אודי

נתבונן בנגזרת מכוונת בשני כיוונים מנוגדים, http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Chat%7Bn%7D. מהנתון נובע ששתי הנגזרות המכוונות זהות: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D מכאן נובע בפרט: א. הנגזרות החלקיות רציפות (עם בחירת n בכיוון אחד הצירים אפשר לקבל באגף שמאל את הגבול החד צדדי העליון ובאגף ימין את הגבול החד צדדי התחתון לנגזרת החלקית בכיוון המבוקש) ב. הנגזרות החלקיות שוות לאפס (מהעברת אגפים, צמצום ובחירת n המתאים ניתן לקבל שפעמיים הנגזרת החלקית שווה לאפס). מ-א. נובע שהפונקציה דיפרנציאבילית וכל הברדק הזה היה מיותר כי היה אפשר להשתמש במכפלה הסקלרית http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D כדי לכתוב את הנגזרת המכוונת במקום הגבול המסורבל הזה. אגב, אם בסעיף ב' אתה לא משוכנע שאפשר להעביר אגפים ולצמצם ביטויים שמופיעים מתחת לגבול, אז אחרי סעיף א' אתה יכול לכתוב מחדש את השוויון בין הנגזרות המכוונות באמצעות המכפלה הסקלרית ולקבל מייד: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=-%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=0

יותר מדוייק למטה

אוקי. אבל עדיין מהרגע שכלל השרשרת תקף אתה עדיין יכול לקבל את הדיפרנציאל של g ישירות מתוך הדיפרנציאלים של f,u,v, כי בכל נקודה: http://www.codecogs.com/gif.latex?df=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7Ddu+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20v%7Ddv http://www.codecogs.com/gif.latex?du=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddx+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy http://www.codecogs.com/gif.latex?dv=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7Ddx+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7Ddy http://www.codecogs.com/gif.latex?dg=(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20x%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20x%7D)dx+(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20u%7D%7B%5Cpartial%20y%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20v%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)dy

טל"ח

הכח בין שתי המסות הוא כח דחייה לאורך כל התנועה. המסה הראשונה מאטה כל עוד היא מתקרבת למסה השנייה, וממשיכה להאט גם כשהמסה השנייה מתרחקת ממנה. אבל כשהמסות מתרחקות הכח נחלש והמסה הראשונה מאטה פחות. המהירות הסופית של המסה הראשונה תלוייה בתשובה לשאלה עד כמה הספיקה הדחייה של הפוטנציאל להרוס את המהירות המקורית שלה לפני שהפוטנציאל הפך לזניח. ככל שהמסה הראשונה גדולה יותר ביחס לשנייה קשה יותר לפוטנציאל להאט אותה. ככל שהמהירות ההתחלתית של המסה הראשונה גדולה יותר הפוטנציאל יצטרך להיות משמעותי יותר זמן כדי לחסל אותה ולהפוך את כיוונה.

איך אתה יודע שצריכה להתקבל תשובה שלילית? או ליתר דיוק, איך אתה יודע שהסימן של התשובה לא תלוי בנתונים הספציפיים שהגרלת? בתיאוריה, עם הנתונים הנכונים למסות, למהירות v0 ולמטען, יכולה להתקבל תשובה חיובית אם היא נמוכה יותר מהמהירות ההתחלתית של החרוז.

שוב, אתה לא צריך לדעת איפה נמצא מרכז המסה. לא היית צריך לדעת את זה גם במקרה של הצפרדע. אתה יודע שמיקום מרכז המסה בציר x לא השתנה במהלך הבעייה, ולכן: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x_%7Bcm%7D=0=%5Cfrac%7BM%20%5CDelta%20X%20+%20m%20%5CDelta%20x%7D%7BM+m%7D אתה יודע שהצפרדע/בול העץ התקדם ב-L יותר ימינה ביחס לרפסודה/טריז: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x%20=%20%5CDelta%20X%20+%20L והנה שתי המשוואות שלך בלי שום צורך לדעת איפה נמצא מרכז המסה.

אני לא רואה שום בעייה בשימוש במרכז מסה מכיוון שמהירות ההתקדמות בציר x לא קבועה, אני לא רואה דרך נוחה יותר שמקבילה לבעיית הצפרדע. הקטע הוא שלא באמת משנה איזו נקודה היא מרכז המסה של הטריז. מכיוון שהטריז הוא גוף קשיח, כל נקודה על הטריז עוברת בדיוק אותו מרחק, ולכן http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20X זהה עבור כל נקודה שתבחר על הטריז. ...אין לך גם צורך אמיתי לדעת איפה בדיוק נמצא מרכז המסה של כל המערכת. אתה יודע שהוא לא זז בציר x וזה העיקר. למיטב ידיעתי אתם לא אמורים להידרש לעשות שום חישוב שכרוך בחישוב מרכז מסה של גופים לא נקודתיים בפיסיקה 1 (לא שזה נחשב קשה, פשוט אין זמן לדבר על זה).

