אודי

זה חישוב סטנדרטי של אינטגרל קווי מסוג ראשון dl הוא אלמנט אורך אינפיטיסימלי לאורך העקום. הסיבה שהוא שווה לביטוי הזה נובעת ממשפט פיתגורס. ממשפט פיתגורס: http://www.codecogs.com/gif.latex?dl%20=%20%5Csqrt%7B%20dx%5E2+dy%5E2+dz%5E2%7D ואם אני רוצה את הביטוי הזה כפונקציה של dt אני פשוט מכפיל את השורש ב-dt ומחלק את האברים מתחת לשורש ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?dt%5E2 כדי לקבל את התוצאה שלעיל. אם זה לא היה ברור, http://www.codecogs.com/gif.latex?x'(t) היא הנגזרת של http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t) לפי t: http://www.codecogs.com/gif.latex?x'(t)%20%5Cequiv%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D

לא ברור למה מס' 2 הוא מינוס פאי או למה מס' 3 הוא מינוס פאי? - מס' 2 הוא מינוס פאי כי השלמתי חצי סיבוב עם כיוון השעון מסביב לראשית. - מס' 3 הוא מינוס פאי כי בין נקודת החיתוך השמאלית ביותר לנקודת החיתוך הבאה על העקום (יוצאת השלישית מצד שמאל) אני מפסיק לנוע עם כיוון השעון ומתחיל לנוע נגד כיוון השעון, ולכן הזווית יורדת מתחת למינוס פאי ואז עולה שוב למינוס פאי.

אני יודע שהתכוונת רק לציין את הנושא בכותרת, אבל ספציפית השדה הזה אינו משמר. אפשר לבדוק ולראות ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?F_%7Bx,y%7D%20%5Cneq%20F_%7By,x%7D. אם השדה היה משמר, כלומר נובע מפונקציית פוטנציאל, שתי הנגזרות המעורבות שלה היו שוות. להבנתי הפתרון של האינטגרל הזה נעוץ בחישוב ישיר של האינטגרל ע"י מעבר לקואורדינטות פולריות. מכיוון ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?x%20=%20r%20%5Ccos%20%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?y%20=%20r%20%5Csin%20%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?dx%20=%20%5Ccos%20%5Ctheta%20d%20r-r%20%5Csin%20%5Ctheta%20d%20%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?dy%20=%20%5Csin%20%5Ctheta%20dr%20+%20r%20%5Ccos%20%5Ctheta%20d%20%5Ctheta מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?I_k=%5Cintop%5Cfrac%7B-ydx+xdy%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D=%5Cintop%7B1d%5Ctheta%7D=%5CDelta%20%5Ctheta מכיוון שהמסלול סגור אבל תטא כמובן עולה מונוטונית בהתקדמות נגד כיוון השעון, התוצאה היא שני פאי כפול מספר הסיבובים שהשלמנו סביב הראשית נגד כיוון השעון. במקרה של האיור הזה, אחד, אני מאמין. (אם השלמנו סיבובים עם כיוון השעון התוצאה היא מינוס מספר הסיבובים כפול שני פאי) ...קצת קשה לעקוב אחרי הזוויות פה, אבל המפתח הוא להסתכל על נקודות החיתוך עם ציר x בכל פעם ולראות לאילו זוויות הן מתאימות. במקרה של המסלול הזה, כשאני מתחיל ומסיים בנקודת החיתוך הימנית ביותר: 1. אפס 2. מינוס פאי 3. מינוס פאי 4. אפס 5. פאי 6. שני פאי 7. שני פאי

מה שאתה צריך לעשות הוא אינטגרל על ריבוע המרחק מהראשית לאורך העקום: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop(x%5E2(t)+y%5E2(t)+z%5E2(t))%5C,dl אחרי שאתה מציב את ההצגה הפרמטרית של הישר ובהתחשב בכך ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2(t)+y%5E2(t)+z%5E2(t)=16%5Ccos%5E2%20t%20+%2016%5Csin%5E2%20t%20+%209t%5E2=16+9t%5E2 http://www.codecogs.com/gif.latex?dl%20=%20%5Csqrt%7Bx'(t)%5E2+y'(t)%5E2+z'(t)%5E2%7D%5C,dt=%5Csqrt%7B16%5Csin%5E2%20t+16%5Ccos%5E2%20t%20+%209%7D%5C,dt=5dt אתה מקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_0%5E%7B2%20%5Cpi%7D%205(16+9t%5E2)%5C,dt=%5Cintop_0%5E%7B2%20%5Cpi%7D%2080+45t%5E2%5C,dt וזה אינטגרל פשוט.

