אודי

מכפלה סקלרית מקיימת את חוק הפילוג; מכיוון שאפשר לראות ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7BAD%7D=%5Chat%7BAB%7D+%5Chat%7BAC%7D בפרט נובע שהנגזרת המכוונת בכיוון AD היא סכום הנגזרות המכוונות בכיוונים AB ו-AC: http://www.codecogs.com/gif.latex?Df_%7B%5Cvec%7BAD%7D%7D(0,0,0)=%5Cnabla%20f(0,0,0)%20%5Ccdot%20%5Chat%7BAD%7D=%5Cnabla%20f(0,0,0)%20%5Ccdot%20(%5Chat%7BAB%7D+%5Chat%7BAC%7D) http://www.codecogs.com/gif.latex?Df_%7B%5Cvec%7BAD%7D%7D(0,0,0)=Df_%7B%5Cvec%7BAB%7D%7D(0,0,0)+Df_%7B%5Cvec%7BAC%7D%7D(0,0,0)=a+b ...החישוב הארוך היה נחוץ אם היו מבקשים לחשב את הנגזרת המכוונת בכל כיוון שאינו סכום או הפרש של AB ו-AC במישור xy

וקטורי היחידה המתאימים לנגזרות המכוונות הנ"ל הם: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7BAB%7D=%5Chat%7Bx%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7BAD%7D=%5Ccos%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5Chat%7Bx%7D+%5Csin%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5Chat%7By%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Chat%7Bx%7D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5Chat%7By%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7BAC%7D=%5Ccos%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5Chat%7Bx%7D+%5Csin%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%7D%5Chat%7By%7D=-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Chat%7Bx%7D+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5Chat%7By%7D (חישוב ארוך ולא באמת נחוץ בספוילר. לדרך הקצרה המשך להודעה הבאה)

חישוב ישיר? העקום שלך (x=1) הוא קו ישר שמקביל לציר y. זאת אומרת שכל מה שתצטרך לחשב הוא את האינטגרל על הרכיב השני של שדה (רכיב y, כי הוא מה שישאר מהמכפלה הסקלרית בהגדרה של העבודה), כלומר: http://www.codecogs.com/gif.latex?W=%5Cintop_%7B-1%7D%5E%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1+y%5E2%7Ddy=%5Carctan%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D-%5Carctan(-1)=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D--%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D=%5Cfrac%7B7%5Cpi%7D%7B12%7D

משפט גאוס נותן לך את השטף דרך מעטפת סגורה שכולאת את הנפח שלך. פה אתה צריך לחשב רק את השטף דרך החלק העליון של המעטפת הזו. למרבה המזל, החלק התחתון שלה הוא עיגול מסביב לראשית ברדיוס 3 במישור z=0, ואת השטף דרכו קל לחשב ישירות (כי הנורמל למשטח כלפי חוץ הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Chat%7Bz%7D ולכן יוצא שהשטף הוא מינוס שטח העיגול, http://www.codecogs.com/gif.latex?-9%5Cpi). לכן השטף דרך חצי הכדור הוא תוצאת משפט גאוס מינוס השטף דרך העיגול, כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?27%5Cpi.

האנרגיה הקינטית בנקודות ההתחלה והסיום של התנועה היא אפס. הגוף משוחרר בגובה H ממנוחה, ומגיע לגובה המקסימלי החדש שלו, h, כשהוא במנוחה. אחרת זה לא היה הגובה המקסימלי

...ולמקרה שגולש מפיסיקה 1מ' צופה בנו: תאוצת הקרון והמסה במערכת המעבדה היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D_%7Bsystem%7D=%5Cfrac%7BF%7D%7BM+m%7D%20%5Chat%7Bx%7D במערכת הקרון פועל על הבול כוח דלאמבר בכיוון ההפוך לתאוצה, כלומר: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BF%7D_D=-m%5Cvec%7Ba%7D_%7Bsystem%7D=-%5Cfrac%7BmF%7D%7BM+m%7D%20%5Chat%7Bx%7D משוואת הכוחות בכיוון המקביל למישור במערכת הקרון היא: http://www.codecogs.com/gif.latex?mg%20%5Csin%20%5Calpha-F_D%20%5Ccos%5Calpha%20=%200 כי המסה מצוייה בשיווי משקל. בחרתי את מורד המישור ככיוון החיובי של הציר. הצבה של הגודל של כוח דלאמבר (כאמור, במשוואה שכתבתי מופיע הגודל של הוקטור, את הכיוון התאמתי ידנית בעזרת הסימן) תתן: http://www.codecogs.com/gif.latex?mg%20%5Csin%20%5Calpha-%5Cfrac%7BmF%5Ccos%5Calpha%7D%7BM+m%7D%20=%200 בידוד של F ייתן את התשובה הסופית: http://www.codecogs.com/gif.latex?F=(M+m)g%5Ctan%5Calpha

