אודי

נתונים לך נקודה שבה המשטח עובר - http://www.codecogs.com/gif.latex?(5,0,2) - הגרדיינט למשטח בנקודה - http://www.codecogs.com/gif.latex?(-9,1,1) - והעובדה שהמשטח אינו מישור. בבניית המשטח רצוי להתחיל מקיום הדרישות לגרדיינט בנקודה ושהמשטח אינו מישור ורק אח"כ לודא שהמשטח עובר בנקודה, מכיוון שהגרדיינט נשלט ע"י הנגזרות והמעבר בנקודה ניתן להשגה ע"י הוספת קבוע שאינו משנה את הנגזרות. 1. נחפש פונקצייה http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y,z) שהיא סכום של חזקות בקואורדינטות שנותנת את הגרדיינט המבוקש, לדוגמא: http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y,z)=-0.9x%5E2+y+z כאשר בדקנו עבור כל קואורדינטה בנפרד את המקדם והחזקה הדרושים כדי לקבל את רכיב הגרדיינט המבוקש בנקודה שלנו, וודאנו שלפחות חזקה אחת תהיה שונה מהשתיים האחרות כדי שהמשטח לא יהיה מישור. נוח לבחור את החזקה של z כ-1 כדי שיהיה פשוט לבודד אותו אח"כ, אבל לא הכרחי. 2. עכשיו נבודד את z ונקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?z=0.9x%5E2-y כשנציב בשוויון את ערכי הנקודה נקבל באגף שמאל 2 ובאגף ימין 22.5. צריך להחסיר מאגף ימין 20.5 כדי שהמשטח יעבור בנקודה. מכאן התשובה הסופית היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=z=0.9x%5E2-y-20.5

4. ערך מוחלט הוא הנורמה, לא הנורמה בריבוע. http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,i) כן. זה ממש לא נורא, כי כל הפונקציות אקספוננציאליות. מה עוד, שהפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7Bit%7D וחזקותיה הטבעיות השונות מחזוריות ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Cpi ולכן אחרי שאתה מציב את z ו-dz ומכפיל יש רק איבר אחד באינטגרנד ללא אקספוננט שהאינטגרל עליו נותן משהו שונה מאפס. ...אבל הדרך הקצרה יותר תכלול כנראה שימוש במשפט השארית, אם למדת.

את מתבלבלת בין הקליפה הדקה לעבה. הקליפה הפנימית טעונה ב-Q1. המטען הכללי שלה שונה מאפס ומכיוון שהיא דקה, אין משמעות לאבחנה בין "בתוך הקליפה" ל"צד החיצוני". הקליפה החיצונית עבה ונייטרלית, סה"כ, ולכן אם יש מטען לצד הפנימי שלה הצד החיצוני שלה יהיה טעון במטען ההפוך. הצד הפנימי של הקליפה העבה טעון ב-Q1- כדי שהשדה בתוך הקליפה העבה יתאפס מחוק גאוס. הצד החיצוני של הקליפה העבה טעון ב-Q1 כדי שהמטען הכולל של הקליפה העבה יישאר אפס. הקליפה החיצונית והקליפה הפנימית אינן אותו מוליך. הן לא מחוברות. עניתי שכן מפני שחשבתי שדברת על הצד הפנימי והחיצוני של הקליפה העבה (ולא על הקליפה הפנימית והחיצונית). לא הבנתי מדוע תטעני שהקליפה החיצונית והפנימית הן אותו מוליך כשנתון בשאלה שהן לא מחוברות ומדוע תטעני שהן טעונות באותו מטען כשנתון שהחיצונית ניטרלית והפנימית טעונה ב-Q1.

כן. המטען הכולל של הקליפה העבה הוא אפס. אם הצד הפנימי שלה טעון ב-Q1- אז הצד החיצוני צ"ל טעון ב-Q1+ (המטען המנוגד לו).

1. השימוש בחוק גאוס לא מוגבל למצבים שיש בהם סימטריה מלאה ושדה קבוע על המעטפת. במצבים האלו את יכולה לחשב את השטף ישירות בנוחות מהאינטגרל, אבל זה לא אומר שאם אין סימטריה / השדה לא קבוע על המעטפת אי אפשר להשתמש בחוק גאוס. במקרה הזה את בכלל לא צריכה לחשב את האינטגרל כי התשובה ניתנת מיידית מהמטען, כלומר האגף השני בחוק גאוס. 2. את לא מתעלמת מהמטען הנקודתי. את מחשבת את המטען הכולל שנמצא בתוך קליפה כדורית ברדיוס a<r<b, שיש לו תרומה מהמטען הנקודתי ומצפיפות המטען של הקליפה. 3. אם תסתכלי על מעטפת כדורית שמקיפה את המטען הנקודתי תראי שהקובייה שלנו חותכת שמינית ממנה (מכיוון שאפשר לשכן שמונה קוביות סה"כ סביב קודקוד אחד של הקובייה). לכן השטף דרך הקובייה הוא שמינית מהשטף דרך המעטפת הכדורית - שניתן ע"י חוק גאוס. 4. התפלגות המטען אחידה גם על מעטפת c וניתן לחשב אותה, ולכן תשובה א' לא נכונה. מכיוון שהמטענים על דפנות הכדורים המוליכים הם Q1- ו-Q2- בהתאמה והכדור המוליך נייטרלי המטען שנשאר למעטפת החיצונית שלו הוא Q1+Q2, והוא מתפלג עליה באופן אחיד. ראי הסבר נוסף בשרשור הזה. 5. לא. Q1 שונה מאפס. הסיבה שבין R2 ל-R3 אין שדה היא שהמטען על הצד הפנימי של הקליפה העבה הוא Q1-. אבל המטען על הצד החיצוני של הקליפה העבה הוא Q1+ (כי סה"כ הקליפה ניטרלית) ולכן השדה מחוץ לקליפה העבה מתאים למטען נקודתי Q1. 6. כמו שאמרתי, המטען על הצד הפנימי של הקליפה העבה הוא Q1- (כדי שהשדה בתוך המוליך יהיה אפס, המטען בתוך מעטפת כדורית שעוברת בתוך הקליפה העבה צריך להיות אפס).

הפסיק מסמן נגזרות חלקיות: http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_r%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20r%7D ה-overbar מסמן צמוד קומפלקסי. http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C=%5Csqrt%7Bf%5Cbar%7Bf%7D%7D וכן, נכון, חסר לי ריבוע שם. אני גוזר בעצם את הנורמה בריבוע. :oops:

ניתן לקבל ממשוואות קושי רימן את הקשר הבא בין גזירה ב-r ותטא: http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_r=-%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df,_%7B%5Ctheta%7D פשוט תגזור את http://www.codecogs.com/gif.latex?f=u+iv לפי r ותציב את המשוואות. כעת נגזור את המשוואה: http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C%5E2%20=%20f%5Cbar%7Bf%7D=C%5E2 לפי r. מאגף ימין מתקבל אפס. באגף שמאל מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C%5E2,_r=f,_r%5Cbar%7Bf%7D+f%5Cbar%7Bf%7D,_r=-%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D+%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=0 עכשיו נצמצם i/r ונעביר את האיבר הראשון באגף שמאל אגף. קבלנו: http://www.codecogs.com/gif.latex?f%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D . אבל מפה נובע ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?0=%7C%7Cf%7C%7C%5E2,_%7B%5Ctheta%7D=f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D+f%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=2f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D וזה אומר או שהצמוד של f מתאפס (ואז f היא אפס זהותית בתחום) או שהנגזרת של f לפי תטא מתאפסת, ואז נובע שגם הנגזרת של f לפי r מתאפסת - ומכאן f פונקציה קבועה.

מי אמר שזה אמור להיות לא מפתיע? אולי אם ידעת מראש ששדה של טבלה אינסופית דקה קבוע. יש פה שני אפקטים שמבטלים זה את זה - אם תבחרי אלמנט נפח טעון רנדומי מהטבלה, נניח אלמנט שלא נמצא על ציר x, ותחשבי את השדה שלו בנקודה מסויימת על ציר x - ככל שאת מתרחקת מהטבלה השדה של האלמנט הולך ונחלש מצד אחד ומצד שני יותר ממנו הוא בכיוון x (כלומר יותר ממנו נסכם ולא מתבטל עם השדה של האלמנט במיקום המנוגד לו בטבלה). כשאת עושה את האינטגרציה על כל הטבלה את מקבלת ששני האפקטים מבטלים זה את זה והשדה בנקודה מסויימת קבוע ולא תלוי ב-x. ההבדל בין שני המקרים לא נעוץ באגף של השדה בחוק גאוס אלא באגף של המטען הכולל. מהרגע שאת מסתכלת על השדה בתוך הטבלה המטען שיש לך בתוך מעטפת גאוסית תלוי ב-x, ומכאן מתקבלת התלות של השדה ב-x. לעומת זאת, במקרה 1, מעטפת גאוסית שחוצה את כל הטבלה מכילה מטען שאינו תלוי ב-x אלא ב-d ובצלע התיבה בכיווני y ו-z בלבד. התלות בצלעות בכיווני y ו-z מתבטלת בזכות האגף של השדה ואת נשארת עם שדה קבוע (d פרמטר קשיח של הטבלה).

שפיזור המטען לא תלוי ב-r בשום אופן, ישיר (דרך הפונקצייה) או "עקיף" (דרך הסימטריה הגיאומטרית של הבעייה. אני כותב עקיף במרכאות כי בעצם גם זה ישיר). לדוגמא, צפיפות מטען קבועה בכל המרחב (עד אינסוף) היא בעייה סימטרית לחלוטין ב-r. ...הדוגמא הזו ממחישה מדוע את לא נתקלת בהרבה בעיות כאלו.

העקום שלך גם לא עובר בנקודה (בפרט, אם אני מציב t=1 בפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t) אני לא מקבל 2-) וגם לא נותן את המשיק המתאים (ערכי y ו-z לא כרצוי). אסטרטגיה מומלצת - כדאי להתאים קודם כל את המשיק (ולוודא שהעקום הוא לא קו ישר) ורק אח"כ להוסיף או לחסר את הקבועים המתאימים מכל קואורדינטה כדי לודא שהעקום עובר בנקודה, מכיוון שהקבועים האלו לא ישפיעו על המשיק. למשל, אם נרצה שב-t=1 יתקבל המשיק המתאים, אזי הפונקציות: http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t)=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dt%5E6 http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t)=t%5E2 http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t)=t%5E3 מתאימות ולא נותנות קו ישר. כדי לודא שהעקום עובר בנקודה המתאימה עבור t=1 אפשר להוסיף או להחסיר מכל פונקציה קבועים שלא משפיעים על המשיק: http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t)=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dt%5E6+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t)=t%5E2-3 http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t)=t%5E3-3

1. למה פעם זה תלוי רק ב-R ופעם ב-R ותטא? כי זה מה שנתון בשאלה. אין סיבה עמוקה יותר. כמובן שאם הצפיפות תלוייה גם בתטא אז אין סימטריה בתטא בבעייה והשדה החשמלי יהיה תלוי גם בתטא, ולא רק ב-R. 2. אם צפיפות המטען קבועה על כל הגליל השדה עדיין יהיה תלוי ב-r, מכיוון שהגליל עצמו הוא צורה גיאומטרית שאין לה סימטריה ב-r (בפרט, הוא מסתיים ב-r סופי ואיתו גם צפיפות המטען הקבועה - היא תלוייה באופן עקיף ב-R!). 3. כן. הדיסקה עצמה סימטרית בתטא (אם תסובבי אותה בזווית כלשהיא לא תבחיני בהבדל), ומכיוון שגם צפיפות המטען אינה תלוייה בתטא הסימטריה הזו לא נשברת והשדה תלוי ב-z ו-r בלבד. 4. בגדול כן, אם את לוקחת בחשבון שהתלות של השדה החשמלי במשתנים מתבטאת גם בצורה הגיאומטרית שיש לך. למשל, במקרה של הגליל האינסופי שטעון בצפיפות אחידה, יש תלות ב-R שנובעת מהצורה של הגליל למרות שהשדה בתוך הגליל (ב-r<R) קבוע.

האיבר הכללי של b לא יעזור לך. אתה צריך להראות שכל הוקטור הוא קומבינציה ליניארית של העמודות. התשובה מתקבלת מסכימה של כל השורות. אתה יודע שהאיברים בוקטור b מקיימים: http://www.codecogs.com/gif.latex?A_%7B1,1%7Dx_1+A_%7B1,2%7Dx_2+...+A_%7B1,n%7Dx_n=b_1 http://www.codecogs.com/gif.latex?A_%7B2,1%7Dx_1+A_%7B2,2%7Dx_2+...+A_%7B2,n%7Dx_n=b_2 . . http://www.codecogs.com/gif.latex?A_%7Bm,1%7Dx_1+A_%7Bm,2%7Dx_2+...+A_%7Bm,n%7Dx_n=b_m עכשיו, אם אתה רוצה לבנות את הוקטור b מהאיברים שלו, אתה צריך להכפיל כל שורה בוקטור העמודה המתאים (וקטור שמכיל 1 במקום המתאים לאינדקס השורה ואפס בשאר המקומות) ולסכום. אבל אז מה שתקבל הוא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BA%7D_%7B1%7Dx_1+%5Cvec%7BA%7D_%7B2%7Dx_2+...+%5Cvec%7BA%7D_%7Bn%7Dx_n=%5Cvec%7Bb%7D כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BA%7D_j מסמן את עמודה j של המטריצה A.

משהו לא בסדר בנוסחה שלך מכיוון ש-x הוא לא זווית. בכל מקרה, פותרים באותו אופן בדיוק שבו חשבנו את הנפח של הפרוסה מהכדור. יש לך גליל אינפיטיסמלי שהרדיוס של הבסיס שלו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?r=x%5Csin%20%5Ctheta והגובה שלו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?h=dx%20%5Ccos%20%5Ctheta (אי אפשר לקחת את היתר dx כגובה, כי שמשאיפים את גודל הגליל לאפס הוא בכלל מקביל לבסיסים). לכן הנפח הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?dV=%20%5Cpi%20r%5E2%20h%20=%20%5Cpi%20x%5E2%20%5Csin%5E2%20%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Ctheta%20dx ...וזה נותן את התוצאה הנכונה לנפח כל החרוט אם אתה עושה אינטגרציה עבור x בין 0 ל-L ומציב http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin%20%5Ctheta%20=%20%5Cfrac%7BR%7D%7BL%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%20%5Ctheta%20=%20%5Cfrac%7BH%7D%7BL%7D כאשר R הוא רדיוס הבסיס ו-H הגובה.

קודם כל, אם נסמן את כיוון z ככיוון ציר הסימטריה של המסגרת, ברור משיקולי סימטריה שהכיוון היחידי שבו יכול להיות שדה הוא הכיוון הזה, בכיוון ההפוך לכיוון שבו נמצאת המסגרת. בנוסף ברור (מאותם שיקולים) שהתרומה של כל צלע לשדה בכיוון הזה זהה, אז מספיק לחשב את רכיב z של השדה שנתרם ע"י צלע אחת ואז אפשר להכפיל אותו ב-4 ולהגיע לתשובה הסופית. נניח שאתה מחשב את השדה בנקודה שנמצאת במרחק r ממרכז הריבוע על ציר הסימטריה. נבחר את ראשית הצירים כך שהיא נמצאת על מרכז הצלע של הריבוע שאת התרומה שלה אנחנו מעוניינים לחשב וציר x מקביל לכיוון הצלע. אזי הקוארדינטות של הנקודה שבה מחשבים את השדה הן http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,a/2,r). נסתכל על אלמנט אורך קטן מצלע הריבוע שנמצא בנקודה (x,0,0). המטען שלו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?dq=%5Clambda%20d%20x והמרחק שלו מנקודת הייחוס שלנו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?R=%5Csqrt%7Bx%5E2+a%5E2/4+r%5E2%7D לכן סה"כ התרומה שלו לשדה היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?dE_z=%5Cfrac%7Bkdq%7D%7BR%5E2%7D%5Ccos%5Cphi=%5Cfrac%7Bk%5Clambda%20dx%7D%7Bx%5E2+a%5E2/4+r%5E2%7D%5Ccos%5Cphi=%5Cfrac%7Bk%5Clambda%20r%20dx%7D%7B(x%5E2+a%5E2/4+r%5E2)%5E%7B3/2%7D%7D כאשר הוספנו את פקטור הקוסינוס (http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%5Cphi=r/%5Csqrt%7Bx%5E2+a%5E2/4+r%5E2%7D) כדי לחשב את רכיב z של התרומה בלבד. עכשיו צריך לעשות אינטגרציה על הביטוי עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?-a/2%20%5Cleq%20x%20%5Cleq%20a/2 ולהכפיל את התוצאה ב-4. בהצלחה.

השאלה היא לגבי השדה במרכז הדיסקה. התרומה של מטען dq שנמצא בכיוון מסויים ביחס לראשית לשדה בראשית היא בכיוון ההפוך לאותו כיוון, ולכן המינוס. מטען dq שנמצא מימין לראשית ייצור בראשית שדה שמאלה; מטען dq שנמצא מעל הראשית ייצור בראשית שדה למטה. הסימנים לא חשובים - הם מובלעים בתוך הקבועים http://www.codecogs.com/gif.latex?q_2 ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?q_1, שיכולים להיות חיוביים או שליליים. אבל את לא באמת צריכה לדעת את הסימן שלהם. את יכולה לבטא את השדות ששני המטענים מפעילים על המטען השלישי ולדרוש שהסכום שלהם יתאפס.

א. אומרים טבעת ולא דיסקה ב. אומרים טבעת אבל לא נותנים שני רדיוסים, חיצוני ופנימי. מכאן שהטבעת דקה מאוד וניתן להניח שהיא חד ממדית ג. הציור.

ברמת העיקרון כן, ספציפית בתרגיל הזה יוצא שרכיב y מתאפס (ואפשר לדעת מראש שהוא יתאפס מהסימטריה של פיזור המטען בציר הזה), אז את יכולה לוותר על החישוב שלו ולחשב רק את רכיב x.

הבעייה דו ממדית, אני חייב לקחת בחשבון את הפירוק של השדה לשני רכיבים. אולי הייתי יכול לדעת מראש שרכיב y יתאפס מסימטריה (ואז פשוט לא הייתי מחשב אותו אלא רק את x), אבל אי אפשר להתעלם מהכיוון של השדה כי מקבלים תוצאה שגוייה. נכון.

- את שאלת הפונקציות הוקטוריות את אמורה לפתור ע"י הצבה, להבנתי. קחי ארבע נקודות סימטריות ביחס לראשית, אחת לכל רבע (הכי נוח -http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,1),%20(1,%20-1),%20(-1,1),%20(-1,-1)) והציבי אותן בכ"א מהשדות. השווי בין כיווני רביעיות הוקטורים שקבלת לאיורים של כל שדה. - אני לא מבין מה עשית בשאלה של הדיסקה. אני מבין את הדרך, לא את הביטוי שהצבת באינטגרנד. למה r/R מופיע פעמיים? להבנתי מהפרדת השדה לרכיבים נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BE%7D=%5Cintop_0%5E%7B2%20%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5ER%20%5Cfrac%7Bk%20%5Csigma_0%20%5Cfrac%7Br%7D%7BR%7D%20%5Csin%20%5Cfrac%7B%5Ctheta%7D%7B2%7D%7D%7Br%5E2%7D%20r(-%5Ccos%5Ctheta%5Chat%7Bx%7D,-%5Csin%5Ctheta%5Chat%7By%7D)%5C,dr%20d%20%5Ctheta%20=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7Dk%5Csigma_0%20%5Chat%7Bx%7D - בשאלה עם שתי הטבעות אני לא מבין מאיפה מגיעה האינטגרציה לפי r (וה-r הנוסף במונה). הדיסקות פה לא מלאות - המטען נמצא על ההקף בלבד ולכן צפיפות המטען אורכית ולא משטחית והאינטגרציה היא אך ורק בכיוון תטא. כמו כן, את יודעת שהשדה בכיוונים x ו-y מתאפס מסימטריה ולכן מראש מחשבת רק את רכיב z של כל טבעת (מכפילה בפקטור הקבוע http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%5Cphi=%5Cfrac%7BD%7D%7B%5Csqrt%7BR%5E2+D%5E2%7D%7D. נובע עבור טבעת אחת: http://www.codecogs.com/gif.latex?E=E_z=%5Cintop_0%5E%7B2%20%5Cpi%7D%5Cfrac%7BkQ%7D%7B2%5Cpi%20R(R%5E2+D%5E2)%7D%5Ccos%5Cphi%C2%A0%20%5C,Rd%5Ctheta=%5Cfrac%7BkQD%7D%7B(R%5E2+D%5E2)%5E%7B3/2%7D%7D