אוקי, אני אדייק בדברי: טכנית, כמובן שלתוצאה הזו יש ממדים של נפח כי היא אינטגרל על משטח. היא סוכמת את הנפח שכלוא מתחת לפונקציה הזו על הטבעת, כאשר לחלקים השליליים של הפונקצייה יש תרומה שלילית לנפח. אבל כשמדברים על "נפח" במובן של "תוצאה שחייבת להיות חיובית", מדברים על אינטגרל על תחום תלת ממדי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20%5Cintop%20%5Cintop%201%5C,dxdydz. ואז זה אכן נפח במובן הגיאומטרי הפשוט.

מה הבעייה עם תוצאה שלילית? נפח זה לא.. אחרי הגזירה, האינטגרנד שאני מקבל הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7By%5E2-7x%5E2%7D%7B(x%5E2+y%5E2)%5E5%7D אם תסתכל על תחום האינטגרציה שלך, שהוא טבעת סימטרית ב-x/y סביב ראשית הצירים, תראה שברוב התחום הזה האינטגרנד שלילי, לא חיובי, ולכן לא בלתי צפוי שגם התוצאה של האינטגרל תהיה שלילית.

הבנתי שאתה מחפש אינטואיציה, ועניתי שאין מה להבין את ההבדל הזה "אינטואיטיבית", מכיוון שמקור התוצאה (בשני המקרים) מתמטי וזו גם סיבת ההבדל. מה שאתה עושה מקביל בעיני ללבקש אינטואיציה שתסביר למה http://www.codecogs.com/gif.latex?1%20%5Cneq%202... זו הקומבינציה של הפרמטרים שמאפסת את פונקציית הפוטנציאל הנ"ל על המשטח המוארק. היא שונה מהקומבינציה שמאפסת את הפונקציה במקרה של מטען נקודתי וטבעת כי פונקציית הפוטנציאל שונה והמשטח המוארק שונה (שים לב למשל שבמקרה של מטען/מטען דמות נקודתי הפוטנציאל לא מתאפס על גליל אלא רק במישור שבו המטען נמצא). למה אתה צריך אינטואיציה שתסביר לך שתיל אינסופי שונה גיאומטרית ממטען נקודתי ושגליל אינסופי שונה מטבעת? למה בכלל שהם יתנהגו אותו הדבר אינטואטיבית? איזו אינטואציה יש לך למקרה של מטען נקודתי וטבעת מוארקת?

אוקי, אז קודם כל פה זה גליל אינסופי ולא טבעת. אין בהסבר משהו דרמטי יותר מאשר שהתלות של הפוטנציאל של מטען נקודתי במרחק שונה מזו של תיל. הפוטנציאל של מטען נקודתי הולך כמו http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D ולא כמו http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cln%20r. כשאתה עושה את החישוב המקביל לפוטנציאל של המטען ומטען הדמות הנקודתיים על המעגל אתה מקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cvarphi=%20%5Cfrac%7Bkq%7D%7B%5Csqrt%7BR%5E2-2dx+d%5E2%7D%7D+%5Cfrac%7Bkq'%7D%7B%5Csqrt%7BR%5E2-2ax+a%5E2%7D%7D ואתה יכול לראות שעבור http://www.codecogs.com/gif.latex?a=%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7Bd%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?q'=-q%5Cfrac%7BR%7D%7Bd%7D אתה מקבל התאפסות זהותית על המעגל. יש לך פונקציות שונות (http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D / http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cln%20r ) שסכומן מתאפס על משטחים שונים (טבעת/ מעטפת גלילית אינסופית). ברור שהתוצאות לפרמטרים יהיו שונות.

אתה צריך לעשות טרנספורמציית קואורדינטות מתאימה שבה התחום הזה יהיה נוח. אם תגדיר: http://www.codecogs.com/gif.latex?u=3x+4y+7 http://www.codecogs.com/gif.latex?v=2x+y+3 הרי שבקוארידנטות האלו התחום שלך הוא פשוט מעגל היחידה. השטח כמובן לא ייצא השטח של מעגל היחידה (http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cpi) אלא השטח של מעגל היחידה מוכפל ביעקוביאן של טרנספורמציית הקואורידינטות.

הגיאומטריה לא ברורה לי. מהתיאור שלך נראה שאין לבעייה הזו סימטריית שיקוף מתאימה לשיטת הדמויות. אם התיל עובר דרך מרכז הטבעת, זה ברור - אבל אם הוא נמצא במרחק d מהקצה שלה, בין אם היא מקבילה לו ובין אם היא מאונכת אליו, לא ברור איך תיל דמות מסוגל לאפס את הפוטנציאל על הטבעת. יש מצב לשרטוט?

למה אתה חושב שיש בעייה בדרך שלך? פתרת את האינטגרל עד הסוף? אני מקבל http://www.codecogs.com/gif.latex?I=32A%5E2+21%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7DAB+4B%5E2

התחום שמוגדר לך בשאלה נראה מעורפל, אבל אתה יכול לראות (באמצעות העברת אגף והשלמה לריבוע) שהתחום הזה הוא פשוט העיגול: http://www.codecogs.com/gif.latex?(x-1)%5E2+y%5E2%20%5Cleq%201 כלומר יש לך עיגול ברדיוס 1 ובצפיפות אחידה שמסתובב סביב הישר y=2. אתה יודע איך לכסות את התחום הזה עם אינטגרל כפול באמצעות מעבר לקאורדינטות פולריות: http://www.codecogs.com/gif.latex?x=1+r%20%5Ccos%20%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%20r%20%5Csin%20%5Ctheta וזו טרנספורמציית קואורדינטות שהיעקוביאן שלה הוא r. מכאן: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20%5Cintop(%20y-2)%5E2%20%5Crho%20(x,y)%20dx%20dy%20=%5Cintop_0%5E%7B1%7D%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D(r%5Csin%20%5Ctheta%20-%202)%5E2%5Ccdot1%5Ccdot%20r%20dr%20d%5Ctheta http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20%5Cintop(y-2)%5E2%20%5Crho%20(x,y)%20dx%20dy%20=%5Cintop_0%5E%7B1%7D%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D(r%5E3%20%5Csin%20%5E2%20%5Ctheta%20-%204r%5E2%20%5Csin%20%5Ctheta%20+4r%20)dr%20d%5Ctheta מכאן המשך החישוב שגרתי. אתה יודע שהתוצאה הסופית תהיה חיובית כי האיבר היחידי באינטגרנד שעשויה להיות לו תרומה שלילית (השני) נותן לך אפס מהמחזוריות של קוסינוס.

אתה צריך לרשום את האילוץ בצורת פונקצייה שמתאפסת עבור הארגז המבוקש. אם מחיר הארגז הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?P(x,y,z)=2xy+2xz+2yz אז האילוץ הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y,z)=P(x,y,z)-24=0 http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x,y,z)=2xy+2xz+2yz-24

אתה אמור לגזור את השוויון F(x,y)=-9 פעמיים לפי x. - כשאתה גוזר את השוויון פעם אחת, אתה מקבל משוואה שמכילה את המשתנים x,y ואת הנגזרת הראשונה http://www.codecogs.com/gif.latex?y'. אתה יכול להציב את ערכי x,y בנקודה ולחלץ את http://www.codecogs.com/gif.latex?y' - כשאתה גוזר את השוויון פעמיים, אתה מקבל משוואה שמכילה את המשתנים x,y ואת הנגזרות http://www.codecogs.com/gif.latex?y',y''. אתה יכול להציב את ערכי x,y ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?y' בנקודה ולחלץ את http://www.codecogs.com/gif.latex?y''. כמובן שאתה מציב רק בסוף כל שלב, אחרי שגזרת, ולא גוזר את ההצבה בנגזרת הראשונה או משהו כזה.