אין כוחות חיצוניים על הצפרדע והרפסודה בכיוון x. התנע הכולל בציר x הוא אפס לאורך כל הבעייה כי הצפרדע והרפסודה מתחילות במנוחה ויש שימור תנע בציר x. לכן אם הצפרדע נוחתת על הרפסודה ונצמדת אליה שתיהן חייבות להעצר בסוף הבעייה. http://www.codecogs.com/gif.latex?P_%7BTOTx%7D=0=mv_0%5Ccos(%5Calpha)+MV אני די מסכים. ...אבל היא צודקת, בפתרון ההוא יש שתי משוואות ופה רק אחת.

1. במערכת מרכז המסה מהירות מרכז המסה http://www.codecogs.com/gif.latex?v_%7Bcm%7D היא אפס והתנע הכולל הוא גם אפס (כי http://www.codecogs.com/gif.latex?P_%7BTOT%7D=M_%7BTOT%7Dv_%7Bcm%7D). 2. לכן, במערכת מרכז המסה לגופים יש מהירויות מנוגדות בתחילת הבעייה. אם אחד נע ימינה השני חייב לנוע שמאלה, אחרת התנע הכולל ומהירות מרכז המסה לא יתאפסו. 3. מסעיף 2 נובע שבמערכת מרכז המסה הגופים "מתנגשים חזיתית" - נעים זה לעבר זה ומחליפים כיוון בשלב מסויים כשהפוטנציאל ביניהם דוחה אותם זה מזה. 4. אבל אם הגופים מחליפים כיוון הם חייבים להעצר, ואם הם נעצרים הם חייבים להעצר יחד - אחרת מהירות מרכז המסה היא לא אפס במערכת מרכז המסה. 5. אם במערכת מרכז המסה הגופים נעים זה לעבר זה, נעצרים בו זמנית ומחליפים כיוון, ברור שהמרחק המינימלי בינהם מתקבל בזמן שהם נעצרים. 6. לכן אפשר לכתוב שימור אנרגיה במערכת מרכז המסה בין המצב ההתחלתי (שבו יש אנרגיה קינטית ופוטנציאלית) למצב שבו המרחק בין הגופים מינימלי (ובו יש אנרגיה פוטנציאלית בלבד). http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_1v_1%5E2%5E%7B(cm)%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm_2v_2%5E2%5E%7B(cm)%7D+%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7Bl_0%7D=%5Cfrac%7Bq%5E2%7D%7Bl_%7Bmin%7D%7D 7. את המהירויות ההתחלתיות במערכת מרכז המסה ניתן למצוא מטרנספורמציית מהירויות: http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1%5E%7B(cm)%7D=v_1%5E%7B(lab)%7D-v_%7Bcm%7D%5E%7B(lab)%7D=v_0-v_%7Bcm%7D%5E%7B(lab)%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?v_2%5E%7B(cm)%7D=v_2%5E%7B(lab)%7D-v_%7Bcm%7D%5E%7B(lab)%7D=0-v_%7Bcm%7D%5E%7B(lab)%7D 8. מכאן כל הגדלים ידועים והמשוואה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?l_%7Bmin%7D פתירה.

במעבדה 1 בפרק שעסק בחישוב שגיאה נגררת ראיתם (ללא הוכחה, לזכרוני*) ששגיאות של גדלים תלויים מקיימות ביניהם את אותו קשר בדיוק שמקיימים הדיפרנציאלים של אותם גדלים. ולכן, עבור פונקצייה של משתנה בודד: http://www.codecogs.com/gif.latex?dp=%5Cfrac%7Bdp%7D%7BdE_k%7DdE_k%20%5Crightarrow%20%5CDelta%20p%20=%20%7C%5Cfrac%7Bdp%7D%7BdE_k%7D%7C%20%5CDelta%20E_k הקשר שהצעת לא נכון כי הוא טוען שהשגיאות בגדלים מקיימות את אותו קשר כמו הגדלים עצמם ולא כמו הדיפרנציאלים שלהם. * ההוכחה נובעת מפיתוח טיילור. בהנחה שהשגיאה קטנה מספיק ביחס לגודל המקורי, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?p=f(E_k), אז: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20p%20=%20%7C%5Cfrac%7Bf(E_k+%5CDelta%20E_k)-f(E_k-%5CDelta%20E_k)%7D%7B2%7D%7C=%7C%5Cfrac%7Bf(E_k)+%5Cfrac%7Bdf(E_k)%7D%7BdE_k%7D%5CDelta%20E_k-f(E_k)+%5Cfrac%7Bdf(E_k)%7D%7BdE_k%7D%5CDelta%20E_k%7D%7B2%7D%7C=%7C%5Cfrac%7Bdp%7D%7BdE_k%7D%7C%5CDelta%20E_k

