אודי

אני שמח, אבל אין לי פתרון מניח את הדעת לג'. מאיפה השאלה?

מאיפה השאלות האלו? אתה בטוח שזה הגבול? כי על פניו נראה שהקיבול שלך הולך לאינסוף, כי הוא חילוק של מספר סופי (http://www.codecogs.com/gif.latex?R_2) במספר שהולך לאפס (http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bk(R_2-R_1)%7D%7BR_1%7D)

מאיפה השאלה? האם יש פתרון, לפחות ברמת תוצאה? בכל מקרה, המפתח לפתרון השאלה הוא שיטת הדמויות. השדה במישור האינסופי מתאפס, ולכן הפתרון לשדה באיזור המטען q מתאים לפתרון שבו המישור המוארק לא קיים וקיים במקומו מטען דמות q- במרחק 2d מהמטען המקורי בכיוון המישור המוליך המוארק. א. הכוח שפועל על המטען q תואם, כאמור, לכח שמפעיל מטען נקודתי q- במרחק 2d. כלומר הגודל של הכח הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?F=%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B4d%5E2%7D והכיוון שלו הוא בכיוון המישור המוארק. ב. שוב, האנרגיה מתאימה לאנרגיה האצורה במערכת שני המטענים הנקודתיים, שהיא מכפלה של המטען q בפוטנציאל של המטען q- במרחק 2d: http://www.codecogs.com/gif.latex?W=V_%7B-q%7Dq=-%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B2d%7D ג. משהו פה מוזר. יש מצב שאתה אמור להניח שהכח נשאר קבוע כמו ב-א' ואז הפתרון קל (תנועה בתאוצה קבועה). לדעתי זה לא נכון, כמובן, כי ברגע שהמטען מתקרב למישור המוארק גם מטען הדמות זז. אבל הפתרון שאני חושב שנכון מוביל למשוואה דיפרנציאלית מסובכת שלא ברור לי איך אתה אמור לפתור. הוא בספוילר פה אם אתה מעוניין. אם אתה מניח שהכוח נשאר קבוע (וכאמור, ממש אין סיבה להניח דבר כזה), מתקבל שהתאוצה היא http://www.codecogs.com/gif.latex?a=%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B4md%5E2%7D ואז הזמן הוא פשוט (מנוסחא של תנועה בתאוצה קבועה, http://www.codecogs.com/gif.latex?d=%5Cfrac%7Bat%5E2%7D%7B2%7D): http://www.codecogs.com/gif.latex?t=%5Csqrt%7B2d/a%7D=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B8md%5E3%7D%7Bkq%5E2%7D%7D

על לא דבר :)

- משום מה חלקת רק את האבר הראשון בפיתוח של ה-ln ב-x. - את e אתה מקבל כקבוע שכופל את האקספוננט של הטור האינסופי שאתה מפתח לטור אינסופי, http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ey: http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%5Cln(1+x)%7D=e%5E%7B1-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B4%7D+...%7D=e%20%5Ccdot%20e%5E%7B-%5Cfrac%7Bx%7D%7B2%7D+%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7Bx%5E3%7D%7B4%7D+...%7D%5Cequiv%20e%5Ccdot%20e%5Ey=e%20%5Ccdot%20(1+y+%5Cfrac%7By%5E2%7D%7B2!%7D+%5Cfrac%7By%5E3%7D%7B3!%7D+...)

אתה יכול להציב את פיתוח טיילור של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cln(1+x) ולחלק אותו ב-x. אז יש לך אקספוננט של טור אינסופי, נקרא לו y, שאתה יכול לפתח בעזרת הפיתוח הידוע של http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ey. אתה מזניח איברים מסדר גבוה ב-x רק אחרי הפיתוח של האקספוננט אז אין בעייה של דיוק.

למה לגזור? אתה יודע איך נראה פיתוח טיילור של אקספוננט. כל מה שאתה צריך לעשות הוא לכתוב אותו, ולשמור בכל אבר שמכיל חזקה של הטור האינסופי של ה-ln רק את האיברים מסדר 3 ומטה.

אם קיים למשטח מישור משיק בנקודה הזו הרי שהוקטורים המשיקים לשלושת העקומים שהם חלק מהמשטח בנקודה צריכים להיות חלק ממנו. את יכולה לחשב את שלושת הוקטורים האלו ולראות אם הם קו פלנריים בעזרת חישוב המכפלה המעורבת. אם הם קו פלנריים, http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D%20%5Ccdot%20(%5Cvec%7Bb%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bc%7D)=0

סליחה, תקנתי

על לא דבר :)

שים לב לעריכה

לא נראה לי שהדרך הזו הולכת לעבוד לך כי יש לך תרומה מכל איבר בפיתוח האינסופי של האקספוננט (כי כל איבר בפיתוח הזה מכיל מכפלה של חזקה שלילית הולכת וגדלה בסדרה אינסופית של חזקות חיוביות). אתה צריך להציב את הפיתוח של ה-ln באקספוננט ואז לפתח את האקספוננט, תוך כדי שאתה שומר איברים מהסדר המתאים. אני משחזר את התוצאה של וולפראם ככה.