לא יצא לך הגרדיינט שיצא לי?

כדי למצוא את הנורמל למישור אתה צריך לחשב את הגרדיינט למשטח בנקודה. זה נראה מסובך כי המשטח מגעיל, אבל בעצם זה נורא פשוט. מכיוון שמה שיש לך בעיקרון שם זה פולינום ב-x,y ו-z והנקודה שבה אתה מחשב את הגרדיינט היא הראשית, ברור שהאיברים היחידים שיתרמו לגרדיינט הם האיברים הליניארים בקואורדינטות x,y,z, כי כל האיברים האחרים יתאפסו ברגע שתציב את הנקודה. קל לראות שיש רק שני איברים כאלו, 3y ו-z-, ולכן הגרדיינט המבוקש הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?(0,3,-1). מכאן קל למצוא את משוואת המישור המשיק מהדרישה שזה הנורמל למישור והוא עובר בראשית. מקבלים http://www.codecogs.com/gif.latex?3y-z=0

עריכה: Nevermind

טעית בטור טיילור של קוסינוס. המקדם של http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2 שם הוא מינוס חצי ולא מינוס רבע.

הסברתי בחישוב על אטה. אם לא הבנת משהו ממנו, שאל שאלה ספציפית.

קראת את ההסבר על http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ceta? לא. אני לא עושה שום דבר להתפלגות. 68% מהמדידות נופלות בטווח http://www.codecogs.com/gif.latex?%5B-%5Csigma,%5Csigma%5D, או http://www.codecogs.com/gif.latex?%5B-1,1%5D אם אני מחלק ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma כדי לתאר את הטווח ביחידות של סטיית תקן. כשאני עושה לערכים בקטע הנ"ל ערך מוחלט אני מקבל ערכים מהטווח http://www.codecogs.com/gif.latex?%5B0,%5Csigma%5D, או http://www.codecogs.com/gif.latex?%5B0,1%5D אם אני מחלק ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma. (חסרנו בחישוב את הממוצע של ההתפלגות)

לפי מיטב הבנתי, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha לא תלוי ב-x (והוא לא) אז אין שום הבדל בינו לבין y. פשוט שם שונה אתה יכול לייצג כל זוג משתנים בלתי תלויים ע"י מערכת קואורדינטות קרטזית.

א. המשפט המקורי אומר שבהתפלגות גאוסיאנית 68% מהמדידות נמצאות באיזור של http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Csigma מסביב לממוצע. הוא לא אומר שהמרחק בין שתי מדידות אקראיות בהתפלגות קטן או שווה מ-http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Csigma ב-68% מהמקרים. כדי למצוא את האחוז הנכון למשפט השני אתה צריך לעשות חישוב הסתברותי מסובך יותר. ב. שים לב שבגלל הערך המוחלט במונה של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ceta, הקטע של http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Csigma מסביב לממוצע, שבלי הערך המוחלט מתאים למספרים בטווח 1- עד 1 ביחידות של סטיית תקן, יתן לך מספרים בין 1 ל-0. ג. יש פה בעייה מהותית יותר. אני חושד מהניסוח שלך שאתה לא מבין את מהות המספר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ceta, אז מצורף הסבר. בספוילר כי הוא ארוך.