בהנחה שהזרם שעוזב את המטען הנקודתי הוא איזהשהיא פונקצייה ידועה של הזמן שאינה נתונה מפורשות http://www.codecogs.com/gif.latex?I(t) ובהנחה שהזרם שיוצא איזוטרופי (סימטרי לכל הכיוונים) מצא את צפיפות הזרם במרחב (ליחידת שטח) צפיפות זרם היא וקטור שכיוונו הוא כיוון הזרם וגודלו הוא הזרם חלקי יחידת שטח חתך של המוליך. שטח החתך הרלוונטי פה הוא מעטפת כדורית ברדיוס r מהמטען הנקודתי, כי המוליך הוא כל המרחב ו"חתך" שלו הוא מעטפת כדורית. כמובן שלא שואלים על צפיפות הזרם בנקודה שבה נמצא המטען הנקודתי. היא מתבדרת (ולא מוגדרת היטב to begin with)

השאלה היא בפיסיקה 1 או בפיסיקה 1מ'? כי אם היא בפיסיקה 1, השאלה הזו לא בחומר של הקורס. מערכות מאיצות.

לפי מה שאני זוכר במשפט סטוקס האינטגרל המסלולי על העקום תמיד נגד כיוון השעון, כי זה הכיוון שבו השטח המכוסה חיובי או משהו דומה, אבל אני לא זוכר את הדריווציה של זה עריכה: אבל כן, אתה צודק. אם נותנים לך כיוון של הנורמל אז גם הכיוון של האינטגרל על העקום ברור מכלל יד ימין.

ב1. אע? רשמתי שהשטח שווה לסכום של שני אינטגרלים, כאשר האינטגרל הראשון מתאים לתחום הראשון שדברתי עליו והשני לתחום השני. 2. האינטגרל שאתה מביא עכשיו שונה מהאינטגרל ששמת בהתחלה.. כדי לגזור את האינטגרל הזה אתה באמת צריך את כלל לייבניץ, שבמקרה הספציפי הזה נותן: מכיוון ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?F(x)=%5Cintop_0%5E%7Bg(x)%7D%20f(t)%20dt http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20F(x)%7D%7B%5Cpartial%20x%7D=f(x)g'(x)=(6+%5Ccos(x%5E2))(2x-2)

1. אם תשרטט את התחום הזה תראה שעד לנקודת החיתוך בין y=1/x ל-y=9x (כלומר, x=1/3) אתה צריך את השטח בין y=x/4 ל-y=9x ומהנקודה הזו ועד לנקודת החיתוך בין y=1/x ל-y=x/4 (כלומר, x=2) אתה צריך את השטח בין שתי העקומות האלו, כלומר האינטגרל שלך הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?S_D=%5Cintop_0%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D(9x-%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D)dx+%5Cintop_%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%5E2(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7Bx%7D%7B4%7D)dx ההמשך טריוויאלי. 2. אני לא רואה פה חוכמות מיוחדות. כדי לחשב את פיתוח טיילור אתה צריך לגזור את האינטגרל. המשפט היסודי של החדוו"א יספיק פה, לא צריך את כלל לייבניץ, מכיוון שלפי המשפט הזה, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?h(t) הוא האינטגרנד ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?H(t) הוא הפונקצייה הקדומה שלו: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cintop_0%5Exh(t)%5C,dt=H(x)-H(0) ומכאן: http://www.codecogs.com/gif.latex?f'(x)=H'(x)=h(x)=%5Ccos(x%5E2+7x) את שתי הנגזרות הבאות אתה מוצא באמצעות גזירה ע"י שימוש בכלל השרשרת. מייגע, אבל לא מתוחכם. אתה יכול לראות ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?f''(0)=0 מכיוון שיש לך שם סינוס של אפס. רק http://www.codecogs.com/gif.latex?f'''(0) יצא שונה מאפס.

