אודי

נראה לי שרשמת לא נכון את הקשר בין http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bcm%7D. במקרה הזה עבור מערכת צירים ימנית יש ביניהם הבדל של סימן. שים לב שסכום המומנטים שלך: http://www.codecogs.com/gif.latex?fR-FR=I%5Calpha כי אתה יודע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?f מכיוון שהכדור נע ימינה. ולכן נובע שאלפא חייבת להיות שלילית. לעומת זאת, מכיוון שבחרת את כיוון ציר x החיובי ימינה, אתה יודע ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?f+F=Ma_%7Bcm%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bcm%7D ולכן http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha=-a_%7Bcm%7D/R אחרי שאתה מתקן את הסימן אתה מקבל את מערכת המשוואות הבאה: http://www.codecogs.com/gif.latex?F+f=Ma_%7Bcm%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?f-F=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMa_%7Bcm%7D והפתרון שלה זהה לזה שיצא להם. הבחירה שלהם לעבוד עם מערכת צירים שמאלית חסכה להם את הצורך לבדוק את הסימנים.

לא, זה לא מה שאמרתי. אמרתי שאפשר לנסח את המשוואות אחרת במערכות צירים שונות אבל זה לא אמור לשנות את התשובה (עד כדי סימן במקרה שהצירים הפוכים בכיוון). אם יש הבדל בגודל התשובות. זאת אומרת שיש טעות אצלך או אצלם. אבל זו לא חייבת להיות טעות שקשורה לבחירת מערכת צירים. אתה צריך להראות את הנתונים והחישוב.

יכול להיות שיש טעות בספר. יכול להיות שיש אי קונסיסטנטיות בין משוואת הכוחות למשוואת המומנטים שהם רושמים. יכול להיות שהם בחרו משום מה לעבוד עם מערכת צירים שמאלית ולא ימנית, ואז הסימון שלהם קונסיסטנטי. אני לא יכול לדעת מה הבחירה שהם עשו לגבי מערכות הצירים וכיצד הן נמקו אותה רק מהמשוואות עצמן. כל עוד הם לא טועים בתשובה לגבי כיוון התאוצה (ימינה) וכיוון הסיבוב (עם כיוון השעון, לפי הבחירה שלהם), זה לא באמת משנה.

כן. בדוגמא האחרונה, כדי שכיוון ציר z החיובי יהיה נכנס לדף אתה צריך שכיוון ציר x החיובי יהיה שמאלה וכיוון ציר y החיובי יהיה כלפי מעלה. אם קבענו את מערכת הצירים באופן הזה, סכום המומנטים, שהוא כולו בציר z, יוצא כמו בספר, http://www.codecogs.com/gif.latex?M-M_r, מכיוון שהמומנט של הכוח F נכנס לדף (עם כיוון השעון) והמומנט של החיכוך f יוצא מהדף (נגד כיוון השעון).

אם לכולנו יצא מומנט בכיוון z-, איפה פה בדיוק הסתירה? :scratch: בלי לקבוע מערכת צירים צמודה לבעייה הזו אין שום משמעות להבדל בין http://www.codecogs.com/gif.latex?M_r-M ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?M-M_r. אתה יכול לבחור מערכת צירים שבה הכיוון החיובי של ציר z נכנס לדף ומערכת צירים שבה הכיוון החיובי של ציר z יוצא מהדף. בהתאם לכך, אחד המומנטים עשוי להיות בכיוון החיובי או השלילי של ציר z וסכום המומנטים בציר זה יהיה תוצאה אחת או התוצאה השנייה. הכל תלוי בבחירת מערכת צירים. שים לב, אגב, שאנחנו קובעים את הכיוונים של המומנטים באמצעות הסימן היחסי ביניהם כי אנחנו רוצים שהקבועים http://www.codecogs.com/gif.latex?M_r,%20M ייצגו את הגודל של הוקטורים (כלומר הם חיוביים).

