לא צריך לחצות ממש את ציר x כי הגבול החד"צ שרלוונטי לתחום שבו אתה מבצע את החישוב מוגדר היטב.

למה לא? זה נותן גבול סופי ומוגדר היטב: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cinfty)=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D ..בכל מקרה, שתי פונקציות הפוטנציאל שלך סובלות מאותה בעייה על הצירים (כל אחת על ציר אחר), אז זה לא משנה באיזו פונקצייה אתה בוחר בחישוב הזה והבעייה הזו לא גוררת צורך להשתמש בשתיהן (כאמור, אסור).

אה, עכשיו הכל מסתדר. שתי פונקציות הפוטנציאל האלו נבדלות בקבוע. פאי חלקי שתיים, ליתר דיוק. בכל מקרה, אתה בוחר ועובד רק עם אחת מהם. ...זה בדיוק כמו ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2 ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+5 שתיהן אינטגרל של http://www.codecogs.com/gif.latex?2x, אבל אתה לא יכול לבחור את שתיהן כפונקציית פוטנציאל (חד ממדית) באותו חישוב. אתה צריך לבחור אחת.

למה אתה צריך את שתי הפונקציות? :scratch: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(0,1)%7D-%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D)%7C_%7B(1,0)%7D=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-0=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D לא יכול להיות מצב שבו תצטרך את שתי הפונקציות בתחום פשוט קשר אחד שבו השדה משמר. הן mutual exclusive. עריכה: משהו לא מסתדר לי. יש מצב שלארקטנגנס עם y למטה היה מינוס ליד?

שהיא קיימת וגזירה שם. יכולות להיות הרבה בחירות אפשריות לפונקציית פוטנציאל בתחום (נבדלות בקבוע או טיפה יותר מסובך כמו במקרה הזה), אבל אתה בוחר אחת לחישוב שלך ולא מחליף אותה באמצע החישוב. אתה פשוט צריך לבחור פונקצייה שתקפה בכל התחום. ...כאמור צריך להבדיל בין פונקציית פוטנציאל אחת שמוגדרת באופן שונה בקטעים שונים של התחום (לגיטימי) למספר פונקציות פוטנציאל אפשריות שמוגדרות באותו קטע (כמו פה, ואז צריך לבחור אחת לחישוב).

הביטויים האלו נכונים אם הדיון הוא על "משמר בתחום" ולא סתם "משמר". לסתם משמר צריך ביטוי אחד שתקף בכל המרחב (וכאמור, השדה הזה לא משמר בכל המרחב). אבל אתה לא יכול להשתמש בשתי הפונקציות לחישוב אינטגרל מסויים בתחום מסויים, אתה צריך לבחור פונקציית פוטנציאל אחת בתחום שלך. אם אני מבין אותך נכון, המתרגל לא הגדיר פונקציית פוטנציאל שמוגדרת משני קטעים, הוא הגדיר שתי פונקציות שונות שאפשר להשתמש בהן (בקטעים שיש חפיפה ביניהם).

אולי כדאי שתתחיל ממה היתה השאלה לגבי הפונקצייה הזו. כי אם לא שאלו מהי פונקציית הפוטנציאל, הייתה סיבה טובה שלא שאלו.

כל עוד אתה לא מגדיר את השדה הזה במסגרת הקורס מספרים מרוכבים - אין לו פונקציית פוטנציאל ולכן הוא לא יכול להיות משמר. אין חייה כזו שדה משמר בלי פונקציית פוטנציאל. ופונקציית הפוטנציאל היחידה שאפשר להגדיר פה באופן קונסיסטנטי מבוססת על קונספט ממספרים מרוכבים. דברתם על פונקציות פוטנציאל מרוכבות בקורס?