אודי

הטרנספורמצייה מ-t ל-s חייבת להיות הפיכה, אחרת הפרמטריזציה הזו לא טובה ואי אפשר לעבוד איתה. אבל אתה יודע איך הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?s(t) נראית אז אין לך באמת ספקות בעניין. http://www.codecogs.com/gif.latex?s=%5Cintop_0%5Et%20%5Csqrt%7B%5Cdot%7Bx%7D%5E2+%5Cdot%7By%7D%5E2+%5Cdot%7Bz%7D%5E2%7Ddt' האינטגרל מונוטוני עולה ב-t (כי האינטגרנד חיובי ומצטבר) ולכן s היא פונקציה חח"ע ועל של t ומכאן הפיכה. אם היא הפיכה ומונוטונית ברור שאם s היא פונקציה חלקה וגזירה של t (והיא כן, אינטגרל) אז t היא פונקציה חלקה וגזירה של s. כמו שראית בעצמך, לא בהכרח בקצוות הקטע, אבל כן בהכרח בקטע עצמו. בגלל שהטרנספורמציה בין t ל-s חלקה וגזירה ו-x כפונקציה של t חלקה וגזירה בקטע עצמו.

אה, נדמה לי שהבנתי מה עשית. עבדת עם הכתיב המקורי של ההמילטוניאן במקום עם הייצוג המטרציוני שלו. אבל נותנים לך ייצוג מטרציוני של ההמילטוניאן כדי שתעבוד איתו. לא ראיתם בתרגולים איך עובדים עם הייצוג המטריציוני?

אני לא מבין מה אתה עשית :scratch: הם כפלו וקטור עצמי באופרטור מטריציוני וקבלו ערך עצמי כפול אותו וקטור. זו מערכת של שלוש משוואות, ואם אתה מחלק את הראשונה בשלישית אתה מקבל (אחרי מכנה משותף) את המשוואה http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B3i%5Calpha%7D=1 שממנה ניתן למצוא את ערכי אלפא האפשריים והאנרגיות המתאימות להן (למבדה, שנתון מהמשוואה הראשונה).

ואכן, זה נובע ישירות מקיום תנאי כלל השרשרת: he simplest form of the chain rule is for real-valued functions of one real variable. It says that if g is a function that is differentiable at a point c (i.e. the derivative g′(c) exists) and f is a function that is differentiable at g(c), then the composite function f ∘ g is differentiable at c, and the derivative is[2] http://upload.wikimedia.org/math/3/6/9/369d1b4adbb474cd82fb1389b02360eb.png

לא גזירה בקצה הקטע לא נחשב. שאלת על פרמטריזציה שלא גזירה בקטע עצמו. לי נראה שאם t היא פונקציה חלקה, רציפה וגזירה של s ו-x הוא פונקציה חלקה, רציפה וגזירה של t טריוויאלי שהפונקציה המורכבת http://www.codecogs.com/gif.latex?x(s)=x(t(s)) היא חלקה, רציפה וגזירה, שאתה יכול לבנות את הנגזרת שלה מכלל השרשרת. לזכרוני הרכבה של פונקציות גזירות גזירה בעצמה.

לפני שאנסה לענות על השאלה, איפה ראית פרמטריזציה לא גזירה, ולמה היא מועילה במשהו? :scratch:

אתה אמרת... כי כשאתה מציב t בגבולות של האינטגרל שנמצא לך מתחת לאינטגרל אתה מקבל אינטגרל מ-x עד x של אינטגרנד לפי r. זה אפס.

שכחת איבר אחד. בכלל לייבניץ יש לך שלושה איברים. שניים שקשורים לגזירה של הגבולות והם באמת נותנים לך אפס כשאתה גוזר את האינטגרל החיצוני (בגלל שהגבול התחתון הוא 0 ובגלל ההצבה של t בגבול העליון). האיבר השלישי קשור לגזירה של מה שיש תחת האינטגרל, ובמקרה הזה מתחת לאינטגרל יש לך עוד אינטגרל שהוא פונקציה של t (כי הגבולות שלו הם פונקציה של t). אתה צריך לגזור גם אותו, לפי כלל לייבניץ, במסגרת חישוב הנגזרת הראשונה של u. למעשה אתה משתמש בכלל לייבניץ פעמיים עוד בנגזרת הראשונה, כי יש לך אינטגרל מתחת לאינטגרל שאתה צריך לגזור. נראה לי שבנגזרת השנייה כבר לא תצטרך את כלל לייבניץ.