דוגמא.PNG וקטור r מצביע מציר הסיבוב (מרכז הגלגל) למטה. אצבע ימין למטה. וקטור F נוטה שמאלה. אמת ימין מכופפת ונוטה שמאלה. יוצא שהאגודל, שהיא כיוון המומנט, נכנסת אל הדף. אם תמקם מערכת צירים כך שכיוון ציר x החיובי הוא ימינה (אצבע ימינה) וכיוון ציר y החיובי למעלה (אמה למעלה) תראה שכיוון ציר z החיובי יוצא מן הדף, ולכן במערכת הצירים הזו המומנט של החיכוך הוא בכיוון z-. דוגמא 2.PNG לא. שים לב שגם ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_1%7D וגם ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_2%7D אין רכיב z בכלל, כך שהם לא נוטים לכיוון החיובי או השלילי של הציר. הם וקטורים במישור xy. אתה חייב להשתמש בוריאציה כלשהיא של כלל יד ימין כדי להבין מה כיוון המומנט. עבור המומנט של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_1%7D: - http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR_1%7D פונה כלפי מעלה (אצבע ימין למעלה). - http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_1%7D פונה ימינה (אמה מכופפת ונוטה ימינה) - יוצא שהאגודל נכנסת לדף, וממבט על מערכת הצירים המשורטט אנו מסיקים שכיוון המומנט http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BM_1%7D הוא z-. עבור המומנט של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_2%7D: - http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR_2%7D פונה שמאלה (אצבע ימין שמאלה). - http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF_2%7D פונה כלפי מטה (אמה מכופפת ונוטה כלפי מטה) - יוצא שהאגודל יוצאת מהדף, וממבט על מערכת הצירים המשורטט אנו מסיקים שכיוון המומנט http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BM_2%7D הוא z+.

אני מנחש שאתה לא תמיד מקפיד לעבוד עם מערכת צירים בשלב הזה. עדיין תוכל לדעת בעזרת כלל יד ימין אם יש לך מומנטים בכיוונים מנוגדים (סימנים הפוכים). האגודל תצביע לכיוון אחד כשתחשב מומנט אחד ולכיוון ההפוך כאשר תחשב מומנט אחר.

כלל יד ימין מכיר? הבט על יד ימין שלך. מכיוון ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BM%7D=%5Cvec%7Br%7D%5Ctimes%5Cvec%7BF%7D אם r הוא וקטור שמצביע מנקודת הייחוס למיקום הגוף שלך, ניתן להתאים: 1. את r לכיוון שאליו מצביעה האצבע (השנייה מהאגודל) של יד ימין; 2. את F לכיוון שאליו מצביעה האמה (השלישית מהאגודל) של יד ימין, בתנאי שהיא מכופפת יותר מהאצבע (תצטרך להפוך את היד כדי להשיג את הקונפיגורציה המתאימה); 3. את M לכיוון שאליו מצביעה האגודל (מאונך לשתי האצבעות האחרות). ניתן למקם את הכיוונים האלו ביחס למערכת צירים קרטזית ימנית (סטנדרטית) אם מתאימים את יד ימין: 1. הכיוון החיובי של ציר x בכיוון האצבע 2. הכיוון החיובי של ציר y בכיוון האמה, כאשר היא מכופפת יותר מהאצבע ומאונכת ביחס אליה 3. הכיוון החיובי של ציר z בכיוון האגודל (שמאונכת לשתי האצבעות האחרות). אזי פעולה אחת עם יד ימין (נשמע מלוכלך אבל בכלל לא) תתן לך את כיוון המומנט ביחס לוקטורי המיקום והכוח; פעולה אחרת תאפשר לך לדעת את כיוון המומנט ביחס למערכת הצירים שלך, כל עוד תשמור על הזווית המתאימה בין כיווני הוקטורים בשני המקרים.

המממ.... אני לא יודע איזה קורס (או אולי מכינה?) אתה עושה. כתלות בקורס/מכינה אתה צריך לדעת או לא צריך לדעת לחשב מרכז מסה ומומנט התמד של גוף עם צפיפות לא אחידה. לגבי דוגמא, נניח שיש לך מוט אנכי דק במסה M שהצפיפות שלו היא פונקציה של הגובה: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Crho%20(y)=%5Cfrac%7B2yM%7D%7BL%5E2%7D קל לראות שהמוט אכן במסה M: http://www.codecogs.com/gif.latex?M=%5Cintop_0%5EL%5Crho(y)%5C,dy אבל מרכז המסה של המוט הזה לא באמצעו אלא קרוב יותר לקצה העליון, כי בקצה העליון הצפיפות גבוהה יותר: http://www.codecogs.com/gif.latex?y_%7Bcm%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7BM%7D%5Cintop_0%5EL%5Crho(y)ydy=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7DL וגם מומנט האינרציה ביחס למרכז המסה החדש יוצא שונה: http://www.codecogs.com/gif.latex?I%20=%20%5Cintop_0%5EL%5Crho(y)(y-y_%7Bcm%7D)%5E2%5C,dy=%5Cfrac%7B1%7D%7B18%7DML%5E2 במקרה הזה אתה פשוט צריך להסתכל על מרכז המסה החדש ולהתייחס אליו באותו אופן כמו שהתייחסת למרכז המסה של המוט האחיד (לחשב מומנט אינרציה מתוקן לפי משפט שטיינר והמרחק של ציר הסיבוב ממרכז המסה; לחשב אנרגיה פוטנציאלית של המוט כאנרגיה פוטנציאלית של מסה נקודתית שנמצאת במרכז המסה).