אה, לא ראיתי שזה רק רבע, כתבתי את האינטגרל על מסלול סגור :oops: תקנתי את ההודעה הראשונה. ...בכל מקרה, אם זה רק רבע עדיף כבר לעבוד עם פונקציית הפוטנציאל שמצאת בסעיף ב' כדי לחשב את האינטגרל בא'. מכיוון שהתנועה נגד כיוון השעון נובע ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=U(0,1)-U(1,0)=3-2=1

כפל. אין צורך לשאול פעמיים, עניתי בשרשור השני

א. שוב, כדאי להשתמש במשפט גרין. אם גוזרים את השדות פה שוב רואים מייד ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20x%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20y%7D=6y%5E2 ולכן האינטגרל הקווי והמשטחי מתאפסים זהותית בכל מסלול סגור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20(Pdx%20+%20Qdy)=%5Cintop%20%5Cintop(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%5C,dx%5C,dy=0 ולכן השדה משמר. כדי למצוא את האינטגרל המבוקש כדאי לחשב פונקציית פוטנציאל (שממילא צריך) ולא לחשב אותו ישירות. ב. את פונקציית הפוטנציאל מוצאים מהשוואת אינטגרל לפי x של P לאינטגרל לפי y של Q: http://www.codecogs.com/gif.latex?2xy%5E3-2x%5E2+h(y)=2xy%5E3+3y%5E4+g(x) מכאן ברור כי: http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x)=-2x%5E2 http://www.codecogs.com/gif.latex?h(y)=3y%5E4 ולכן סה"כ: http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x,y)=3y%5E4-2x%5E2+2xy%5E3+Const.

משתמשים במשפט גרין. האינטגרל הקווי על כל המשולש שווה לאינטגרל המשטחי על המשולש עבור הפרש הנגזרות של הפונקציות שלך: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20(Pdx%20+%20Qdy)=%5Cintop%20%5Cintop(%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20x%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20y%7D)%5C,dx%5C,dy אבל אם אתה גוזר את הפונקציות שלך כראוי (כלל השרשרת) אתה מקבל ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20Q%7D%7B%5Cpartial%20x%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20P%7D%7B%5Cpartial%20y%7D ולכן האינטגרל המשטחי מתאפס ואיתו האינטגרל הקווי על כל המשולש (כשאתה משלים אותו במגמה קבועה): http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BCB%7D%20+%20I_%7BBA%7D+I_%7BAC%7D%20=0 מכיוון ש: http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BAC%7D=2 http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BBA%7D=-1 נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BCB%7D=-1

לא ממש. כשאתה עושה אינטגרציה לפי x לנגזרת של פונקצייה של שני משתנים יש לך פונקצייה לא ידועה של y במקום קבוע אינטגרציה, מכיוון שהפונקצייה הלא ידועה הזו נעלמת בגזירה לפי x. אין שום צורך לדרוש שהפונקציות h ו-g יהיו מספרים קבועים. הן צריכות להיות פשוט פונקצייה של המשתנה השני ואז הן יתאפסו בגזירה לפי המשתנה הראשון. יש מצב שלא הבנת את מה שנאמר בהרצאה או שבהרצאה ניתנה דוגמא ספציפית שהכללת ממנה בטעות.

למה אתה גוזר את האינטגרל שעשית לפי x לפי y? אתה צריך להשוות את האינטגרל לפי x לאינטגרל לפי y: http://www.codecogs.com/gif.latex?U=%5Cintop%20F_x(x,y)%5C,dx=%5Cintop%20F_y(x,y)%5C,dy http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E5+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln(1+x%5E2+y%5E2)+h(y)=y%5E5+y+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln(1+x%5E2+y%5E2)+g(x) ומפה נובע מייד: http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x)=x%5E5 http://www.codecogs.com/gif.latex?h(y)=y%5E5+y וסה"כ: http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x,y)=x%5E5+y%5E5+y+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cln(1+x%5E2+y%5E2)

מכיוון שכדי לחשב את האינטגרל הזה עבור פונקצייה כלשהיא אתה צריך להמיר את x ו-y בקואורדינטות פולריות, הייתי מוותר מראש על הניסיון למצוא פונקציות מתאימות של x ו-y ומתרכז בפונקצייה כלשהיא של z. בנוסף, אני אנחש שפונקצייה ליניארית הולכת להספיק ואין צורך באיבר ריבועי, ולכן אני אאפס את כל המקדמים פרט למקדם החופשי ולמקדם של z, שאסמנו ב-a. הניחוש הראשוני שלי הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y,z)=az-4 כאשר האיבר החופשי נקבע על מנת לקיים את הדרישה על הפונקצייה בראשית. חישוב של האינטגרל נותן לי (אחרי שביצעתי את האינטגרל ב-x ו-y שהוא פשוט שטח עיגול ברדיוס 2): http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cintop_0%5E1%204%20%5Cpi%20(az-4)%5C,dz=2%5Cpi%20a-16%5Cpi=10%5Cpi נובע a=13.

