incog

לכל מספר... שימי לב כמובן שהתוצאה תהיה מחזורית (החבורה סופית ולכן אם הסדר של התמורה הוא n אז מתקיים שסיגמא בחזקת k+n שווה לסיגמא בחזקת k...)

לא, את צריכה לחשב את החזקות של התמורה (כלומר את סיגמא הרכבה עם סיגמא, סיגמא הרכבה עם סיגמא הרכבה עם סיגמא וכן הלאה...)

תסתכל על הבעיה הבאה: מספר האפשרויות להושיב את אדם 1 בכיסא 1, אדם 2 בכיסא 2,..., אדם n בכיסא n כך שכל האנשים לא יושבים בכסאותיהם. אז ברור שמספר האפשרויות הזה הוא 0. מצד שני מספר האפשרויות להושיב את אדם 1 בכיסא 1 וכו' הוא - 1 (כלומר ה'עולם' שלך) והבעיה זהה ל: מספר האפשרויות להושיב אדם i בכסא i פחות מספר האפשרויות שקיים מישהו שיושב בכיסאו. וכעת קל להמשיך מכאן...

1) כן: אם תכפילי פולינום עם מקדם חופשי b ב- (x-2) אז המקדם החופשי שיהיה לך הוא 2b מכיוון שכל החזקות אי זוגיות בפרט 2b=0 ולכן בהכרח b=0 2) שימי לב ש- (x-2) כפול הפולינום שלך ממעלה 4 לא נמצא בתת המרחב. כלומר כל הפולינומים שאת מתעסקת אתם הם ממעלה קטנה שווה ל-4 (לכן זה כן תת מרחב של כל הפולינומים ממעלה 4) , זה שהקריטריון לבדיקה מצריך ידע מחוץ למרחב? אז מה, זה בסדר.

מכיוון ש: 244=4*61 (כש- 61 ראשוני), משפט השאריות הסיני אומר ש: z*_244 איזומורפי ל- z*_61XZ*_4 (על ידי האיזומורפיזם שפשוט שולח ל- a_mod z_i). בפועל מה שזה אומר זה שאם תמצאו מה הסדר של 3 ב- z*_4 וב- Z*_61 , אז הסדר שלהם ב- 244 יהיה פשוט ה- LCM של מה שיצא לכם. בכל אופן אחרי שפתרתי את התרגיל גיליתי שאין צורך במשפט השאריות הסיני: מכיוון ש-3 בחזקת 5 שווה ל- 243 שזה שווה למינוס 1 מודולו 244. אזי 3 בחזקת 10 שווה למינוס 1 כפול מינוס 1 מודולו 244 שזה שווה ל-1. לכן אתם יודעים שהסדר של 3 חייב לחלק את 10, מכיוון שהמספרים היחידים שמחלקים את 10 הם: 10,5 ו-2 ואתם יודעים כבר שהסדר של 3 הוא לא 5 ולא 2 אז בהכרח הוא שווה ל-10.

משפט השאריות הסיני...

האם יש אפשרות להפנות את תשומת ליבו של משתמש כלשהו להודעה מסוימת? נניח שזה יופיע לו בהתראות?

כן אתה צודק הדלתא (כלומר אורך הקטעים) הוא לא אחד חלקי n כמו שכתבתי אלא הוא: i+1)^2-i^2) לחלק ל- n^2 שזה שווה ל: 2i+1 לחלק ל-n^2 ועכשיו דברים אמורים להסתדר לך כמו שצריך...

פשוט צריך קצת 'להתחכם' ולבחור סדרת חלוקות יפה שתתאים לפונקציה P_n=0,1/n^2 ,4/n^2, 9/n^2...,1 כעת מהו סכום דארבו העליון והתחתון עבור חלוקה זו? מכיוון ש- f מונוטונית עולה אז סכום דארבו העליון יהיה: סכום של: f(i^2/n^2)1/n^2 כש- i רץ מ-1 עד n והתחתון: f(i^2/n^2)1/n^2 כש- i רץ מ-0 עד n-1 תחשב את הסכומים הללו (הם דיי פשוטים). כעת תשאיף את n לאינסוף ותקבל שהסדרה של הסכומים העליונים והסדרה של הסכומים התחתונים שואפת לאותו מספר (שאמור לצאת כמובן הערך של אינטגרל של שורש x בקטע) ולכן סכום דארבו עליון שווה לסכום דארבו תחתון שווה למספר הזה.