כן. כמו שכבר הסברתי, שימור התנע שכתבתי הוא בציר x בלבד. כאשר המסה הקטנה מגיעה לקצה העליון רכיב x של המהירות שלה זהה למהירות הכוללת של העגלה אבל המהירות הכוללת של המסה הקטנה שונה כי יש לה גם רכיב y שאני מוצא בסוף הסעיף מידיעת רכיב x (שאני יודע שזהה למהירות של העגלה) והמהירות הכוללת של המסה הקטנה (שמצאתי משימור אנרגיה). בסעיף ד' התכוונתי לכך שהמסה הקטנה תפגע בעגלה בדיוק בנקודה שממנה היא השתחררה, כי למסה ולעגלה, כאמור, מהירות משותפת בציר x (מהשחרור ועד לפגיעה).

1. אם המוט אחיד ניתן להתייחס אליו כאל מסה נקודתית M שממוקמת במרכז המסה לצרכי חישוב אנרגיה פוטנציאלית. 2. אתה יכול לבחור נקודת ייחוס לאנרגיה פוטנציאלית כרצונך אבל בכל מקרה מה שנשאר בסוף כפרמטר במשוואת האנרגיה שלך הוא השינוי בגובה של מרכז המסה. 3. אפשר לראות שבתחילת הבעייה מרכז המסה היה באותו גובה כמו הציר ובסוף הבעייה הוא היה נמוך מהציר (שלא זז) ב-L/4. מכאן שהפרש הגובה המתאים הוא L/4, לא L/2, ושימור האנרגיה המתאים הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DI%5Comega%5E2=%5Cfrac%7B7%7D%7B96%7D%20ML%5E2%20%5Comega%5E2%20=Mg%5Cfrac%7BL%7D%7B4%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Comega=2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B6g%7D%7B7L%7D%7D אם אתה צריך לחשב את המהירות הקווית של קצה המוט אתה מכפיל את המהירות הסיבובית במרחק של קצה המוט מהציר: http://www.codecogs.com/gif.latex?v=%5Comega%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3L%7D%7B4%7D=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7DgL%7D

תקנתי את הפתרון בעריכה כך שיהיה קונסיסטנטי

א. כן. בציר האנכי יש לך כח חיצוני - כבידה. ב. מה זה "שימור אנרגיה קינטית"? אתה מתכוון לשימור אנרגיה? מותר לך להשתמש בו (כל הכוחות שפועלים בבעייה משמרים או לא עושים עבודה), אבל הוא נותן לך רק משוואה אחת. אתה צריך להשתמש בשימור תנע. שים לב לא לשכוח את האנרגיה הפוטנציאלית שיש למסה הקטנה בקצה המדרון. סה"כ מתקבלות שתי משוואות: משימור תנע בציר x נובע (http://www.codecogs.com/gif.latex?u_2 היא מהירות העגלה כשהמסה הקטנה עוזבת אותה): http://www.codecogs.com/gif.latex?2m%5Csqrt%7BgR%7D=3mu_2+mu_2 http://www.codecogs.com/gif.latex?u_2=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7BgR%7D שים לב שהשתמשתי בהנחה שהמהירות של המסה הקטנה בציר x זהה לזו של העגלה בנקודת העזיבה כי אחרת המהירות של המסה הקטנה במערכת העגלה מכילה רכיב x, וזה לא ייתכן (הכח הנורמלי צריך לחסל אותה במערכת הזו). משימור אנרגיה: http://www.codecogs.com/gif.latex?2mgR=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmu_1%5E2+%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dmu_2%5E2+mgR ולאחר הצבת http://www.codecogs.com/gif.latex?u_2 וכינוס אברים מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?u_1=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B5gR%7D%7B4%7D%7D והרכיב בכיוון y של מהירות המסה הקטנה יוצא (מפיתגורס): http://www.codecogs.com/gif.latex?u_%7B1,y%7D=%5Csqrt%7BgR%7D ג. הכח הנורמלי חייב להיות אפס מכיוון שהוא התגובה לכח שמפעילה המסה הקטנה על הגדולה, ובקצה המדרון המסה הקטנה לא מפעילה שום כוח על הגדולה כי כל mg שלה פועל בכיוון המשיק למשטח. ד. מכיוון שהמהירויות בציר x של שתי המסות זהות בשיגור והחל מהשיגור לא פועלים עליהן כוחות בציר הזה, ברור שהמסה הקטנה תחזור בדיוק לאותה נקודה בנפילה. ה. שוב, לא ברור לי מהו שקול הכוחות בכיוון הרדיאלי שאתה מדבר עליו. אבל רכיב x של מהירות מרכז המסה קבוע בבעייה כי יש שימור תנע בציר הזה. ולכן אפשר לחשב אותו בכל זמן שהוא, ובפרט בנקודת העזיבה, שבה כבר מצאנו שהוא יוצא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csqrt%7BgR%7D ו. מוצאים את הוקטור מחישוב ההפרש הוקטורי בין וקטור התנע של http://www.codecogs.com/gif.latex?m_1 בעזיבה לוקטור התנע ההתחלתי שלה. אנחנו יודעים את שתי המהירויות אז קל לראות ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BJ_1%7D=%5CDelta%20%5Cvec%7Bp_1%7D=m%5Csqrt%7BgR%7D%7D%5C,%5Chat%7By%7D-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7Dm%5Csqrt%7BgR%7D%5C,%5Chat%7Bx%7D

זו צריכה להיות נקודת אוכף, אבל אין לי ממש דרך ריגורוזית להוכיח את זה מעבר לזה (כי ההסיאן מתאפס): - לפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B10%7D+y%5E%7B10%7D יש נקודת מינימום ב-(0,0) - לפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?xy יש נקודת אוכף ב-(0,0) (ומכאן גם ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3y%5E3 שהיא חזקה אי זוגית שלה ולכן לא שונה ממנה מבחינת התנהגות סימנים ברבעים השונים). - סכום של מינימום ואוכף נותן אוכף (כי המינימום סימטרי בכל הכיוונים והאוכף הורס את הסימטריה).

והנה דוגמא לדרישה השנייה (נגזרות מעורבות שונות) באדיבות גוגל ווולפרם: http://mathworld.wolfram.com/images/equations/PartialDerivative/NumberedEquation4.gif הנגזרות המעורבות פה אמורות לצאת 1- ו-1.

אלו שני דברים שונים. למשל, הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=x%5E%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%7D+y%5E%7B%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D%7D עונה על הדרישה הראשונה (C1 אבל לא C2) אבל לא על השנייה.

חשוב לא להתבלבל בין חישוב מומנט אינרציה לחישוב תנע זוויתי! - מומנט אינרציה מחושב תמיד ביחס לציר הסיבוב, ללא תלות בבחירת נקודת הייחוס לחישוב תנע זוויתי. לכן הוא מחושב סביב מרכז הדיסקה לפני ההתנגשות וסביב מרכז המסה החדש אחריה. - נקודת ייחוס לחישוב תנע זוויתי נבחרת בנפרד. במקרה שאין מומנטים חיצוניים יש חופש בחירה לגביה, אבל היא חייבת להיות אותה נקודה לפני ואחרי ההתנגשות. אחרת התנע הזוויתי פשוט יוצא שונה. - בבעייה הזו נוח לבחור את הנקודה הזו כמיקום מרכז המסה החדש, אבל כל נקודה על הקו המחבר בין מרכז המוט למרכז הדיסקה תעבוד (כי אז תבטיח ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?V_%7Bcm%7D מקביל ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?r_%7Bcm%7D והרכיב הקווי של התנע הזוויתי אחרי ההתנגשות http://www.codecogs.com/gif.latex?M_%7BTOT%7D%20r_%7Bcm%7D%20%5Ctimes%20v_%7Bcm%7D מתאפס, כמו גם הרכיב הקווי של התנע הזוויתי של הדסקה לפני ההתנגשות). - התנע הזוויתי במקרה זה נשמר עבור כל בחירת נקודת ייחוס, גם לא על הקו, כי אין מומנטים חיצוניים על המערכת. אם אתה בוחר נקודה מחוץ לקו המחבר יש רכיב קווי לתנע הזוויתי לפני ואחרי ההתנגשות (הם אמורים להתקנסל, מן הסתם...) והחישוב ארוך יותר.

http://www.codecogs.com/gif.latex?W=-%5CDelta%20U=U(0,1,1)-U(1,0,1)=0.5-1=-0.5%5C,J

אני מבין שאורך המוט http://www.codecogs.com/gif.latex?L=2R, וש-http://www.codecogs.com/gif.latex?m_1=m_2=M/2? לגבי מה שהם עושים, הם משתמשים במשפט שטיינר ביחס לציר סיבוב שעובר במרכז המסה החדש (של מערכת שלושת הגופים, שנמצא במרחק R/2 ממרכז הדיסקה/אמצע המוט). מומנט האינרציה של גוף ביחס לציר במרחק L ממרכז המסה שלו הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=I_0+ML%5E2 כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?I_0 הוא מומנט האינרציה ביחס למרכז המסה של הגוף הבודד המדובר. מה שהם עושים הוא להפעיל את משפט שטיינר בנפרד על הדיסקה ועל מערכת שני הגופים כדי לקבל את מומנט האינרציה של שניהם ביחס לציר הסיבוב החדש. http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BDisk%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DMR%5E2+M(R/2)%5E2=%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7DMR%5E2 http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7Bm1+m2%7D=2(%5Cfrac%7BM%7D%7B2%7DR%5E2+%5Cfrac%7BM%7D%7B2%7D(R/2)%5E2)=%5Cfrac%7B5%7D%7B4%7DMR%5E2

בקונטקסט של הדיון הנוכחי, לא התייחסתי להתאפסות של הנורמל כשלעצמה כאל "החלפת סימן". החלפת סימן זה מבחינתי רק אם יש נורמל נכנס במקום יוצא או ההפך. ...אתה צריך תחום מסביב לאפס או פאי כדי לראות שהנורמל אכן משנה כיוון ולא סתם מתאפס וחוזר להיות יוצא/נכנס כמו קודם. תחום שמכיל את אחת הנקודות בקצה אחד שלו לא יספיק בשביל לראות את זה.

לא הבנתי את השאלה בהקשר של הציטוט הנורמל מתאפס ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=0 וב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi כי הוא מחליף כיוון בנקודה הזו (עובר מפונה החוצה לפונה פנימה או ההפך).

אם נסכום את הכוחות שפועלים על המטען q שנמצא במיקום x המבוקש נקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B3q%7D%7Bx%5E2%7D-%5Cfrac%7B5q%7D%7B(x-40)%5E2%7D=0 אחרי צמצום q, העברת אגפים, היפוך ופתיחת הריבוע ניתן לקבל מכאן משוואה ריבועית ל-x: http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+120x-2400=0 למשוואה יש שני פתרונות, 17.46 ס"מ ו-137.46- ס"מ. דווקא הפתרון הראשון לא יכול להיות נכון (אם תשימי מטען חיובי בין שני המטענים הוא יידחף לכיוון המטען השלילי. את צריכה לשים אותו לפני החיובי), השני נכון. הטריק הוא שצריך לבדוק אחרי שפתרנו שיש התאמה בין הסימנים היחסיים של הכוחות במשוואה לסימנים והכיוונים של הכוחות בפועל, מכיוון שחוק קולון מתייחס תמיד לציר בין שני מטענים, וכתלות במיקום המטען, כיוון הציר הזה שונה או זהה עבור שני המטענים האחרים.

הנקודה הזו יוצאת נקודה מיוחדת בגלל הגדרת הקואורדינטות הפולריות ובגלל שאנחנו מסביב ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi (אם כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=0 במקרה המתאים מתנהגת אותו הדבר). תחום קטן מסביב לנקודה מתאים לטווח http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi-%5Cepsilon%20%5Cleq%20%5Cphi%20%5Cleq%20%5Cpi+%5Cepsilon. אם תסתכל על כיוון הנורמל בתחום הזה, תראה שבחצי ממנו הנורמל יוצא מן המשטח ובחצי ממנו הוא נכנס למשטח, ולכן בקו הגבול בין שני התחומים הוא חייב להתאפס. אין פה משהו עמוק יותר כגורם מהמחזוריות (ותכונות הסימטריה) של פונקציות טריגונומטריות, לדעתי. (כמובן שאם מגדירים את התחום שלנו כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?0%20%5Cleq%20%5Ctheta%20%5Cleq%202%5Cpi ו- http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cpi-%5Cepsilon%20%5Cleq%20%5Cphi%20%5Cleq%20%5Cpi הנורמל לא יחליף סימן ויישאר יוצא תמיד, אבל זה לא משנה את הנקודה העקרונית שב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cphi=%5Cpi הנורמל הופך מיוצא לנכנס ולכן חייב להתאפס שם. כי הוקטור הזה מורכב מפונקציות טריגונומטריות שהן רציפות וחלקות). אתה יכול גם לראות שהוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BR_%7B%5Ctheta%7D%7D מתאפס בנקודה (או אם תרצה, "מחליף כיוון") הזו ולוקח איתו את המכפלה הוקטורית.

גוזרים לפי מה? והאם שני המשתנים תלויים או בלתי תלויים?

על לא דבר :)