אודי

אוקי, אני אחפור על זה קצת כי זה החלק הטריקי בהוכחה. אני אדגים את ההסבר על משתנה אחד כי זה יהיה ברור יותר וההכללה לשני משתנים טריוויאלית. נסתכל על טרנספורמציית הקואורדינטות מהסוג: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20f(x)%5C,dx=%5Cintop%20F(u)%5C,%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdu%7D%5C,du כאשר אצלנו u=-x. לדוגמא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20sin(x)%5C,dx=%5Cintop%20sin(-u)%5C,(-1)%5C,du ברור מהסימון ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?F(u)=sin(-u) היא פונקציה שונה של u מאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=sin(x) של x. לא יעזור אם נעשה רלייבלינג למשתנה אינטגרציה - עדיין נקבל הבדל ביניהן בגלל המינוס. מצד שני, ברור ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?F(u)=f(-u). ואם נעשה רלייבלינג של x במקום u- נקבל את אותה פונקצייה בדיוק. בדרך כלל לא מעניין אותנו לקבל את אותה פונקציה באינטגרנד אחרי המרת קואורדינטות. להיפך, אחת הסיבות המרכזיות להשתמש בהמרת קואורדינטות היא שהאינטגרנד המקורי לא נוח. לכן הנוטציה המקובלת בהמרת קואורדינטות מתייחסת ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?F(u), הפונקצייה החדשה, כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(u), בלי להתעסק בקשר שלה עם האינטגרנד הישן. אבל בבעייה הזו אנחנו רוצים לשחזר בדיוק את אותה f אחרי המרת המשתנים כדי שנוכל לעשות רלייבלינג ולהשתמש באנטי סימטריות של הפונקציה. ולכן בבעייה הזו אנחנו משתמשים בנוטציה שונה מהמקובל כדי לשמר את אותה צורה פונקציונלית של האינטגרנד.

נראה לי שעכשיו המינוסים מסתדרים.

מהגדרת תחום האינטגרציה שלך נובע שהוא סימטרי ב-x. אפילו אם הוא לא בהכרח רציף מ-x- ל-x, ניתן לכל הפחות לחלק אותו לשני קטעים (או יותר, מספר זוגי כלשהיא) מהצורה: http://www.codecogs.com/gif.latex?x_1%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20x_2 http://www.codecogs.com/gif.latex?-x_2%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20-x_1 עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?x_1%20%5Cleq%20x_2 חיוביים כלשהם. נניח בלי הגבלת כלליות שיש לך שני תחומים סימטריים כאלו. אם יש יותר זוגות אפשר להוכיח את הסימטריה של האינטרגל באותו אופן עבור כ"א מהזוגות בנפרד. מהנתונים על הפונקציה אפשר להסיק: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_%7B-x_2%7D%5E%7B-x_1%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)%5C,%20dxdy+%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)%5C,%20dx%20dy עכשיו נחליף משתנים באינטגרל הראשון ונקבל מהחלפת משתנים: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(-u,v)%5C,%20dudv+%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)%5C,%20dx%20dy כתבתי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(-u,v) במקום http://www.codecogs.com/gif.latex?f(u,v) כדי של-f תהיה אותו צורה פונקציונלית (=אותה פונקציה) כמו באינטגרל הימני (אני יכול להתפלסף על המשמעות של זה אם צריך, זו פשוט נוטציה שונה מהנפוצה). סדר הגבולות התחלף כדי להתאים לכיסוי שטח חיובי. ניתן לעשות רלייבלינג של משתני האינטגרציה u כ-x ו-v כ-y (מותר, משתני אינטגרציה, השם לא חשוב) ולקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)+f(-x,y)%5C,%20dx%20dy=%5Cintop_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cintop_%7By_1%7D%5E%7By_2%7D%20f(x,y)-f(x,y)%5C,%20dx%20dy=0