כיוון הוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D אמור להקבע לפי כיוון המסלול באינטגרל המסלולי, ללא קשר לכיוון השדה, כלומר בתיאוריה יכול להיות שיהיו ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D כיוונים שונים בחישובים שונים כתלות בנקודת הייחוס של הפוטנציאל. מכיוון שנקודת הייחוס פה זהה (אינסוף) וגם המסלול זהה (עד כדי בחירת קואורדינטות), לא אמור להיות הבדל בסימן של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D. נראה לי שיש טעות בסימן בשאלה השנייה, מכיוון שניתן לראות שבאיזור 3 הפוטנציאל לא מקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BE_%7BIII%7D%7D=-%5Cnabla%20%5Cvarphi_%7BIII%7D לגבי המקור לטעות, יש רגישות בשאלה איפה הסימנים נמצאים בתוך http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D והאם צריך להוסיף מינוס כדי "לתקן" את הכיוון שלו. ברור בשני המקרים שהכיוון שלו אמור להיות כיוון r היורד/כיוון x השלילי, אבל אם נסתכל על הוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?dr%20%5Chat%7Br%7D או http://www.codecogs.com/gif.latex?dx%20%5Chat%7Bx%7D במסלול הספציפי המדובר נראה שהוא כבר בכיוון השלילי, מכיוון ש-dr ו-dx קטנים מאפס בגלל כיוון האינטגרציה. http://www.codecogs.com/gif.latex?dr ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?dx אמורים להגדיר את הפרש הקואורדינטות בין שתי נקודות סמוכות עוקבות במסלול. לכן נראה לי שהמינוס שהוסיפו (מכוונות טובות) לפני http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bdl%7D בשאלה השנייה הוא טעות.

מהעובדה שהפונקצייה גזירה בנקודה נובע בפרט שיש לה נגזרת מכוונת בכיוון העקום. מקיום נגזרת מכוונת בכיוון העקום נובע שהעקום גזיר באותה נקודה. אם העקום גזיר הוא חייב להיות חלק.

אם אתה לא דורש שהעקום נמצא על הפונקציה זה לא נכון. דוגמא נגדית: - הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?z=x%5E2+y%5E2. - הנקודה (0,0,0). המישור המשיק z=0. - העקום http://www.codecogs.com/gif.latex?z=%7Cx%7C,y=0, או בהצגתו הפרמטרית: http://www.codecogs.com/gif.latex?x=t http://www.codecogs.com/gif.latex?y=0 http://www.codecogs.com/gif.latex?z=%7Ct%7C

איך קשור המישור המשיק להתאפסות של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20y? :scratch: המישור המשיק קשור לגרדיינט בנקודה (שניצב למישור המשיק), וקל לראות שרכיב y של הגרדיינט לא מתאפס, כי הוא פשוט B (ו-B שונה מאפס לפי ההגדרה הזו). לא ייתכן שהמישור המשיק מקביל לציר z כי רכיבי x, y ו-z של הגרדיינט שונים מאפס.

אכן. והנה היא: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%99%D7%A0%D7%95%D7%9D_%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%98%D7%95%D7%9F http://upload.wikimedia.org/math/5/d/8/5d81bb9acd8ddf6de13cbe9fe17e0154.png. http://upload.wikimedia.org/math/f/4/0/f40bfc5ddb113277e990dda07c70c36e.png, כאשר http://upload.wikimedia.org/math/8/1/3/813846728ce6666dd1031fa32d3fefc8.png http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+h)%5E%5Calpha=x%5E%5Calpha(1+%5Cfrac%7Bh%7D%7Bx%7D)%5E%5Calpha=x%5E%5Calpha(1+%5Calpha%5Cfrac%7Bh%7D%7Bx%7D)=x%5E%5Calpha+h%5Calpha%20x%5E%7B%5Calpha-1%7D שוב, שמרנו את החזקה הנמוכה ביותר ב-h כי השאר זניחות לעומתה (או אם תרצה, היא היחידה שבה h מצטמצם בחישוב הנגזרת). השבר שמגדיר את הנגזרת בגבול h הולך לאפס נותן בדיוק אותה תוצאה מקודם: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B(x+h)%5E%5Calpha-x%5E%5Calpha%7D%7Bh%7D=%5Cfrac%7Bx%5E%5Calpha+h%5Calpha%20x%5E%7B%5Calpha-1%7D-x%5E%5Calpha%7D%7Bh%7D=%5Calpha%20x%5E%7B%5Calpha-1%7D

יש גרסא של הבינום של ניוטון שתקפה גם לחזקות שבריות ותתן מן הסתם בדיוק אותה תוצאה. רק אם אתה משתמש בהוכחה הזו. כאמור, ההוכחה הישירה באמצעות חישוב הגבול על השבר הנ"ל לא דורשת את זה.

