אודי

פעם הבאה שאני בטוח במשהו, אני לא אהיה בטוח

אתה יודע מה, נראה לי שהבודק צודק וזו הייתה טעות 8-[ שארית היא מכפולה של שלוש, לא מחזקה של שלוש. דוגמא לכך שהשארית לא מתאימה לפירוק לחזקה של 3: http://www.codecogs.com/gif.latex?7=3*2+1 השארית היא 1 אבל המספר לא מתאים לביטוי כחזקה של 3 + השארית. אני לא יודע מה לומר. מביך. אפשר לתקן את ההוכחה, אני מניח, אבל זה כבר לא יעזור לך.

בסעיף ב' ראינו שעבור http://www.codecogs.com/gif.latex?0 מתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ex עבור כל x. נובע שעבור http://www.codecogs.com/gif.latex?0 מתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ex (דרך פשוטה לראות - להגדיר פרמטר חיובי חדש http://www.codecogs.com/gif.latex?k'=k/2, להציב http://www.codecogs.com/gif.latex?k=2k' בשני האי שוויונות ואז מקבלים את הזהויות הנ"ל עם http://www.codecogs.com/gif.latex?k'). כלומר עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?0 הנגזרת של http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=e%5Ex-kx%5E2 חיובית לכל x והפונקצייה מונוטונית עולה. בפרט, מכיוון ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0)=1, נובע שעבור כל http://www.codecogs.com/gif.latex?x מתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x) או http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ex.

תקרא שוב את ה-Best Answer. ההסבר המדוייק מופיע שם, בסעיפים 1 ו-2. אם משהו לא ברור בהסבר תשאל שאלה ספציפית על הקטע הלא ברור, אחרת אני לא רואה טעם לחזור על עצמי.

לגבי השאלה השנייה, אין שם שום דבר מסתורי. שרשרת של שימורי אנרגיה/תנע. 1. המסה הראשונה מחליקה במורד המדרון וצוברת מהירות. אפשר למצוא את המהירות הזו כפונקציה של הגובה משימור אנרגיה. 2. המסה הראשונה מתנגשת במסה השנייה ואז בשלישית ושלושתן מקבלות מהירות חדשה. אפשר למצוא את המהירות הזו כפונקציה של הגובה משימור תנע. 3. שלושת המסות צריכות להשלים סיבוב מלא כשהחוט מתוח. בנקודת השיא של המסלול (בגובה 2l מעל הקרקע) צריכה להיות להן מהירות קריטית שנובעת מהכבידה בלבד: http://www.codecogs.com/gif.latex?-mg=-%5Cfrac%7Bmv_%7Bcrit%7D%5E2%7D%7Bl%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?v_%7Bcrit%7D=%5Csqrt%7Bgl%7D (זה אמור היה להיות מכוסה בתרגול, אגב) 4. אפשר לבנות שימור אנרגיה בין נקודת התחתית לנקודת השיא של המסלול המעגלי, שלוקח בחשבון שבנקודת השיא יש למסות את המהירות הקריטית הנ"ל ואנרגיה פוטנציאלית ובתחתית יש להן אנרגיה קינטית עם המהירות שחשבת בסעיף 2. 5. שימור האנרגיה מסעיף 4 מאשר לך לחלץ את הגובה כפונקציה של l.

1. א. מקינמטיקה של נפילה חופשית, אתה יודע שהמרחק שעברה הצפרדע ביחס למים מקיים: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x=v_0%5Ccos(%5Calpha)%20t כאשר t הוא הזמן שלוקח לה לנחות בחזרה על המוט, כלומר y(t)=0: http://www.codecogs.com/gif.latex?v_0%20%5Csin(%20%5Calpha)%20t%20-%5Cfrac%7Bgt%5E2%7D%7B2%7D=0 ב. אתה יודע שאין כוחות חיצוניים בציר x ולכן התנע נשמר שם, ומהירות מרכז המסה קבועה. מכיוון שלפני הקפיצה של הצפרדע המערכת כולה המנוחה נובע שמהירות מרכז המסה היא אפס והשינוי במיקומו הוא אפס, ולכן: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x_%7Bcm%7D%20=%20%5Cfrac%7Bm%5CDelta%20x+M%5CDelta%20X%7D%7Bm+M%7D=0 כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20X הוא המרחק שהרפסודה עברה ביחס למים. אתה יודע שהצפרדע "משיגה" את הרפסודה ב-L (עברה לקצה השני) ולכן הקשר בין המרחק שהצפרדע עברה למרחק שהרפסודה עברה הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x%20-%20%5CDelta%20X%20=%20L ג. ממערכת המשוואות בסעיף ב' אתה מוצא את http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x. ממערכת המשוואות בסעיף א' אתה מוצא את http://www.codecogs.com/gif.latex?v_0.

http://www.codecogs.com/gif.latex?H(x)=f(x)-f(-x)=C אם תקח את הגבול החד צדדי x שואף לאפס מימין על הפונקציה H תקבל שההפרש בין הגבול החד צדדי הימני לגבול החד צדדי השמאלי של f באפס הוא C: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20+0%7D%5C,H(x)=f(+0)-f(-0)=C כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?f(+0) ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(-0) הם הגבולות החד צדדיים, בהתאמה.

כשאת גוזרת את היחס בין הפתרונות http://www.codecogs.com/gif.latex?h(x) את מקבלת שהוא פרופורציוני לוורונסקיאן (ובעל אותו סימן): http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(x)=%5Cfrac%7By_2'y_1-y_1'y_2%7D%7By_1%5E2%7D=%5Cfrac%7BW(x)%7D%7By_1%5E2%7D הורונסיקאן עבור שני פתרונות של משוואה הומוגנית מתאפס רק אם אחד הפתרונות הוא קומבינציה ליניארית של השני (http://www.codecogs.com/gif.latex?y_2(x)=ay_1(x)+b), ואז הוא מתאפס בכל הקטע. כלומר יש פה שלוש אפשרויות: 1. הורונסקיאן מתאפס בכל הקטע - http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(x) מתאפסת בכל הקטע - היחס בין הפתרונות קבוע; 2. הורונסקיאן חיובי בכל הקטע - http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(x) חיובי בכל הקטע - היחס בין הפתרונות מונוטוני עולה; 3. הורונסקיאן שלילי בכל הקטע - http://www.codecogs.com/gif.latex?h'(x) שלילי בכל הקטע - היחס בין הפתרונות מונוטוני יורד; הנתון הנוסף בכל סעיף מאפשר לך לשייך כל סעיף לאחת האפשרויות לעיל ולהגיע למסקנות המתאימות. לדוגמא, בסעיף א' את רואה שהיחס בין הפתרונות חייב להיות קבוע, מכיוון שהוא מקבל את אותו ערך בשתי נקודות. מכיוון שהערך הזה הוא 1, נובע שהפתרונות הם אותו פתרון. אגב, שמתי לב ששאלות שאין לך מושג איך לגשת אליהן במד"ר נוטות בד"כ להיות קשורות לורונסקיאן איכשהוא. מושג תלוש כזה.

http://www.codecogs.com/gif.latex?W_%7B-F%7D=-W_F=%20%5CDelta%20U=U(1,5)-U(0,0)=4%5Ctimes1%5E2+6%5Ctimes5%5E2=154%5C,%20J כאמור, העבודה שיש להשקיע נגד הכוח http://www.codecogs.com/gif.latex?W_%7B-F%7D היא בסימן הפוך לעבודה של הכוח http://www.codecogs.com/gif.latex?W_F ולכן היא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20U ולא http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5CDelta%20U

http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_surface + (זכרון מעורפל ורפרוף במחברת מצב מוצק מתואר ראשון) המיקום היחסי של משטח פרמי במבנה פסי האנרגיה של החומר יקבע אם החומר מבודד, מוליך או מוליך למחצה. - אם משטח פרמי עובר ברצף של פסי אנרגיה ללא פער מעליו - החומר מוליך. - אם משטח פרמי עובר בפס אנרגיה שיש מעליו פער אנרגיה ואז פס ריק - החומר יהיה מוליך למחצה או מבודד, כתלות בגודל פער האנרגיה. לגבי מה עושים עם זה בחישובים (בקורס, לפחות...), לפי המעט שאני זוכר בבעיות שבהן המושג הזה מוזכר בעיקר נותנים לך לחשב את הצורה של משטח פרמי במקרים מסויימים. יכולים לתת לך מידע על מבנה פסי האנרגיה של החומר שיאפשר לך להסיק ממנו וממשטח פרמי את תכונות ההולכה שלו.

ב. בין כל שתי התאפסויות של הפונקצייה (אם היא רציפה) חייבת לשנות מגמה, אחרת לא תוכל לחזור לאפס. לכן בין כל שתי התאפסויות חייבת להיות נקודה שבה הנגזרת מתאפסת. נניח שהפונקציה מתאפסת k+2 פעמים. נובע ישירות מהמשפט הקודם שחייבות להיות k+1 נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. אבל יודעים שהנגזרת מתאפסת רק k פעמים, ולכן זה לא ייתכן ויכולות להיות לכל היותר רק k+1 נקודות בהן הפונקצייה מתאפסת. ג. הנגזרת של הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?y=x%5E5+x%5E3+8x%5E2-3 היא http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=5x%5E4+3x%5E2+16x=x(5x%5E3+3x+16) אפשר לראות שהנגזרת מתאפסת פעמיים. פעם כש-x=0 ופעם כשהגורם http://www.codecogs.com/gif.latex?5x%5E3+3x+16 מתאפס (אפשר לדעת שהגורם הזה מתאפס פעם אחת, מכיוון שהוא מונוטוני עולה, מתחיל במינוס אינסוף ומגיע לאינסוף. ואפשר לראות שזה קורה עבור x שלילי). לכן יש לכל היותר שלושה פתרונות לפולינום (שלוש פעמים בהן הפונקצייה מתאפסת). מכיוון ששורשים מרוכבים באים בזוגות, האפשרויות שנותרנו איתן הם שורש ממשי אחד וארבעה מרוכבים או שלושה שורשים ממשיים ושניים מרוכבים. קל לפסול את האפשרות של שורש אחד באמצעות בדיקה פשוטה: http://www.codecogs.com/gif.latex?y(-1)=3 http://www.codecogs.com/gif.latex?y(0)=-3 http://www.codecogs.com/gif.latex?y(1)=5 מרציפות ומשפט ערך הביניים נובע שהפונקצייה חוצה את האפס לפחות פעמיים, ומכאן אנחנו מסיקים שחייבים להיות בדיוק שלושה שורשים.

זה לא בסדר, כי הגבולות העליונים של x ו-y נכונים רק ל-z=0 ועבור z שונה מאפס הגבולות אחרים. מה הבעייה במעבר הסטנדרטי לקואורדינטות קוטביות? :scratch: http://www.codecogs.com/gif.latex?x=r%5Ccos%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?y=r%5Csin%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?dx%5C,dy%5C,dz=r%5C,dr%20%5C,d%5Ctheta%20%5C,dz ותחומי האינטגרציה הם: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20%5Cleq%20%5Ctheta%20%5Cleq%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20r%20%5Cleq%201-z http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20z%20%5Cleq%201

להבנתי אם הפונקציה גזירה על כל הישר הנגזרת חייבת להיות רציפה. אני חושב שהדוגמא הנגדית שנתנו שם פשוט לא טובה, כי באינסוף אי אפשר לומר שהפונקציה חלקה או רציפה. יש לה קפיצות בכל ערך שלם. אבל באמת אין לי כח וחשק להתווכח על זה.

איך חזרנו לחדו"א 1? :scratch: אם http://www.codecogs.com/gif.latex?F' מונוטונית עולה ורציפה הנגזרת שלה יכולה להיות חיובית או אפס על כל הישר. לכן יש שלוש אפשרויות לגבול באינסוף: - קבוע חיובי - אין גבול (מתנדנד בין קבוע חיובי לאפס, או רק על התחום החיובי) - אפס קל לראות שהמקרה הראשון לא ייתכן עבור פונקציה חסומה. נסמן את הגבול החיובי באינסוף ב-L. אזי מהגדרת הגבול נובע קיים ערך סופי כלשהוא של x שעבורו (וממנו והלאה) http://www.codecogs.com/gif.latex?f'(x_0) מכיוון ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cf'(x_0)-L%7C עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon כלשהוא. אבל מזה נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?f(%5Cinfty)=f(x_0)+%5Cintop_%7Bx_0%7D%5E%7B%5Cinfty%7Df'(x)%5C,dx%20 בסתירה לכך שהפונקצייה חסומה. אם אתה מעדיף לעבוד עם אינטגרלים סופיים, אפשר להראות באותו אופן שהפונקציה חייבת לחצות את החסם העליון M החל מהנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?x_0+%5Cfrac%7BM-f(x_0)%7D%7BL-%5Cvarepsilon%7D המקרה השני בעייתי יותר להפרכה, אבל בעיקרון אם אין גבול והנגזרת רציפה אמורים להיות אינסוף קטעים סופיים (לא נקודתיים) שבהם הנגזרת חיובית. נבחר עבור כל קטע חסם חיובי כך שנוצר תת קטע שבו הנגזרת גדולה או שווה מהחסם החיובי (קל לעשות את זה באמצעות האלגוריתם הבא - נניח שהמקסימום של הנגזרת בקטע מסויים שבו הנגזרת חיובית הוא M. אזי קיים תת קטע סופי שבו הנגזרת גדולה מ-M/2). קבלנו אינסוף תת קטעים שבהם הנגזרת חסומה מלמטה ע"י קבוע חיובי (שונה עבור כל קטע - סט של אינסוף קבועים חיוביים), ולכן הפונקצייה באינסוף גדולה מסכום האינטגרלים על החסמים בכל הקטעים האלו, שהוא אינסוף. כלומר שוב קבלנו סתירה לחסימות. - מכאן המקרה השלישי חייב להיות נכון.

א. יש לך חמישה מקדמים חופשיים ושני אילוצים עליהם. להבנתי זה אומר שהמימד של המרחב הוא 3, לא 4. עבור הפולינום http://www.codecogs.com/gif.latex?p(x)=ax%5E4+bx%5E3+cx%5E2+dx+e מתקבל מהצבת הדרישות: http://www.codecogs.com/gif.latex?a-b+c-d+e=0 http://www.codecogs.com/gif.latex?c=3b-6a ב. אפשר לפתור את מערכת המשוואות הזו עבור b ו-c, ולקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?b=%5Cfrac%7B5a+d-e%7D%7B2%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?c=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D(a+d-e) ג. עכשיו ניגש לבסיס. הדרישה לכל אבר בבסיס היא b=-88. הדרך הפשוטה ביותר לבנות בסיס כזה היא לדרוש שאחד המקדמים החופשיים a,d,e שונה מאפס ומקיים את הדרישה ל-b בעוד שהשניים האחרים מתאפסים. כך למשל עבור האיבר הראשון בבסיס נדרוש: http://www.codecogs.com/gif.latex?d=e=0 http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B5a%7D%7B2%7D=-88 נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?a=-35.2 http://www.codecogs.com/gif.latex?c=-52.8 וסה"כ: http://www.codecogs.com/gif.latex?p_1(x)=-35.2x%5E4-88x%5E3-52.8x%5E2

אני זוכר שבזמני [x] עבד [-( נו טוב.

לא כותבים ערך שלם במתנט ככה? http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Bx%5D :scratch: בכל מקרה, גם הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7Bx%7D%7B%7Cx%7C%7D-1 עם אותה סדרה (http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n=%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D) טובה, כי הגבולות החד צדדיים שלה באפס שונים (0 ו-2-). אני מקווה שהיא נחשבת "לא קבועה" מספיק.

שים לב שהפונקצייה שקבלת מתחילה לעלות במקום לרדת כמו שהמשוואה דורשת בדיוק בנקודה שהיא חותכת את ציר x (או ב-y=0). ...נראה שמהנקודה הזו הפונקצייה הזו כבר לא הפתרון (כי כאמור היא עולה במקום לרדת) והפתרון עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?x הוא הפתרון הטריוויאלי y=0. כלומר הפתרון הוא הפונקצייה הרציפה והגזירה ברציפות: http://www.codecogs.com/gif.latex?y=(1-%5Cfrac%7Bx%5E%7B3/2%7D%7D%7B3%7D)%5E2%5C,%20%5C,%5C,%5C,%7C%5C,%5C,%5C,%200%5Cleq%20x%20%5Cleq%203%5E%7B2%20/%203%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?y=0%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%20%5C,%5C,%5C,%7C%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%20x%20 זה גם עונה לך על סעיף ג' :)

בעיקרון אתה יכול לפצל את השורש ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B-x%7D ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B-y%7D, אבל כשאתה פותר עבור תנאי ההתחלה הנתון אתה רואה שהפתרון הזה לא יכול לקיים את תנאי ההתחלה. לא באמת מפתיע. אין לי משהו חכם יותר מלהגיד מלפתור כ"א מהאפשרויות ולראות אם אפשר לאחד את הפתרונות בדיעבד (בהנחה ששניהם פתרונות של הבעייה).

זה נראה לי הכיוון. פתרונות לא יכולים לחתוך זה את זה בתחום שבו המשוואה מקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות ולכן הפתרונות הקבועים y=0 ו-y=-1 הם חסמים לפתרון עם תנאי ההתחלה הנ"ל (משפט קיום ויחידות תמיד מדבר על פתרון במלבן, ואתה יכול לבחור מלבן שמכיל את y=0 ו-y=-1 ו-x בתחום ההגדרה ולהסתכל כל פעם על x מסויים שבו עובר הפתרון שמקיים את תנאי ההתחלה, לוודא שתנאי הקיום והיחידות מתקיים שם ולהסיק שהפתרון המבוקש חייב להישאר בין שני הפתרונות האלו ולא יכול לחתוך אותם).

בעזרת גזירה חלקית, כמובן. http://www.codecogs.com/gif.latex?g(u,v)=u-%5Csin(v) http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20u%7D=1 http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20v%7D=-%5Ccos(v)

אין לי מושג מי זה צ'רנוף, ובחיים לא לקחתי את הקורס.

זה בדיוק המעבר שמוכיח שהגבול אפס. מאי השוויון http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2(1-%5Cvarepsilon) אפשר להסיק ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x) (עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cx%7C) חסומה מלמעלה ע"י http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2(1+%5Cvarepsilon). מכיוון שהחסם הזה גדול בערכו המוחלט מהאגף הנגדי של האי השוויון, אפשר להסיק בפרט ש- http://www.codecogs.com/gif.latex?-x%5E2(1+%5Cvarepsilon) ומכיוון שכאמור http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cx%7C אפשר להחליף את x ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta באי שוויון והוא יישאר נכון. מכאן: http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cdelta%5E2(1+%5Cvarepsilon) או במילים אחרות: http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cf(x)-0%7C וזה בדיוק מה שצריך להראות כדי להוכיח שהגבול של f ב-0 הוא אפס. לכל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon' קיים http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta.

כן. אבל זה לא משנה שום דבר בהוכחה חוץ מסדר המילים בשני המשפטים האלו. תקנתי.

לגבי החישוב של הגבול, מהרגע שאתה יודע שהגבול קיים וחיובי ממש מותר לך להשתמש באריתמטיקה של גבולות כדי לקחת את הגבול על שני האגפים של כלל הנסיגה: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20a_%7Bn+1%7D=L=%5Clim_%7Bn%20%5Crightarrow%20%5Cinfty%7D%20(3-%5Cfrac%7B1%7D%7Ba_n%7D)=3-%5Cfrac%7B1%7D%7BL%7D כלומר: http://www.codecogs.com/gif.latex?L=3-%5Cfrac%7B1%7D%7BL%7D זו משוואה ריבועית ב-L וקל לפסול את אחד השורשים שלה (שקטן מ-1) ולהסיק ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?L=%5Cfrac%7B3+%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B2%7D