צ"ל http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)%5En=%5Csum_%7Bk=0%7D%5En%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%20x%5Eky%5E%7Bn-k%7D לכל n. נבדוק עבור n=1: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bk=0%7D%5E1%5Cbinom%7B1%7D%7Bk%7Dx%5Eky%5E%7B1-k%7D=%5Cbinom%7B1%7D%7B0%7Dx%5E0y%5E1+%5Cbinom%7B1%7D%7B1%7Dx%5E1y%5E0=x+y עובד. עכשיו נניח http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)%5En=%5Csum_%7Bk=0%7D%5En%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%20x%5Eky%5E%7Bn-k%7D וצריך להראות שנובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)%5E%7Bn+1%7D=%5Csum_%7Bk=0%7D%5E%7Bn+1%7D%20%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk%7D%20x%5Eky%5E%7Bn+1-k%7D ננסה לחשב את הבינום ה-n+1-י תוך שימוש בהנחה לגבי הבינום ה-n-י: http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)%5E%7Bn+1%7D=(x+y)(x+y)%5En=(x+y)%5Csum_%7Bk=0%7D%5En%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%20x%5Eky%5E%7Bn-k%7D=%5Csum_%7Bk=0%7D%5En%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%20x%5E%7Bk+1%7Dy%5E%7Bn-k%7D+%5Csum_%7Bk=0%7D%5En%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%20x%5Eky%5E%7Bn-k+1%7D נשים לב שהחזקות של x ו-y שמופיעות בסכום השני סבבה לנו כי הן מתאימות למה שיש בתוצאה המבוקשת. החזקות בסכום הראשון לא, ולכן נעשה סימון מחדש של אינדקס הסכימה k כך שעכשיו הוא גדול באחד ממה שהיה קודם אבל רץ מ-1 עד n+1 במקום מאפס עד n. (אנחנו למעשה מחליפים את k ב-k'=k+1, רק שאנחנו מייד מסמנים את k' כ-k כי השם של אינדקס סכימה לא באמת חשוב). נקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)%5E%7Bn+1%7D=%5Csum_%7Bk=1%7D%5E%7Bn+1%7D%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk-1%7D%20x%5E%7Bk%7Dy%5E%7Bn-k+1%7D+%5Csum_%7Bk=0%7D%5En%20%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D%20x%5Eky%5E%7Bn-k+1%7D עכשיו נאחד בחזרה את שני הסכומים, אבל נוציא משניהם שני איברים (ה-n+1-י מהראשון והאפס-י בשני) שאין להם מקבילה בסכום הצמוד: http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)%5E%7Bn+1%7D=%5Csum_%7Bk=1%7D%5E%7Bn%7D(%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk-1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D)%20x%5E%7Bk%7Dy%5E%7Bn+1-k%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7Dx%5E%7Bn+1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7Dy%5E%7Bn+1%7D נהפוך את סכום הקומבינציות לקומבינציה אחת לפי הזהות שהוכחנו: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk-1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk%7D ונזכור ש http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B0%7D=%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D=1 ונקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)%5E%7Bn+1%7D=%5Csum_%7Bk=1%7D%5E%7Bn%7D%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk%7D%20x%5E%7Bk%7Dy%5E%7Bn+1-k%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7Dx%5E%7Bn+1%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B0%7Dy%5E%7Bn+1%7D עכשיו אפשר להחזיר את שני האברים הסוררים לסכום, שכן הן משתלבים איתו נפלא אם מרחיבים אותו בחזרה לטווח 0 עד n+1. ולמעשה קבלנו את התוצאה המבוקשת: http://www.codecogs.com/gif.latex?(x+y)%5E%7Bn+1%7D=%5Csum_%7Bk=0%7D%5E%7Bn+1%7D%20%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk%7D%20x%5Eky%5E%7Bn+1-k%7D

אה. משום מה קראתי "נתנאל" ולא "בתאל". השעה, כנראה 8-[ בכל מקרה, לא נתקלתי בטכניון מעולם במשולש פסקל, מצד שני גם לא עשיתי קורסים בהסתברות או קומבינטוריקה... אז מי יודע שיהיה בהצלחה!