כאמור ההוכחה שהבאת היא לא הדרך הפשוטה והישירה לחשב את הנגזרת אלא רק דוגמא לשימוש בכלל השרשרת.

מנוי, אתה לא באמת רוצה לחזור עכשיו ולפשפש בהוכחות לנגזרות של פונקציות אלמנטריות מהתיכון, כן? אתה סובל מעודף זמן פנוי? לא משנה. ההוכחה שאני מכיר כלל לא דורשת שהפונקצייה תהיה חיובית. הנגזרת של http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B%5Calpha%7D היא הגבול h הולך לאפס על השבר הבא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B(x+h)%5E%5Calpha-x%5E%5Calpha%7D%7Bh%7D אפשר לפתח את האיבר הראשון במונה באמצעות נוסחת הבינום של ניוטון, שתקפה לארגומנט שלילי וחיובי כאחד. אתה שומר רק את החזקה הראשונה ב-h כי היא הדומיננטית. מתקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E%5Calpha+%5Cfrac%7B%5Calpha%20!%7D%7B%5Calpha-1%20!%201!%7Dx%5E%7B%5Calpha-1%7Dh-x%5E%5Calpha%7D%7Bh%7D=%5Calpha%20x%5E%7B%5Calpha-1%7D

זו נגזרת של פונקצייה אלמנטרית (פולינום). הוכיחו את זה בתיכון אם http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=x%5E%5Calpha אזי לכל אלפא http://www.codecogs.com/gif.latex?f'(x)=%5Calpha%20x%5E%7B%5Calpha-1%7D

למה ln? הנגזרת של הפונקצייה הזו היא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?%20f'(x)=%20%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7Dx%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%7D ...ואין לך שום בעייה להמשיך לגזור אותה לנצח נצחים (וגם להציב מספרים שליליים).

אני מניח שאפשר להשתמש בנוטציה הזו גם כדי לסמן וקטור עצמי לא מנורמל, אבל לא זוכר שנתקלתי בזה איפהשהוא. כנראה שזה לא שימושי. למה שתרצה כתיב מקוצר למצב שהוא לא מנורמל? בהנחה שהוקטור העצמי מייצג מצב שונה של אותה מערכת, כן. כמובן שאם מדובר במצב עצמיים שמייצגים גדלים מדידים שונים יכולה להיות חפיפה ביניהם. למשל, במערכת עם כמה רמות אנרגיה וכמה מצבים אפשריים של התנע יכול להיות שמצב עצמי של אנרגיה <E1| ומצב עצמי של תנע |p2> יהיו חופפים חלקית, למשל 0.5=<p2|E1> לא משהו שטוב יותר מכהן טנוג'י. זה בלבל גם אותי כשלמדתי את זה. :oops:

<2| הוא פשוט וקטור עצמי שמייצג את מצב פיסיקלי מס' 2 במערכת שיש בה שלושה מצבים פיסיקליים. המספר בתוך הקט הוא מספור של המצבים הפיסיקליים, לא כופל מספרי כלשהוא של הוקטור. כל קט הוא כבר וקטור יחידה, כלומר 1=<2|2> ו-0=<1|2> לא ברור לי למה אתה מתכוון שאתה אומר "למה מבטאים ככה". למה משתמשים בסימון <2| או למה משתמשים בייצוג המטריציוני? :scratch: השימוש ב-<2| ו-|2> מאפשר כתיב מקוצר נוח למצבים עצמיים. הייצוג הוקטורי (במקרה זה, <2|=(0,1,0) בבסיס המקורי שאיתו עובדים) מאפשר ייצוג וחישוב פשוט של פעולות אופרטוריות.

זה די ישיר. לפי הגדרה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20g%20=%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%20%5Chat%7Bi%7D%20+%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20v%7D%20%5Chat%7Bj%7D כשאתה מחשב את הנגזרות החלקיות של g אתה משתמש בכלל השרשרת ומקבל מייד שהן שוות למכפלה סקלרית המבוקשת בכל איבר. כך למשל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20u%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20x%7D%7B%5Cpartial%20u%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20y%7D%7B%5Cpartial%20u%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20z%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20z%7D%7B%5Cpartial%20u%7D=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Br%7D%20'_u

תקנתי. זה http://www.codecogs.com/gif.latex?%20f(%20R%20)%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D, והנקודה הזו מתאימה ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?R_0=0. תסתכל שוב בפונקצייה.