זה לא במקרה. הישרים מונחים באלכסון על ההיפורבולואיד ולא חורגים מהמשטח. למעשה אפשר לבנות היפרבולואיד מסיבוב של ישר כזה. נניח שהמשוואה הכללית של ההיפרבולואיד החד יריעתי שלך היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7Ba%5E2%7D+%5Cfrac%7By%5E2%7D%7Bb%5E2%7D-%5Cfrac%7Bz%5E2%7D%7Bc%5E2%7D=1 אז ברור שהישר הנתון ע"י הפרמטריזציה: http://www.codecogs.com/gif.latex?x(t)=at http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t)=b http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t)=ct נמצא כולו על ההיפרבולואיד כי הפרמטריזציה שלו מקיימת זהותית את משוואת המשטח.

5. המקרה הבודד שלא פסלנו הוא שהסינוס מחליף סימן באותה נקודה שבה הפונקציה מחליפה סימן, ואז הנגזרת נשארת חיובית. הוא פשוט שואף לאפס לאט יותר מאשר המקדם שואף לאינסוף. אני לא לגמרי בטוח איך מתמודדים איתו.

ובכל זאת, נראה לי שאתה אמור להניח ש-y=0 הוא סוף תחום ההגדרה במקרה הזה כי יש שם קפיצה אינסופית (?) בנגזרת ולכן הפתרון מוגדר באיזור שבו הוא שלילי. אבל ננסה להוכיח: 1. נניח שהפתרון הרציף שלנו חוצה ממש את y=0 בנקודה מסויימת, כלומר קיימת סביבה סופית שבה הוא חיובי. אזי בנקודת החצייה הנגזרת שלו צריכה להיות חיובית. 2. מכיוון שהמקדם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7By%5E2-1%7D%7By%7D חיובי עבור ערכי y שליליים ושואף לאינסוף עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5Crightarrow0_-, נובע שגם הסינוס מקבל ערך חיובי בנקודת החצייה. 3. אבל סינוס היא פונקציה רציפה, ולכן אם היא מקבלת ערך חיובי בנקודת החצייה חייב להיות לה ערך חיובי בסביבה קטנה וסופית של נקודת החצייה. מאידך, המקדם מחליף סימן אחרי החצייה ומקבל ערכים שליליים מאוד ושואפים למינוס אינסוף בקרבת נקודת החצייה. 3. נובע שקיימת סביבה סופית מימין לנקודת החצייה, החל מנקודת החצייה שבה הפתרון נשאר חיובי למרות שהנגזרת שלילית (ושואפת למינוס אינסוף) מנקודת החצייה. זה לא יכול להיות. 4. מכאן לא ייתכן שהפתרון יחצה את y=0.

לגבי התבדרות הנגזרת, היא לא אומרת שום דבר לגבי השאלה אם הפתרון חוצה את הישר או לא. ראינו מקרה שבו הישר y=0 לא נחצה, אבל למשל עבור המשוואה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7By%5E2%7D=y'%5E2 עם נקודת ההתחלה http://www.codecogs.com/gif.latex?y(1)=2 . הפתרון http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Csqrt%7B5-x%5E2%7D%20%7C%20x%5Cleq%5Csqrt%7B5%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?y=-%5Csqrt%7Bx%5E2-5%7D%20%7C%20x מקיים את המשוואה, חוצה את y=0, רציף ומוגדר בנקודת החצייה http://www.codecogs.com/gif.latex?x=%5Csqrt%7B5%7D למרות שהנגזרת מתבדרת שם.

קל לראות משיקולי קיום ויחידות שהפתרון חסום בין הישרים y=1 ו-y=-1 וקשה לומר משהו קונקרטי על הישר y=0.

קל לראות כי המשוואה פתירה אנליטית, לא מהשיקול שהפעלת. אם יותר לי לשאול, מאיפה השאלה?

הכיוון שאתה הולך אליו לא נראה לי פרודוקטיבי. לפי המבנה זו נראית לי כמו שאלה של משפט קיום ויחידות. אתה בטוח שזה הישר y=0? כי הישרים y=1 ו-y=-1 הם פתרונות של המשוואה והפתרון שלך לא יכול לחתוך אותם כי בסביבתם מתקיימים דרישות משפט קיום ויחידות

מה לא הבנת? 1. מחשבים שדה של מעטפת גלילית אינסופית מחוץ למעטפת בעזרת חוק גאוס. מסתכלים על מעטפת גלילית סופית ברדיוס r ובגובה h שמקיפה את המעטפת הגלילית האינסופית. המעטפת האינסופית הפנימית, נניח. השדה על המעטפת הזו קבוע מסימטריה ולכן מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cintop%20%5Cvec%7BE_1%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bds%7D%20=%202%5Cpi%20r%20h%20E_1 http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7BQ%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D%20=%5Cfrac%7B2%5Cpi%20a%20h%5Csigma_1%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D מכאן: http://www.codecogs.com/gif.latex?E_1=%5Cfrac%7Ba%5Csigma_1%7D%7B%5Cvarepsilon_0%20r%7D 2. באותו אופן, השדה של המעטפות הגליליות האינסופיות האחרות מחוץ למעטפת הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?E_2=%5Cfrac%7Bb%5Csigma_2%7D%7B%5Cvarepsilon_0%20r%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?E_3=%5Cfrac%7Bc%5Csigma_3%7D%7B%5Cvarepsilon_0%20r%7D 3. השדה של כל מעטפת גלילית אינסופית בתוך המעטפת הוא אפס, מחוק גאוס, כי אין לה תרומה למטען שם. 4. השדה הכולל E הוא סכום השדות של שלושת המעטפות האינסופיות. לכן מתקבלים סה"כ ארבעה איזורים במרחב: - עבור r קטן מ-a השדה מתאפס - עבור r בין a ל-b השדה הוא רק השדה של המעטפת הפנימית - עבור r בין b ל-c, השדה הוא השדה של שתי המעטפות הפנימיות. זה האיזור שמעניין אותנו. - עבור r גדול מ-c, השדה הוא השדה של שלושת המעטפות. 5. לכן הפרש הפוטנציאל בין c ל-b הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?V_%7Bbc%7D=-%5Cintop_c%5EbEdr=-%5Cintop_c%5Eb(E_1+E_2)dr=%5Cfrac%7Ba%5Csigma_1+b%5Csigma_2%7D%7B%5Cvarepsilon_0%7D%5Cln(%5Cfrac%7Bc%7D%7Bb%7D) אם לא הבנת משהו מזה אנא צייני בבקשה את הסעיף שלא הבנת או את הרעיון שלא הבנת בהסבר הכולל כי אני לא חושב שלחזור על כל ההסבר פעם שלישית יעזור.

את יודעת לחשב את השדה של קליפה גלילית מחוץ לקליפה מחוק גאוס. את יודעת שהתרומה של כל קליפה לשדה בתוך הקליפה היא אפס. מחוק גאוס. מכאן, השדה באיזור הרלוונטי (בין b ל-c) הוא אך ורק השדה של שתי הקליפות הפנימיות. כדי לחשב ממנו את הפרש הפוטנציאל, את צריכה לעשות אינטגרל על מינוס השדה בין c ל-b.

- זה אמור להיות שווה ומינוס בין שני החלקים, לא רק מינוס. תקנתי. שניהם אותו הדבר. - לא, זה רק השדה של הדסקה.

- מה זה "קליפה" של דיסקה? הדיסקה הזו דו ממדית. זו דיסקה מעגלית, לא כדורית. - המטען צריך להסתכם לאפס כדי שתקבלי את האפקט של החור מסופר-פוזיציה. יוצא שגם השדה מתאפס אבל לא ככה את בונה את הצירוף.

- את צריכה להשתמש בעקרון הסופרפוזיציה, כלומר לחבר לשדה של לוח אינסופי שטעון בצפיפות משטחית http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma שדה של דיסקה סופית שטעונה בצפיפות משטחית http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Csigma. את השדה של הדיסקה הסופית נראה לי הכי פשוט למצוא מאינטגרציה על הדיסקה ולא מחוק גאוס. את יודעת שהשדה שמפעיל אלמנט מטען בדסקה בנקודה שנמצאת במרחק z על ציר הסימטריה שלה הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?dE_z=k%5Cfrac%7Bdq%7D%7Br'%5E2%7D%5Ccos%7B%5Cphi%7D=-%5Cfrac%7Bk%5Csigma%20r%20z%7D%7B(r%5E2+z%5E2)%5E%7B3/2%7D%7Ddrd%5Ctheta כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi היא הזוית בין הרדיוס http://www.codecogs.com/gif.latex?r'=%5Csqrt%7Br%5E2+z%5E2%7D שמחבר את הנקודה על הדיסקה לנקודה על ציר z לציר z ו- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%5Cphi=%5Cfrac%7Bz%7D%7Br'%7D (רכיבי השדה בכיוונים x,y יתאפסו מסימטריה, אין מה לחשב אותם - ברור שהשדה הכולל הוא בכיוון z). את יכולה לעשות אינטגרציה על כל הדיסקה (http://www.codecogs.com/gif.latex?%200%20%5Cleq%20r%20%5Cleq%20R,%200%20%5Cleq%20%5Ctheta%20%5Cleq%202%20%5Cpi, למצוא את השדה שלה, ואז לחבר אליו את השדה של לוח אינסופי. - פוטנציאל מתקבל מאינטגרציה על (מינוס) השדה החשמלי, לא מהכפלה ב-z. את צריכה לעשות את האינטגרציה ממרכז החור לנקודה שבה את מחשבת אותו כי את יודעת שבמרכז החור הוא מתאפס.

ישר שמוכל כולו במשטח. כל נקודה על הישר נמצאת על המשטח. וכן, על היפרבולואיד חד יריעתי יש ישרים