אגב, אפשר לשאול למה את צריכה את זה? כי זה לא נראה לי כמו שיעורי בית באלגברה

שתי הזהויות שלך מוכחות באותו אופן, מכתיבת הקומבינציות ומכנה משותף: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk+1%7D=%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D+%5Cfrac%7Bn!%7D%7B(k+1)!(n-k-1)!%7D=%5Cfrac%7Bn!(k+1+n-k)%7D%7B(k+1)!(n-k)!%7D=%5Cfrac%7Bn!(n+1)%7D%7B(k+1)!(n+1-k-1)!%7D=%5Cfrac%7B(n+1)!%7D%7B(k+1)!(n+1-k-1)!%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk+1%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk-1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D=%5Cfrac%7Bn!%7D%7B(k-1)!(n-k+1)!%7D+%5Cfrac%7Bn!%7D%7Bk!(n-k)!%7D=%5Cfrac%7Bn!(k+n-k+1)%7D%7Bk!(n-k+1)!%7D=%5Cfrac%7Bn!(n+1)%7D%7Bk!(n+1-k)!%7D=%5Cfrac%7B(n+1)!%7D%7Bk!(n+1-k)!%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk%7D לגבי ההוכחה באינדוקציה, עבור n=1 http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_1=1+1=2%5E1 כעת נניח ש http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_n=2%5En ומהגדרת משולש פסקל ידוע http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B1%7D+...+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn%7D=%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D נחסר בין השורות איבר איבר. האיבר הראשון מצטמצם כי הוא 1 בשניהם. האיבר האחרון בשורה n+1 לא מצטמצם כי אין לו בן זוג. מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D-%5CSigma%20P_n=%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B1%7D-%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7B2%7D-%5Cbinom%7Bn%7D%7B2%7D+...+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn%7D-%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D נשתמש באחת הזהויות שהוכחנו כרגע, רק נעביר בה אגפים: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bk%7D-%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk%7D=%5Cbinom%7Bn%7D%7Bk-1%7D ונקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D-%5CSigma%20P_n=%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn-1%7D+%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D עכשיו נרשום את האחד שיש לנו בסוף השורה כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D במקום http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cbinom%7Bn+1%7D%7Bn+1%7D ונקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D-%5CSigma%20P_n=%5Cbinom%7Bn%7D%7B0%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7B1%7D+...+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn-1%7D+%5Cbinom%7Bn%7D%7Bn%7D=%5CSigma%20P_n כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D=2%5CSigma%20P_n ומכיוון שהנחנו: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_n=2%5En נובע משני השוויונות ישר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20P_%7Bn+1%7D=2%5Ctimes2%5En=2%5E%7Bn+1%7D מש"ל באינדוקציה.

עכשיו ננסה לבדוק האם ניתן לחלץ את f כפונקציה סתומה, כלומר לקבל קשר חד ערכי בינה לבין הנגזרות שלה בקטע שכולל את הראשית. מתקבל מגזירה לפי x: http://www.codecogs.com/gif.latex?1+ye%5E%7Bf(x,y)%7Df,_x(x,y)+f,_x(x,y)+2x%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)=0 ולפי y: http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7Bf(x,y)%7D+ye%5E%7Bf(x,y)%7Df,_y(x,y)+f,_y(x,y)+2y%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)=0 על מנת שהביטויים האלו יגדירו פונקציה של x ו-y (קשר חד ערכי בין הפונקציה לנגזרות החלקיות שלה) בריבוע שמכיל את הראשית הם צריכים להיות רציפים או לפחות מוגדרים היטב בראשית. הם לא, כאמור.