שני התחומים האלו שונים. באחד x חיובי ובשני אי חיובי. תחליט. בכל מקרה, לפי בחירת התחומים שלך אתה אמור להשתמש ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Carctan(%5Cfrac%7By%7D%7Bx%7D) כי הפונקציה השנייה לא רציפה/גזירה על פס באמצע התחום שלך (להבדיל מהראשונה שגזירה חד"צ בקצה התחום שלך, שזה עוד קביל, נניח).

שכחתי את העריכה האחרונה לפני שיצאתי מהבית - הגובה של הגליל הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?h=R%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta. ואז זה יוצא באינטגרציה מאפס עד פאי. כדי להבין למה זה הגובה של הגליל אתה צריך להסתכל על חתך רוחב של הכדור, על משולש אינפיטיסימלי בראש הפרוסה. היתר במשולש הזה הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?Rd%5Ctheta (קטע ישר בקירוב במקרה האינפיטיסימלי) והניצב התחתון הוא הגובה המבוקש, כלומר קטע ישר שמחבר בין הבסיסים. הזווית מולו היא תטא (עם קצת מאמץ ונפנוף ידיים אפשר לראות, אם כי זה מסתמך על משולשים אינפיטיסמלים מוזרים שבהן בין השאר יש משולש שווה שוקיים ששתי הזוויות בו הן 90 בקירוב). כשאתה משאיף את http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Ctheta לאפס היתר לא יכול להיות הגובה של הגליל כי הוא מתמזג עם אחד הבסיסים, ולכן הערך הקודם שספקתי היה שגוי. כפיצוי על העריכות הרבות, קבל דרך פחות כורדית להגיע לאותה תוצאה: אלמנט נפח בקואורדינטות כדוריות הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?r%5E2%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5C,%20dr%20d%5Ctheta%20d%5Cphi. עבור הפרוסה שלך, r נע בין http://www.codecogs.com/gif.latex?R%5Ccos%5Ctheta ל-R ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi בין אפס לשני פאי. זה נותן את אותה תוצאה לנפח הפרוסה. עריכה: אה, ולדעתי בשטח שלך חסר R אחד. השטח צ"ל פרופורציוני ל-R בריבוע (עוד לפני האינטגרציה לפי תטא).

כן כן כן. אתה צודק. הייתה לי טעות בגובה של הגליל. עכשיו זה עובד.

אני רואה שהייתה לי טעות בביטוי כי גובה הגליל הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?Rd%5Ctheta ולא http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Ctheta. עכשיו זה צריך לעבוד. 8-[

ההנחה שמובלעת בחישוב השטח שלך היא שהפרוסה דקה עד כדי כך שניתן להתייחס אליה כאל גליל (שרדיוס בסיסו http://www.codecogs.com/gif.latex?r'=R%20%5Csin%5Ctheta וגובהו http://www.codecogs.com/gif.latex?%20h%20=%20R%5Csin%5Ctheta%20d%5Ctheta ) אם משתמשים בהנחה הזו אז קל לחשב את נפח הגליל הזה. הוא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi%20r'%5E2h=%5Cpi%20R%5E3%20%5Csin%5E3%5Ctheta%20d%20%5Ctheta.

כן, זו הייתה הכוונה. יש אקראיות כי הוקטורים הניצבים נמצאים על מישור ניצב ולכן יש אינסוף כאלו