קצב איבוד המסה הוא האינטגרל שאתה מחשב והוא דבר שונה מקצב השינוי בצפיפות. פונקצייה אחרת, כאמור. אם נדבר שוב על קצב השינוי בצפיפות והנגזרת שלך, שים לב שתכונה של האקספוננט הדועך שאני מדבר עליו הוא שאם הוא דועך מהר יותר הוא מגיע אחרי זמן קצר יותר לאיזור שבו השינויים זניחים. ...ולכן אם אתה מסתכל על הכדור אחרי זמן מסויים t סביר שהצפיפות משתנה לאט יותר בשוליים מאשר במרכז. כלומר, לכאורה באותו זמן היא תדעך "מהר יותר" במרכז. אבל זה רק כי הצפיפות בשוליים הגיעה לחלק הלא משמעותי של האקספוננט קודם. בכל מקרה, ב"קצב ההתנדפות גדול יותר" הכוונה להבנתי ל"מאבד מהר יותר את רוב הצפיפות ההתחלתית" ולא "מאבד יותר צפיפות בכל זמן נתון". הרי ברור שאם כל הכדור התחיל מאותה צפיפות והיא גודל סופי השוליים שלו לא יכולים לאבד צפיפות מהר יותר לנצח, כי באיזהשהוא שלב הצפיפות שלהם פשוט תגמר ושל המרכז לא. ולכן אי אפשר להראות את מה שאתה מציין בדרך שאתה רוצה. כי הוא לא חייב להתקיים כדי שהשוליים יאבדו צפיפות מהר יותר.

על סמך הנגזרת: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Crho,_t=-r%5E%7B3/2%7D%20%5Crho%20_0%20e%5E%7B-r%5E%7B3/2%7Dt%7D אתה יכול לראות שקצב השינוי בצפיפות במרכז (הביטוי בערך מוחלט) הולך לאפס. מכיוון שיש רציפות, נובע שיש סביבה של המרכז שבה קצב השינוי בצפיפות איטי. בכל מקרה, הנגזרת של הצפיפות רק מבלבלת אותך פה. אם אתה מסתכל על הצפיפות אתה רואה שהכדור מתחיל בצפיפות אחידה שדועכת מהר יותר על השפה (כי המקדם של האקספוננט השלילי גדול יותר שם). זה נותן תשובה טובה מספיק לשאלה לטעמי, בהנחה שקצה ההתנדפות מוגדר ע"פ השינוי בצפיפות ולא ע"י השינוי במסה (ומניסוח השאלה נראה שכך הוא מוגדר, מכיוון שלשפת התחום אין נפח ולכן אי אפשר לדבר על קצב איבוד מסה בשפה, רק על קצב ירידה בצפיפות).

קשה לי להזדהות עם התהייה הזו כי לא זכור לי שלמדתי אי פעם בחדו"א 2מ' שיש קשר בין פריקות לאינטגרביליות רימן. לצורך העניין, עד כמה שאני יודע גם האינטגרל המוכלל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7De%5E%7Bx+y%7Ddxdy=%5Cinfty הוא אינטגרל פריק. ...אני בודאי ובודאי יודע מקורסים מאוחרים יותר שאינטגרלים מוכללים סופיים הם פריקים, למשל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cintop_%7B-%5Cinfty%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7De%5E%7B-x%5E2/2-y%5E2/2%7Ddxdy=1 נראה שמספיק לדרוש שהאינטגרנד יהיה אינטגרבילי במובן כלשהוא, גם אם מדובר באינטגרל מוכלל ולא אינטגרל רימן.

אתה רואה דרך אחרת לפתור את האינטגרל הזה בלי להשתמש בפריקות ואינטגרל מוכלל? אם לא, מה אתה חושב שאתה אמור לעשות עם התרגיל הזה? להקליד "102" כי אסור לפרק אינטגרל כפול שמכיל אינטגרל מוכלל?

אילו תנאים, והאם הם קשורים לאינטגרביליות רימן? כי הסעיף שצטטת לא אומר את זה. למעשה הוא לא קשור כלל לתנאים לפריקות.

הפונקציה לא אינטגרבילית לפי רימן אבל למי. אכפת. מזה. המשפט שלך בכלל לא מדבר על הוכחת פריקות אלא על הוכחת אינטגרביליות רימן ולכן הוא לא רלווונטי לענייננו. אתה יודע לפתור את האינטגרל הבא? http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B-1%7D%5E%7B1%7D%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7B%5Csqrt%7B1-y%5E2%7D%7D אם כן, אז אתה יודע לפתור גם את האינטגרל הכפול הנוכחי. הוא פשוט מכפלה של האינטגרל הזה באינטגרל טריוויאלי לפי x. פריקות לא מותנה באינטגרביליות רימן ככל הידוע לי. אם תחכה שתלמד משפט שיכסה כל תת מקרה ספציפי שאתה נתקל בו בשיעורי בית פשוט לא תסיים אותם בזמן.

איך פתרון האינטגרל לפי y קשור להגבלת ערכי x? :scratch:

למה?

נדמה לי שההצבה http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%20%5Ccos%20%5Ctheta (ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?dy=-%5Csin%20%5Ctheta%20d%5Ctheta) פותרת את הבעייה. לגבי אינטגרביליות, היות והאינטגרל הזה פריק למכפלת שני אינטגרלים חד ממדיים בלתי תלויים, אין שום צורך שתלמד על אינטגרלים מוכללים כפולים כדי לפתור אותו. האינטגרל המוכלל פה הוא חד ממדי ואתה אמור בהחלט לדעת לפתור אותו.

הזזנו את אינדקס הסכימה k ביחידה קדימה (כלומר, k החדש שלנו הוא בעצם k'=k+1) n שנמצא במקדם הבינומי לא השתנה (כי הוא מספר קבוע שלא תלוי בבחירת אינדקס הסכימה). מה שישתנה (חוץ מהחזקות של x ו-y שעבורם עשינו את התיקון הזה) הוא טווח הריצה של אינדקס הסכימה החדש ו-k שהיה במקדם הבינומי: 1. אם k הישן רץ מ-0 עד n, נובע ש-k החדש (שהוא כזכור בעצם k'=k+1) ירוץ מ-1 עד n+1 כדי לייצר את אותם איברים בסכום. 2. כמו כן, k שהיה בתוך המקדם הבינומי של הסכום הישן הוא k-1 במונחי האינדקס החדש, ולכן גם את החלק התחתון של המקדם הבינומי צריך לתקן. לסיכום, טווח הריצה ו-k במקדם הבינומי השתנו (כי הם תלויים בבחירת אינדקס הסכימה), ו-n שנמצא בתוך המקדם הבינומי לא (כי הוא מספר שלא תלוי בבחירה של אינדקס הסכימה).

אתה יודע שזה יעבוד בלי קשר לסוגייה הנוכחית כי כל היפוך של סדר הגבולות מוציא מינוס, אז שני היפוכים לא משנים. ...הבעייה פה הייתה להבין מהו סדר הגבולות הקונסיסטנטי אחרי המרת משתנים.

כן, זה ייצא ככה. http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_R%5E0%5Cintop_0%5E%7B2%20%5Cpi%7D%20r%5C,%20dr%20d%5Ctheta=-%5Cpi%20r%5E2

דוגמא טובה יותר - תחשוב על אינטגרל על פונקציה שמוגדרת בשטח של עיגול בקואורדינטות קרטזיות ופולריות. בקואורדינטות קרטזיות אתה עובר על x משמאל לימין ועל y מלמטה למעלה. בקואורדינטות פולריות אתה שומר על סדר עולה בקואורדינטות (r מאפס ל-R ותטא מ-0 לשני פאי), אבל יוצא שכיוון כיסוי השטח שלך הוא שונה ואין באמת חפיפה בין נקודות ההתחלה והסיום בשני המקרים. זה לא משנה כל עוד השטח מכוסה כך שהוא יוצא חיובי (האינטגרל על הפונקציה בשטח לא בהכרח, אבל השטח כן). וכדי לשמור על זה אתה צריך ששתי הקואורדינטות שלך יהיו עולות (כי אלמנט השטח האינפיטיסימלי הוא, כאמור, http://www.codecogs.com/gif.latex?r%5C,dr%20%5C,d%5Ctheta)

זה שהם מאבדים את סימן המינוס זה קל. התחום http://www.codecogs.com/gif.latex?-x_2%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20-x_1 מתמפה לתחום http://www.codecogs.com/gif.latex?x_1%20%5Cleq%20u%20%5Cleq%20x_2. לגבי הפיכת סדר הגבולות, זה נובע שוב מהעובדה שגם בקואורדינטות החדשות אנחנו שומרים על אותה מגמה של כיסוי השטח (משמאל לימין, מלמטה למעלה) כדי שלתוצאה יהיה אותו סימן. תחשוב על הדוגמא שערכתי, שטח של ריבוע יחידה תחת טרנספורמציית שיקוף.

עיינתי שוב במחברת חדו"א 2מ' שלי. יש מצב שאתה צודק, זה מוגדר ככה ואמורים להפוך גם את הערך של הגבולות בקואורדינטות החדשות כדי לכסות את התחום נכון. :oops: יתוקן בהתאם.

טל"ח