אם אתה מעדיף דוגמא שבה אי אפשר לבצע חילוץ ישיר, הנה: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y,z)=x+ye%5E%7Bz%7D+z+x%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)+y%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D) עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?(x,y,z)%20%5Cneq%20(0,0,0) http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0,0,0)=0. http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_x(0,0,0)=%5Clim_%7B%5Cepsilon%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%5Cepsilon+%5Cepsilon%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D)-0%7D%7B%5Cepsilon%7D=1 http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_y(0,0,0)=1 http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_z(0,0,0)=1 הפונקצייה דיפרנציאבלית ב-(0,0,0) כי: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7B%5Cepsilon,h,k%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%5Cepsilon+%5Cepsilon%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D)+he%5E%7Bk%7D+h%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bh%7D)+k-0-%5Cepsilon-h-k%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cepsilon%5E2+h%5E2+k%5E2%7D%7D=0 אבל הנגזרות החלקיות לא רציפות שם כי לא בראשית: http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_x(x,y,z)=1+2x%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D) http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_y(x,y,z)=1+2y%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D) ולפונקציות האלו אין גבול בראשית.

אתה מסוגל לקבל פונקציה מפורשת (עם נגזרת לא רציפה בראשית) מתוך חילוץ ישיר, אבל לא באמצעות משפט הפונקציות הסתומות כי משפט הפונקציות הסתומות מסתמך על רציפות הנגזרות.

דוגמא בהשראת ויקיפדיה: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y,z)=x+y+z+x%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D) עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?(x,y,z)%20%5Cneq%20(0,0,0) http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0,0,0)=0. http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_x(0,0,0)=%5Clim_%7B%5Cepsilon%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%5Cepsilon+%5Cepsilon%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D)-0%7D%7B%5Cepsilon%7D=1 http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_y(0,0,0)=1 http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_z(0,0,0)=1 הפונקצייה דיפרנציאבלית ב-(0,0,0) כי: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7B%5Cepsilon,h,k%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7B%5Cepsilon+%5Cepsilon%5E2%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cepsilon%7D)+h+k-0-%5Cepsilon-h-k%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cepsilon%5E2+h%5E2+k%5E2%7D%7D=0 אבל הנגזרת החלקית לא רציפה שם כי עבור x שונה מאפס: http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_x(x,y,z)=1+2x%5Csin(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)-%5Ccos(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D) ולפונקציה הזו אין גבול כש-x הולך לאפס.

http://www.svi.nl/wikiimg/FWHM.png

אתה צודק פה, התבלבלתי. http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x)=%5Cint%20y'(x)%20dx=... אבל רציפות של הנגזרת הזו לא קשורה להפעלת כלל לייבניץ. נראה שאני לא יודע בעצם למה נתנו פה את הנתון לגבי גזירות ברציפות פעמיים. מצד שני, גם לא ברור לי למה זה מטריד אותך עד כדי לפתוח שרשור נפרד על זה (ולמה בעצם לא לשרשר את כל השאלות על כלל לייבניץ לשרשור אחד?). אם השאלה היא האם העובדה שיש נתון שלא השתמשת בו מעידה על כך שהדרך שלך לא נכונה - עד כמה שאני רואה התשובה היא לא.

כן :scratch:

אני מניח שהכוונה להשתמש בכלל לייבניץ בנקודה שבה הוא לא בעייתי כדי לחשב את http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(x) ואז לשכוח ממנו ולראות אם לפונקציה שקבלת http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(x) יש גבול ב-x=0. אין צורך להתעסק בהגדרת מלבנים ב-x=0 כי ממילא כלל לייבניץ לא יכול להיות תקף במלבן שמכיל את (0,0). היא נקודת אי רציפות עיקרית. ..אתה לא באמת מחשב פה את הנגזרת בנקודה x=0 עם כלל לייבניץ, רק את הגבול לנגזרת שחשבת עם כלל לייבניץ במקום שבו הוא תקף בנקודה x=0.