1. אתה מדבר על הניסוי של תנודות ללא ריסון, נכון? אתה יכול בתיאוריה לקחת את האמפליטודה הראשונה ואת השגיאה שלה (קאונט אחד), אבל כנראה שזה יניב התאמה טובה פחות בין התיאוריה לתוצאות. למרות שאין ריסון מגנטי, לפעמים יש בכל זאת חיכוך מכני קטן. המטרה של הניסוי הספציפי הזה היא לא שתתביית על הסטייה הקטנה הזו מהתיאוריה אלא שתראה שבגדול כן יש התאמה, ולכן מעדיפים שתקח ממוצע על האמפליטודות ולא את האמפליטודה הראשונה. 2. היית אמור להבין את זה בניסוי 3, הפעם הראשונה שבה ביצעת גזירה נומרית... לא משנה. אני אתן פה הסבר שהוא די מעבר לרמה שנדרשת במעבדה, אבל הכי קל להבין את זה מההסבר המלא ואז לתמצת אותו למה שצריכים. כשאתה מקרב נגזרת באמצעות הפרש גודל נגזר חלקי הפרש זמנים, יש לך שני סוגים של תרומות לשגיאה: א. שגיאת דיסקרטיזציה - השגיאה שנובעת מהשימוש בהפרשים על קטעים סופיים בחישוב במקום בגבול התיאורטי שבו הקטעים שואפים לאפס. השגיאה הזו עשוייה להיות משמעותית אם הפונקצייה לא ליניארית בין שתי נקודות הזמן שלקחת. התרומה של השגיאה הזו לשגיאה בנגזרת קטנה ככל שהקטע שאתה לוקח קטן יותר. מצד שני, אם הפונקציה כמעט ליניארית בקטע שלקחת התרומה של השגיאה הזו שואפת לאפס גם אם הנקודות רחוקות אחת מהשנייה, מכיוון שעבור פונקצייה ליניארית הנגזרת יוצאת בדיוק המנה שאתה מחשב. ב. שגיאת עיגול - השגיאה שנובעת מכך שכל מדידה שאתה משתמש בה בחישוב מכילה שגיאה בעצמה (אקראית+שיטתית), שנובעת ממידת הדיוק הסופית של המכשיר. התרומה של השגיאה הזו לשגיאה בנגזרת גדלה ככל שהקטע שאתה לוקח קטן יותר, מכיוון שככל שהפרשי הזמנים והמרחקים קטנים יותר המשקל היחסי של השגיאה בהפרשים גדול יותר ולכן גם המנה שלהם יוצאת עם שגיאה גדולה יותר. במקרה הקיצוני אתה מקבל את ה"מדרגות" הידועות לשמצה, שנובעות מכך שבקטע שבו הנגזרת של הפונקצייה הנמדדת לא באמת משתנה אתה מקבל רעש שנובע מזגזוג של הגלאי בין שני ערכים סמוכים. בניסויים שבהם אתה מחשב נגזרת נומרית במעבדה יוצא תמיד ששגיאת העיגול דומיננטית יותר משגיאת הדיסקרטיזציה, מכיוון שהפונקציות שאתה מנסה למדוד - פרבולה או סינוס - ליניאריות בקירוב טוב על קטעים קטנים מספיק, גם אם 10, 12 או 20 מדידות מבדילות בין שתי הנקודות שלקחת. לכן עדיף לך לקחת הפרשים בין נקודות רחוקות יחסית* כדי להקטין את שגיאת העיגול. * לא להגזים כמובן, כי בשלב מסויים תגיע למקום שבו הקירוב הליניארי נשבר ושגיאת הדיסקרטיזציה תתחיל להיות דומיננטית. בנוסף, ככל שאתה לוקח הפרשים גדולים יותר אתה נאלץ לזרוק יותר זמנים בהתחלת ובסוף המדידה שאתה לא יכול לחשב עבורם נגזרת.

אם אין אז אין

אתה לא טועה, אתה סתם עובד קשה ולחינם, מכיוון שהרגרסיה נותנת לך את http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta ישירות עם השגיאה שלו ללא צורך בחישוב שגיאה נגררת. יש לך שגיאה נגררת שתלוייה בארבעה משתנים פה (למרות שתכ'לס השגיאה באומגה לא תשפיע אם תבחר ב-t=0) ויהיה לא כיף לחשב אותה. לא ראיתי אף פעם מישהו שעושה את זה בניסוי הזה. למען האמת נהוג בכלל לוותר על חישוב השגיאה הזו, מכיוון שממילא אתה לא משתמש בה בשום מקום.