האינטגרל ב-x ו-y הוא אינטגרל על שטח העיגול: http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=1+%5Csin%5E2%20z אפשר לעשות את הטרנספורמציה לקוארדינטיות פולריות, אבל ברור שהשטח של העיגול הזה הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?S=%5Cpi%20R%5E2%20=%20%5Cpi%20(1+%20%5Csin%20%5E2%20z)=%5Cpi%5Cfrac%7B3-%5Ccos%20(2z)%7D%7B2%7D כשהשתמשתי בזהות הטריגונומטרית שנובעת מ: http://www.codecogs.com/gif.latex?1-2%5Csin%20%5E2%20z%20=%20%5Ccos(2z) עכשיו נותר לעשות אינטגרל על S בין מינוס שני פאי לשני פאי, ומכיוון שהאיבר השני מחזורי כל מה שנשאר הוא האיבר הראשון כפול ארבע פאי, כלומר: http://www.codecogs.com/gif.latex?I=6%5Cpi%5E2

אוקי, נראה לי שהבנתי מה מקור הטעות שלי (תודה בוריס). את ההספק החשמלי צריך לחשב כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?P_%7Be%7D=IV_0 ולא כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?P_%7Be%7D=I%5E2R, ואז מתקבל: http://www.codecogs.com/gif.latex?P_%7Be%7D=%5Cfrac%7BmgV_0%7D%7BBL%7D http://www.codecogs.com/gif.latex?P=100%5Ctimes(1-%5Cfrac%7BP_e%7D%7BP_0%7D)=100(1-%5Cfrac%7BmgR%7D%7BBLV_0%7D) כלומר, ההספק החשמלי נובע ממתח ההדקים בלי להתחשב בכא"מ המושרה שרק מקטין את הזרם ולא משנה את המתח על הקטע הזה (?). תקנתי גם את ההודעה המקורית.

כן.

אני לא יודע, עבר די הרבה זמן מאז שפתרתי הרבה תרגילים מהסוג הזה, אני לא זוכר מה היה נוח יותר תחושת הבטן שלי אומרת שזה לחלוטין תלוי בנקודות שבהן אתה צריך לחשב את השדה. אם תטא זווית ישרה, למשל, כנראה שיהיה נוח יותר לעבוד עם הביטוי הפולרי. אבל כאמור זו תחושת בטן

השדה נראה אותו הדבר, אתה רק צריך להחליף את r בביטוי הגיאומטרי המתאים שמבטא את המרחק של הנקודה שלך ממרכז הגליל החדש, נסמן אותו ב-a. אם מתקיים (ממשפט הקוסינוסים והקונפיגורציה שאתה מתאר): http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E2=d%5E2+r%5E2-2dr%5Ccos%5Ctheta אזי: http://www.codecogs.com/gif.latex?a=%5Csqrt%7Bd%5E2+r%5E2-2dr%5Ccos%5Ctheta%7D ו: http://www.codecogs.com/gif.latex?B=%5Cfrac%7B%5Cmu_0%20I%7D%7B2%20%5Cpi%20%5Csqrt%7Bd%5E2+r%5E2-2dr%5Ccos%5Ctheta%7D%7D%5C,%5C,%20%7C%5C,%5C,%20a http://www.codecogs.com/gif.latex?B=%5Cfrac%7B%5Cmu_0%20I%5Csqrt%7Bd%5E2+r%5E2-2dr%5Ccos%5Ctheta%7D%7D%7B2%20%5Cpi%20R%5E2%7D%5C,%5C,%20%7C%5C,%5C,%20a%20%5Cleq%20R

לא, כי התאוצה שלו היא אפס. מה המספר שהזנת?

(עריכה: הפתרון תוקן) הזרם דרך המוט נובע מהסוללה ומהכא"מ המושרה, והוא כזה שיאפס את סכום הכוחות על המוט: http://www.codecogs.com/gif.latex?BIL-mg=0 http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cfrac%7Bmg%7D%7BBL%7D ההספק של המעגל הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?P_%7Be%7D=IV_0=%5Cfrac%7BmgV_0%7D%7BBL%7D ההספק הכולל של הסוללה הוא: http://www.codecogs.com/gif.latex?P_0=%5Cfrac%7BV_0%5E2%7D%7BR%7D ההספק המבוזבז מכנית (על דחיפת המוט ימינה במהירות קבועה) הוא ההפרש שלהם: http://www.codecogs.com/gif.latex?P_m=P_0-P_%7Be%7D וכדי למצוא את האחוז המבוקש את צריכה לחלק את התוצאה הזו בהספק של הסוללה ולהכפיל במאה (כדי לקבל תוצאה ביחידות של אחוזים): http://www.codecogs.com/gif.latex?P=100%5Ctimes(1-%5Cfrac%7BP_e%7D%7BP_0%7D)=100(1-%5Cfrac%7BmgR%7D%7BBLV_0%7D)