דברתי על http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x)

אני לא רואה טעות בדרך שלך. להבנתי הנתון פשוט נועד לחסוך לך את הבדיקה שעשית לגבי הנגזרות (אם כי האמת, במחשבה שנייה נראה לי שמספיק ש-y תהיה גזירה ברציפות פעם אחת כדי שיהיה ניתן להפעיל את משפט לייבניץ פעמיים).

http://www.codecogs.com/gif.latex?g,_y=f,_uu,_y+f,_vv,_y=f,_u%5Cfrac%7B2%7D%7Bx+y%7D+f,_v(-6y)=3%5Cfrac%7B2%7D%7B0+1%7D-2(-6%5Ctimes1)=18 תשובה ג. שים לב שכדי לקבל ב-f את הנקודה שעבורה נתונות הנגזרות של f (כלומר, (3-,0)=(u,v)) הנקודה שצריך להציב ב-g היא (0,1)=(x,y).

בדרך כלל יש פרמטרים שונים לרוחב עקומה כתלות בפונקציה. בעקומת גאוס מקובל להתייחס ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma (או כפולות שלמות שלו) כרוחב העקומה (כזכור http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Csigma%7De%5E%7B-%5Cfrac%7B(x-%5Cmu)%5E2%7D%7B2%5Csigma%5E2%7D%7D). המשמעות שלו בפועל היא ש-68% מהאינטגרל על הפונקציה נמצאים בטווח http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cpm%5Csigma מהממוצע של ההתפלגות http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cmu (יש גם ערכים ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Csigma ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?3%5Csigma, שהם 95% ו-99% בערך בהתאמה). בפונקציות אחרות יש פרמטרים אחרים. פרמטר גנרי יותר לפונקציות דמויות גאוסיאן הוא ה-Full Width Half Maximum (בקיצור FWHM), שמתאים למרחק בין שתי נקודות שבהן הפונקציה מגיעה למחצית מגובה המקסימום שלה.

נראה לי טל"ח

כן. יוצא שבדרך אני מצדיק את השימוש בכלל לייבניץ גם לפונקציה הישנה, במובן ובאופן שציינתי.

לא. הנה התשובה המלאה: יהי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y) אינטגרנד עם נקודות אי רציפות סליקות (אבל נגזרת רציפה לפי y) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y) אינטגרנד מתוקן שבו החלפנו את הערך בנקודות אי הרציפות הסליקות בגבול של הפונקציה f בהן. אזי, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Df(x,y)%5C,dx http://www.codecogs.com/gif.latex?G(y)=%5Cint_%7Bu(y)%7D%5E%7Bv(y)%7Dg(x,y)%5C,dx נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?F(y)=G(y) http://www.codecogs.com/gif.latex?F'(y)=G'(y) מכיוון שאת אגף ימין מותר ללא שום ספק לחשב באמצעות כלל לייבניץ, והחישוב שלו באמצעות כלל לייבניץ נותן את אותה תוצאה בדיוק שנותן החישוב של אגף שמאל עם אגף לייבניץ (עד כדי, שאם באגף שמאל אחד מהגבולות נמצא בנקודת אי רציפות סליקה צריך להחליף את הערך של הפונקציה בנקודה בערך הגבולי ואז מתקבלת אותה תוצאה), נובע שנקודת אי רציפות סליקה לא משנה לכלל לייבניץ תחת המניפולציה הזו.

אתה לא. אתה משתמש בו עבור הפונקצייה המתוקנת. אבל מכיווון שהאינטגרלים על הפונקצייה המתוקנת והפונקציה המקורית נותנים את אותה פונקצייה (שווים), גם הנגזרת של האינטגרל לפי y על הפונקצייה המתוקנת שווה לנגזרת של האינטגרל על הפונקצייה הישנה לפי y. ...ולכן נקודת אי רציפות סליקה לא באמת משנה למשפט לייבניץ.

אבל תגובה מהירה לא קשורה לעריכה :scratch: