אודי

אם אני מבין נכון השאלה לא מאוד קשורה לכימיה אורגנית אלא למושג האלקטרושליליות. כלומר יש מצב שהכימיה הכללית שלי תספיק, אם היא לא חלודה מדי ככל שאטום הוא אלקטרושלילי יותר כך הוא פחות מוכן לוותר על אלקטרונים. בשתי התגובות SCN מוסר את האלקטרון העודף שלו לברום כשהאטום המוסר מחליף את הברום בקשר בקוולנטי; בתגובה הראשונה זה הגופרית ובתגובה השנייה זה החנקן. מכיוון שחנקן הרבה יותר אלקטרושלילי (הוא גם אלטקרושלילי יותר מברום), הוא פחות רוצה לוותר על האלקטרון העודף שלו לטובת השותפות המפוקפקת של מולקולה קוולנטית נייטרלית ולכן התגובה שלו תהיה איטית יותר. לגבי הכימאים, הם שורצים (בעיקר שורצות, האמת) בטכנובלוג. אבל אני לא יודע אם פוסט שם ישיג את התוצאה הרצוייה.

לא אני, הפעם האחרונה שנגעתי בכימיה אורגנית הייתה בתיכון יש כימאים בפורום, לא יודע עד כמה הם מגיעים לתת הפורום הזה. תנסה להעלות שאלה.

עריכה: טוב, זה המיטב שאני מסוגל לו כרגע. אולי יהיו תיקונים בהמשך. מידע נוסף על מקור הבעייה ותשובה סופית, אם יש, עשוי להועיל. אני פשוט לא זוכר מספיק טוב את החומר הזה. 1. קודם כל, (אתה כנראה אמור להסיק לבד ש)הגליל אינו מוליך. לו הוא היה מוליך, השדה בו היה אפס; לו השדה בו היה אפס, בפרט האינטגרל המסלולי על שפת הגליל (בכל z קבוע שתבחר) היה נותן אפס, כלומר הנגזרת של השטף המגנטי לפי הזמן הייתה מתאפסת (מחוק פאראדיי). אבל אתה יודע שזה לא יכול להיות כי הנגזרת של השטף יוצאת פשוט C כפול השטח של המעגל, כלומר היא קבוע חיובי שונה מאפס. 2. אם הגליל אינו מוליך הרי שאין פה מעגל סגור ולא יכול להיות זרם במוט. כלומר גם J=0 בכל המרחב. 3. אתה יודע ש-J=0 ושהרוטור של B הוא אפס (כי B הוא וקטור בכיוון z בלבד שאין לו תלות ב-x או ב-y, או http://www.codecogs.com/gif.latex?B=Ct%5Chat%7Bz%7D). מכאן נובע (חוק אמפר) שגם הנגזרת של השדה החשמלי לפי הזמן מתאפסת, כלומר השדה החשמלי הוא וקטור קבוע שאינו תלוי בזמן בכל המרחב (אם כי הוא כמובן יכול לקבל ערכים שונים כתלות במקום). 4. מכיוון שהמוט נייטרלי (? ברירת המחדל לגבי מוליך, היה צריך להיות נתון אם יש לו עודף מטען) לבעייה יש סימטריה גלילית מלאה* בכל המרחב. מכאן נובע גם שהשדה החשמלי בציר z צריך להתאפס. 5. המשך הפתרון תלוי בשאלה האם הגליל מלא או ריק, כלומר, אם ניתן להניח שהשדה בתוכו מתאפס מחוק גאוס (כי אין מטענים והמוליך נייטרלי). או לא. השדה מחוץ לגליל משותף לשני המקרים; השדה בתוך הגליל יהיה אפס אם הוא ריק ושונה מאפס אם הוא לא ריק. בשני המקרים מקבלים סתירה, לדעתי; אם תניח שהשדה הוא אפס תקבל סתירה עם חוק אמפר (שלא מתקיים בתוך הגליל). אם תניח שהוא שונה מאפס תקבל הפרה של הסימטריה הגלילית שנדרשנו לה כדי לפתור את הבעייה, כי השדה במוליך עדיין חייב להיות אפס. אני כנראה לא זוכר משהו לגבי התנאים של חוק אמפר. הוא אמור להיות נכון רק למוליך? כי אם כן אי אפשר להשתמש בו בכלל בבעייה הזו... 6. נמשיך עם ההנחה שהשדה בפנים מתאפס ויש סימטריה גלילית, וחוק אמפר לא מתקיים שם מסיבה כלשהיא. נשארנו עם שני רכיבים, הרדיאלי והמשיקי. נסתכל קודם על הרכיב המשיקי. מחוק פאראדיי, עבור כל טבעת סגורה מסביב לגליל (או על שפתו) נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Cpi%20r%20E_%7B%5Cvarphi%7D=%5Cpi%20R%5E2C כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?E_%7B%5Cvarphi%7D=%5Cfrac%7BCR%5E2%7D%7B2r%7D בכל המרחב משפת הגליל והלאה. בתוך הגליל. 6. עכשיו, נסתכל על הרכיב הרדיאלי. מרכיב z של רוטור בקואורדינטות גליליות (שהוא מינוס הנגזרת של השדה המגנטי לפי הזמן) נובע: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial(rE_%7B%5Cvarphi%7D)%7D%7B%5Cpartial%20r%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_r%7D%7B%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D)=-C אבל האיבר הראשון נותן אפס לפי הרכיב המשיקי שמצאנו מחוץ לגליל ולכן נשארים עם: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_r%7D%7Br%5Cpartial%20%5Cvarphi%7D=C או http://www.codecogs.com/gif.latex?E_r=Cr%5Cvarphi 7. התשובה הסופית היא שעל השפה ומחוץ לגליל השדה נתון ע"י הביטוי: http://www.codecogs.com/gif.latex?E=Cr%5Cvarphi%20%5Chat%7Br%7D%20+%20%5Cfrac%7BCR%5E2%7D%7B2r%7D%20%5Chat%7B%5Cvarphi%7D ובתוך הגליל הוא אפס. * ההנחה הזו מופרת אם הגליל, המבודד, כאמור, טעון באיזושהיא צפיפות מטען לא אחידה שתלויה ב-z. אבל בהיעדר נתונים נוספים עליה אנחנו נאלץ להניח שהיא לא קיימת.

מאיפה התרגיל? האם יש תשובה סופית להשוות אליה? כי השאלה מנוסחת באופן חסר ביותר, לטעמי. האם הגליל מלא או ריק?

למה, דה ז'ה וו זה נחמד. זו בדיוק התחושה שאתה רוצה להתקל בה בזמן מבחן

תחושת הדה ז'ה וו מכה ולאחר חיפוש קצר מסתבר שאכן כבר פתרתי את השאלה הזו ביומיים האחרונים. שאלה מס' 2 בשרשור הזה.

ערב טוב!

תקנתי טעות בהצבה של http://www.codecogs.com/gif.latex?z=a+r%5Ccos%5Ctheta

עכשיו גם צריך להינות מפתרון בחינות? כבודם של מומנטים במקומם מונח, אני לא מכיר דרך אחרת לפתור את האינטגרל הזה פרט לקואורדינטות כדוריות. אני גם לא רואה את הסיבוך הגדול כי האינטגרל שאת מקבלת הוא סכום של אינטגרלים פריקים ופרידים. בנוסף, לא צריך לחשב את כולם כי ברור שחלקם מתאפס מסימטריה. אז צריך להשתמש בקצת זהויות טריגונומטריות. זה לא מה שישבור אותנו. http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20%5Ccdot%20F%20=%202(x+y+z+1) http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop%20%5Cintop%20%5Cintop%20%5Cnabla%20%5Ccdot%20F%20dx%20dy%20dz http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%202(r%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Cvarphi+r%5Csin%5Ctheta%5Csin%5Cvarphi+r%5Ccos%5Ctheta+a+1)r%5E2%5Csin%5Ctheta%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cvarphi=I_1+I_2+I_3+I_4 http://www.codecogs.com/gif.latex?I_1=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%202r%5E3%5Csin%5E2%5Ctheta%5Ccos%5Cvarphi%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cvarphi=0 http://www.codecogs.com/gif.latex?I_2=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%202r%5E3%5Csin%5E2%5Ctheta%5Csin%5Cvarphi,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cvarphi=0 מכיוון שקוסינוס וסינוס מחזוריות בשני פאי ויש פה קוסינוס וסינוס של פי שרצה על כל התחום. http://www.codecogs.com/gif.latex?I_3=%5Cintop_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Cintop_0%5Ea%202r%5E3%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%5C,dr%5C,d%5Ctheta%5C,d%5Cvarphi=%5Cpi%20a%5E4%20%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cpi%7D%20%5Csin%5Ctheta%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%5C,d%5Ctheta=-%5Cfrac%7B%5Cpi%20a%5E4%7D%7B2%7D כאשר השתמשתי בעובדה שהאינטגרנד באינטגרל של תטא הוא פשוט נגזרת של חצי סינוס בריבוע תטא. http://www.codecogs.com/gif.latex?I_4=2(a+1)V=%5Cfrac%7B4%5Cpi%20a%5E3(a+1)%7D%7B3%7D כי זה יוצא פשוט 2a+2 פעמים נפח חצי כדור, או a+1 פעמים נפח כדור ברדיוס a. מכאן: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=I_3+I_4=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20a%5E4+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20a%5E3-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cpi%20a%5E4=%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%5Cpi%20a%5E3+%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cpi%20a%5E4

השאלה מצטמצמת לחישוב הנפח של קטע הכדור, מכיוון שהדיברגנס יוצא 2 (כלומר, לפי משפט גאוס השטף של השדה הנכנס לנפח הנ"ל הוא פשוט הנפח כפול 2-). שוב, נוח לחשב את הנפח כנפח של גוף סיבוב, הפעם סביב מישור y. ההטל של הכדור על הצד של מישור zy שבו z חיובי הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?z(y)=%5Csqrt%7B9-y%5E2%7D ולכן הנפח הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cpi%5Cintop_%7B-1%7D%5E2%20z(y)%5E2%5C,dy=%5Cintop_%7B-1%7D%5E2%20(9-y%5E2)%5C,dy=24%5Cpi והשטף הוא (לפי משפט גאוס): http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CPhi=-2V=-48%5Cpi

האפשרות שכיוונו אליה הייתה כנראה לחשב בעזרת קואורדינטות פולריות - אפשר לפרק את הפיסה הזו לעיגולים עיגולים שהרדיוס שלהם תלוי ב-z: http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z)=z%20%5C,%7C%5C,z%20%5Cleq%20%5Csqrt%7B8%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?r(z)=%5Csqrt%7B16-z%5E2%7D%5C,%7C%5C,z באופן (לא) מפתיע הדרך הזו זהה לחלוטין מבחינה חישובית לחישוב נפח של גוף סיבוב. גם פה יהיו לך שני אינטגרלים בין אותם שני קטעים, וגם פה התוצאה תהיה זהה למה שרשמתי. ההבדל היחידי הוא שפה תצטרכי לעשות את האינטגרלים בתטא ו-r לפני שתגיעי לביטוי מהפוסט הקודם.

- מבקשים את החתיכה הקטנה, לדעתי, למרות שהיו צריכים לציין. אני חושב שזו הקטנה כי מציינים קודם את החרוט ואז את הכדור, מה שרומז שהקטע המבוקש הוא זה שבו החרוט נמוך יותר מהכדור (הפיסה הקטנה). - חיסור נפח חרוט מכדור (לחישוב החתיכה הגדולה, אגב) לא יעבוד כי לפיסה הקטנה יש "בסיס" שהוא קליפה כדורית, לא בסיס ישר כמו חרוט רגיל. אין לך נוסחא לחישוב נפח כזה. - זה כנראה לא מאוד חדו"א 2 מצידי, אבל נראה לי שהדרך הפשוטה ביותר היא לחשב את נפח הגוף הזה כנפח גוף סיבוב מסביב לציר z. א. נסתכל למשל על מישור xz בצד החיובי של ציר x. החיתוך של חצי המישור הזה עם החרוט הוא הקו x=z והחיתוך של חצי המישור הזה עם הכדור הוא חצי המעגל http://www.codecogs.com/gif.latex?x=%5Csqrt%7B16-z%5E2%7D. הם נחתכים בנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?x=z=%5Csqrt%7B8%7D. מ-z=0 עד הנקודה הזו הנפח של גוף הסיבוב המבוקש נמצא בין היטל החרוט על חצי המישור לציר z ומהנקודה הזו עד לחיתוך עם ציר z (ב-z=4) הנפח המבוקש נמצא בין ההיטל של הכדור על חצי המישור לציר z. ב. נפח של גוף סיבוב של פונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?x(z) מסביב לציר z הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cpi%20%5Cintop%20x(z)%5E2dz לכן הנפח המבוקש הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cpi%20%5B%5Cintop_0%5E%7B%5Csqrt%7B8%7D%7Dz%5E2%5C,dz+%5Cintop_%7B%5Csqrt%7B8%7D%7D%5E4%20(16-z%5E2)%5C,dz%5D=%5Cfrac%7B32%5Cpi(4-%5Csqrt%7B8%7D)%7D%7B3%7D תשובה לא יפה בעליל, אבל זה מה שאני מקבל

א. אם נסמן את המרחק מהנקודה (1,1,3) ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?r=%5Csqrt%7B(x-1)%5E2+(y-1)%5E2+(z-3)%5E2%7D, אז הפונקצייה המתארת את עוצמת הקרינה היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?R%C2%AE=%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5E2+1%7D לפונקצייה הזו יש סימטריה כדורית, ולכן ברור שכל כיוון שהציפור תבחר טוב באותה מידה, בהנחה שהיא נעה בכל כיוון באותה מהירות. את יכולה לחשב את הגרדיינט של הפונקצייה אבל הוא לא יעזור לך פה (כי הוא מתאפס... זו נקודת מקסימום גלובלי של הפונקצייה). ב. האיש מוגבל ללכת על הגבעה (?, נקרא לזה גבעה), ולכן הוא צריך לבחור בכיוון שמתרחק מהנקודה הזו הכי מהר או בכיוון של הגרדיינט של הגבעה בנקודה. חישוב מהיר מראה שזה יוצא (2,1,1) (או אם צריך כיוון מנורמל, התוצאה הזו חלקי שורש שש). אני לא מתלהב מהשאלה הזו, כי סעיף ב' מרמז שהלוגיקה שהייתה נחוצה כדי לפתור את סעיף א' לא נכונה (מן הסתם אם יש יש גבעה היא מגבילה גם את התנועה של הציפור, היא לא יכולה לטוס דוך לאדמה), אבל זה מה יש

אופצייה נוספת היא למצוא מישהו שיש לו אותן בעייות (נתקע הרבה בפתרון מבחנים) ולנסות לשבת על מבחנים ביחד, מהרעיון שכ"א עשוי לדעת להתמודד עם השאלות שהשני לא מצליח לפתור. ...צריך להיזהר עם זה, כי ללימודים בקבוצה יש נטייה להפוך ללא אפקטיביים אם כל הצדדים המדוברים לא מעוניינים באותו הדבר (לפתור כמה שיותר מבחנים, במקרה זה) או אם ההבדל ברמת הבעיות קיצוני מדי (ואז צד אחד יוצא מתוסכל). לא חשבתי על האופצייה הזו מייד כי באופן אישי היא לא מתאימה לי. קשה לי ללמוד למבחן בקבוצה, אני מעדיף להתעמת עם החומר לבד. אבל יש אנשים שזה עובד להם.

אני נזהר מאוד מלחלק לאנשים אחרים עצות איך ללמוד, כי מה שמתאים לי לא מתאים בהכרח לאנשים אחרים. גם את השורה הזו שכתבתי ערכתי שוב ושוב כדי לבחור ניסוח כמה שפחות קטגורי, ואפילו עכשיו אני לא בטוח שהייתי צריך לכתוב אותה ...בכל מקרה, אזהרות בטאבו בצד, מה שאני הייתי עושה בסיטואציה הוא לנסות לראות אם יש מכנה משותף לשאלות שאני נתקע בהן. האם יש נושא מסויים שאני פחות שולט בו? משהו ספציפי שאני לא מבין או לא יודע איך להתמודד איתו? אם הצלחתי לבודד נושא כזה (או שניים), אפשר ללכת ולחזור עליו (או עליהם) נקודתית (בסיכומי הרצאות, תרגולים ובש"ב). לא הייתי חוזר על כל החומר בשלב הזה, נראה לי פחות יעיל מפתרון מבחנים, אבל אם יש לך מספיק זמן (ויותר מדי נושאים בעייתיים), גם זו אופצייה. אחרי שחזרתי על הנושא/ים הייתי מנסה לפתור שוב תרגילים רלוונטיים. כיוון אפשרי אחר ללא חזרה על החומר הוא לחזור לפתרונות של ש"ב, אם יש לך, ולנסות לאתר שם תרגילים דומים לאלו שאתה נתקע בהם בבחינה. גם זה יהיה יעיל בעיקר אם אתה יודע לבודד באיזה נושא יש לך בעייה.

תשמע, הרעיון של למידה (שלך) לבחינה הוא שאתה תפתור מבחנים, לא שאני אפתור מבחנים. תרגיל שאני פותר מועיל לך הרבה פחות מאותו תרגיל כשאתה פותר אותו לבד. 1. 2. 3. 4.

- הנורמל שלך פונה כלפי חוץ ולא כלפי ציר z כמו שבקשו - תחום האינטגרציה שלך בזווית גדול מדי. רצו חצי מעטפת גלילית (http://www.codecogs.com/gif.latex?y%20%5Cgeq%200) , לא מעטפת גלילית שלמה. - שני התיקונים האלו מביאים אותך לתשובה הנכונה.

העקומים http://www.codecogs.com/gif.latex?y=x%5E2 ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Csqrt%7Bx%7D נחתכים בשתי נקודות, x=0 ו-x=1. אלו גבולות האינטגרציה היחידים שלא נתונים לך. שים לב שבתחום הזה הריבוע קטן יותר מהשורש, ולא ההפך. סה"כ הנפח הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?V=%5Cintop_0%5E1%5Cintop_%7Bx%5E2%7D%5E%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7D%5Cintop_0%5E%7Bxy%7Ddx%5C,dy%5C,dz=%5Cintop_0%5E1%5Cintop_%7Bx%5E2%7D%5E%7B%5Csqrt%7Bx%7D%7Dxy%5C,dx%5C,dy=%5Cintop_0%5E1%5Cfrac%7Bx%5E2%7D%7B2%7D-%5Cfrac%7Bx%5E5%7D%7B2%7D%5C,dx=%5Cfrac%7B1%7D%7B12%7D

על לא דבר. שתהיה לכם שבת מרנינה :)

אה, והקשר המדוייק הוא כמובן: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BdS%7D=%5Cpm%5Cvec%7Br%7D,_u%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Br%7D,_v%5C,du%5C,dv=%5Chat%7Bn%7D%20%5C,dS http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D=%5Cpm%5Cfrac%7B%5Cvec%7Br%7D,_u%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Br%7D,_v%7D%7B%7C%5Cvec%7Br%7D,_u%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Br%7D,_v%7C%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?dS=%7C%5Cvec%7Br%7D,_u%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Br%7D,_v%7C%5C,du%5C,dv פשוט שכחתי את הפרטים הקטנים האלו.

בגדול כן, אם בלפי היטלים אתה מתכוון למה שאמרתי בסעיף 1. אני אומר ששתי הדרכים 1. ו-2. שציינתי לעיל לחשב את האינטגרל המשטחי שקולות, והבחירה ביניהן צריכה להיות תלוייה בבעייה ומה שקל יותר לעשות שם, לעבוד עם פרמטריזציה או לחשב את השטח של המשטח (ואז לדעת למה שווה האינטרגרל על הסקלר dS בלי לחשב אותו באופן מפורש אלא משיקולים גיאומטריים). אני מניח שכשמדובר במשטחים לא פשוטים (כלומר, לא חלק ממישור, גליל או קליפה כדורית), כשהנורמל לא פשוט (למשל תלוי במיקום ובקואורדינטות) או כשיש פרמטריזציה מתבקשת יהיה עדיף לעבוד עם פרמטריזציה.

אוקי, אחרי קצת נבירה נראה לי שהבנתי/נזכרתי מה הוא עשה, וזה נכון ומקביל לדרך שלי. את הוקטור dS אפשר לבטא בשתי דרכים: 1. בהינתן פרמטריזציה של המשטח, http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Br%7D(u,v), באמצעות הוקטורים http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Br%7D,_u ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Br%7D,_v כ-: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BdS%7D=%5Cpm%5Cvec%7Br%7D,_u%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Br%7D,_v%5C,du%5C,dv כשהסימן נתון לבחירה לפי כיוון הנורמל שמעוניינים בו 2. בחלוקה לסקלר שטח אינפיטיסימלי שאינטגרציה עליו נותנת את השטח ונורמל שנותן את הכיוון: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BdS%7D=%5Chat%7Bn%7D%20%5C,dS שתי הדרכים שקולות אבל du dv לא בהכרח שווה ל-dS, זה תלוי בקואורדינטות שבהן עובדים. בקובץ הוא עבד בדרך הראשונה ואני עבדתי פה בשנייה, כי לא היה כדאי בשאלה הזו להתעסק עם פרמטרזיציה כשהיו שטח ונורמל שקל לחשב.

עריכה: הסבר בהמשך

ודאי שמנרמלים פה :scratch: הנה למשל משפט סטוקס מויקיפדיה: שימי לב לכובע של n עריכה: לוגית, הרי את אותו מישור אני יכול לכתוב גם כ 4x+2y-10z=0 לא הגיוני שהשטף שלו יהיה כפול אז (כפול מהתוצאה שלך), כן?

את לא צריכה את הגבולות. את יודעת מהו הוקטור הנורמל למישור: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D=-%5Cfrac%7B2%5Chat%7Bx%7D+%5Chat%7By%7D-5%5Chat%7Bz%7D%7D%7B%5Csqrt%7B30%7D%7D (כאשר הקפדנו לקחת את הנורמל שיש לו רכיב z חיובי כדי שיתאים לאוריינטצייה) המכפלה הסקלרית בינו לבין http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Chat%7Bz%7D (הכיוון והגודל המתקבל של הרוטור) היא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B-5%7D%7B%5Csqrt%7B30%7D%7D. עכשיו כל מה שנשאר לך לעשות הוא להכפיל בשטח שהמישור חותך מהכדור, מכיוון שהאינטגרל המשטחי יוצא התוצאה של המכפלה הסקלרית הזו כפול השטח. מכיוון שהמישור שלך עובר דרך הראשית ברור שהוא חותך מהכדור עיגול שרדיוסו כרדיוס הכדור, כלומר עיגול יחידה ששטחו http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cpi. והנה התשובה הסופית שלך: http://www.codecogs.com/gif.latex?W=%5Cfrac%7B-5%5Cpi%7D%7B%5Csqrt%7B30%7D%7D