אקספוננט: e^it=cost+isint

כל איבר על מעגל היחידה הוא מהצואה: e^it כך ש- t בין 0 ל- 2pi הכפלה של e^it ב- eiz תתן e^i(z+t) d כלומר אם בהתחלה הזווית היתה t אז כשהכפלנו ב- e^iz סובבנו ב- z מעלות והעברנו את e^it ל- e^i(z+t) כעת איבר ב- kn בעצם אפשר לזהות אותו עם כפולה של הזווית 360 לחלק ל-n לכן אם xy^-1 נמצא ב-kn זה אומר שהם באותו קוסט של Kn לכן הפרש הזווית ביניהם הוא כפולה של 360 לחלק ל-n. קצת קשה להסביר את זה במילים (קל מאוד לראות זאת בסרטוט).

שימי לב שאם z^n=1 אזי: |z^n|=|1| אבל |1|=1 ו- z^n|=|z|^n| לכן: z|^n=1| ומכיוון ש- |z| זהו איבר ממשי חיובי אז בהכרח |z|=1| כלומר זהו אכן איבר ב-G

באיזה חלק הסתבכת. בחלק הראשון פשוט תראי לפי הגדרה, לגבי הסדר, מה את יכולה להגיד על e^2pi/n ? בחלק ב' שוב פעם צריך על פי הגדרה והפירוש הגאומטרי שימי לב שאם xy^-1 שייך ל- Kn זה אומר שקיים איזשהו j כך ש: x=ye^2jpi/n כלומר y הוא סיבוב של x ב- 360j/n מעלות.

המשפט אומר שחוג הממשיים מודולו 100 איזומורפי לחוג הממשיים מודולו 4 כפול חוג הממשיים מודולו 25. די קל לדעת מה המספר הזה מודול 4 ומודולו 25 (מודולו 25 צריך לחשב קצת יותר). אחרי שיש לך את זה אתה יכול (בעזרת האיזומורפיזם שהוא כמובן פשוט ודיי ידוע) לקבל את המספר מודולו 100.

את יכולה להשתמש במשפט השאריות הסיני

אין לי הרבה זמן (אם תרצה אוכל להאריך בצאת שבת) 1) אני חישוב שלימודי המתמטיקה גורמים לך לחשוב בצורה אחרת יש הרבה קורסים שבהם אתה פתאום נתקל בתוצאות ממש מפתיעות ולא אינטואיטיביות. 2) היה סביר, ציפיתי שיהיה הרבה יותר קשה (אבל ממש הלחיצו אותי לפני שהגעתי לטכניון וסיפרו לי כל מיני סיפורי אימים) סיימתי עם ציון גבוה (לא רוצה לכתוב ציון ספציפי אבל זה היה בהצטיינות). 3) אין לי זמן לפרט לכן ראה 1. 4) בחרתי בלימודי מתמטיקה כי אהבתי פילוסופיה וחשבתי שזה שלב הכרחי, מאז עברו הרבה מים בנהר... 5) כן, זה חשוב מאוד. אם יש לך אפשרות תעשה מתמטיקה עם מדעי המחשב. אם יש לך עוד שאלות אשמח להשיב (אני סיימתי תואר ראשון וכרגע דוקטורנט במתמטיקה).

לא, אני מתכוון ש-x מורכבת בעצם מ'הדבקה' של אינסוף חתיכות של פונקציות שונות. תחלק את הישר לאינסוף קטעים (מ- n עד n+1 לכל n טבעי) וכעת בקטעים הללו תגדיר את הפונקציה להיות f(x)=x/n כלומר אם x נמצא בין 5 ל-6 אז f(x)=x/5 , אם לעומת זאת x בין 100 ל-101 אז f(x)=x/100 וכן הלאה... אז שוב, זו אינה פונקציה רציפה, אבל אפשר 'לשפץ' אותה בצורה כזו שתהיה רציפה ועדיין האינטגרל יתבדר.

אני אסתכל רק על צד אחד (כלומר אינטגרל מ-0 עד אינסוף ובאינסוף יש התכנסות לאיזשהו קבוע), כמובן שאפשר להכליל את זה בקלות לשני צדדים. תסתכל על הפוקנציה: f(x)=x/n when n-1<x<nטוב, אז אני קצת 'משקר' כי הפונקציה הזו היא לא רציפה.אבל אפשר בקלות להפוך אותה לרציפה כך שהכל יעבוד כמו שצריך (אתה לוקח קטעים הולכים וקטנים סביב n ומשתמש בהם כדי להפוך אותה לרציפה, ומכיוון שמדובר בשאלת התכנסות אינטגרל הקטעים האלה לא ישפיעו יותר מידי אם הם יהיו מספיק קטנים ולא 'תשתולל' יותר מידי). כעת שים לב שהפונקציה הזו שואפת ל-1 כש- x שואף לאינסוף.כמו כן מאדיטיביות אתה יכול לפרק את האינטגרל לסכום האינסופי של האינטגרלים מ- n-1 עד n ובקטעים האלה: f(x+1)-f(x)=1/n ולכן האינטגרל בקטע גם כן שווה לזה.לכן סה"כ תקבל שהאינטגרל על הפונקציה f(x+1)-f(x) שווה לסכום של הטור ההרמוני והוא לא מתכנס.

אם זה כל מה שנתון אז אני חושב שיש טעות בשאלה ויש לי דוגמא נגדית.

מה הקטע לעשות פוליטיזציה של המצעד וללבוש חולצות של מפלגות כאלה ואחרות? אני החלטתי השנה בעקבות שיחה קשה שהייתה לי עם חברים, שאני אעשה מאמץ ואשתדל להגיע למצעד הגאוה בירושלים.

Áve María, grátia pléna, Dóminus técum. Benedícta tu in muliéribus, et benedíctus frúctus véntris túi, Iésus Sáncta María, Máter Déi, óra pro nóbis peccatóribus, nunc et in hóra mórtis nóstrae. Ámen. "שים לי פה עוד בלאדי מרי אחד" צעקתי לברמן שעמד לידי. הוא חייך לעברי: "לא הספיקו לך שלושת הקודמים?!" אך המבט התקיף שנעצתי בו לא הותיר עוד מקום לספקות, הוא הכין את המשקה בזריזות והסתלק בלי להוסיף אף מילה. זה היה עוד ערב שגרתי, שיטוטים אינסופיים בבר אפל והכל בשביל לספק תשוקות קמאיות. האם העונג המיוחל משתווה לסבל הכרוך בדרך? קולות בני נוער שתויים חלחלו לאוזניי מאחד השולחנות הסמוכים, היה זה בליל מילים ריקות מתוכן, פטפוט חסר שחר שנקטע מידי פעם באכזריות בצחוק פרוע שלא הכיל אף שמץ של הנאה, כל כולו היה פחד מפני הדממה. כן, קבעתי בהחלטיות- הייסורים הם כאין וכאפס לעומת העונג הצפוי. הרמתי מעט את המיני וחשפתי לעיני כל את רגליי החטובות. בצד השני של הבר ישב אדם ממושקף לבוש בחליפה שחורה עם עניבה תואמת. לבטח בחוץ, באוויר הפתוח, באור השמש לצד אשתו התמירה ושתי בנותיו התמימות, הוא מקרין סמכותיות אצלית. אך כאן מבעד לאורות העמומים והמלאכותיים, באוויר המחניק של הבר כשהעניבה תלוייה ברישול על צווארו ומבטו החלול שקוע בכוס הריקה שעמדה לפניו, כל מה שנותר זו צללית מעוררת רחמים. חייכתי לעברו חיוך מזמין ומפתה אך הוא כמובן שלא הבחין וגם אם הבחין לא היה בו את הכוח לפעול. הקרחת פשתה בראשו, המאבק היה על סף הכרעה כשרק אותות אחרונים של חיות, עוד נותרו בצדעיו. היו אלה איים מבודדים שעמדו בגבורה תחת המצור וחיכו ביאוש לכליון הבלתי נמנע שעמד לכלותם. הוא היה הטרף המושלם, חיככתי את ידי בהנאה, היטבתי את מחשופי הרחב וניגשתי לעברו. "אומרים שהאומלל ביותר הוא המאושר ביותר והמאושר ביותר הוא האומלל ביותר. לפי המבט שלך כרגע החיים שלך לבטח מושלמים." התיישבתי בכיסא לידו בלי לבקש את רשותו, הוא הסתכל עליי במשך כמה דקות בפליאה ולאחר שסקר אותי מכף רגל ועד ראש השפיל את מבטו ופצה את פיו. הוא החל לספר על שלל צרותיו. הוא דיבר באריכות על אשתו הנפלאה ובנותיו המקסימות שהוא לא מסוגל יותר לשהות במחיצתן, לכן הוא קובר את עצמו בעבודה ומתרוצץ כל היום. הוא סיפר על העבודה הבנאלית והמשעממת שחונקת אותו וכך המשיך לדבר עוד ועוד במשך הרבה מאוד זמן. אני איבדתי ריכוז מהר מאוד, שמעתי את המילים הללו כבר כל כך הרבה פעמים שיכולתי לדקלם אותן כבר בעל פה. עטיתי על עצמי מבע מלא אמפתיה והתבוננתי בו בעיניי הגדולות המעוררות אמון בזמן שמחשבותיי שוטטו להן למקומות אחרים. כשתודעתי שבה לפאב, הבחנתי שהוא השתתק ובוהה בי, הושטתי את זרועי, ליטפתי את ידו בעדינות והוספתי עוד כמה מילות נחומים. צחוק שובב וילדותי נפלט מגרוני, "בוא, בוא נצא קצת לאוויר הפתוח, זה יעשה לך טוב." משכתי אותו בזרועו. הוא היסס לרגע, אך הנחישות שלי הכניעה ויצאנו יחדיו מהבר. השינוי היה חד ומהיר, האוויר המחניק עפוף עשן הסיגריות של הפאב התחלף במשב רוח חורפי שצינן את פני הסמוקות. פסעתי בצעדים קלים זוקפת את ראשי, מנסה לעמוד פנים אל פנים מול הרוח החזקה שהסתערה עלינו בין הסימטאות הצרות. הוא נע לצידי מנסה להדביק את הקצב, הוא הרים את כתפיו והשפיל את ראשו על מנת שיוכל להסתיר כמה שיותר משטח פניו תחת צווארון מעילו הארוך. לאחר כמה דקות של הליכה מהירה, הצבעתי אל עבר בניין מגורים ישן ונכנסתי אל חדר המדרגות מתנשפת במהירות מההתרגשות וממאמץ ההליכה. הוא נכנס בעקבותי ועמד בדממה משפיל את מבטו לקרקע. עלינו לדירה שלי, הוא עמד בפתח בהיסוס, הייתי צריכה להאבק איתו על מנת להשיל ממנו את מעילו ולבסוף לאחר הפצרות רבות ומילים עדינות הוא הרפה. [מחדר השינה נשמעה נביכה רמה, ומייד לאחריה זינק לעברי גוש פרווה גדול והחל ללקק את כפות ידיי. הוא נרתע באינסטנקטיביות והסתתר מאחורי. "שעירי, מתוק שלי התגעגעת לאמא? היום תצטרך לישון לבד בפינת המטבח. עכשיו תשב בשקט בפינה ואל תפריע לאמא."] ניגשתי בעצלתיים להפעיל את התנור וכעבור זמן קצר חזרתי עם שני ספלי קפה. הוא עדיין עמד קפוא במקומו, המראה שעשע אותי וצחוק קליל פרץ מגרוני. נראה שהצחוק הפשיר אותו, הוא ניגש אל השולחן ולגם מהקפה החם, אך ידיו רעדו וטיפות מהמשקה פגשו את המפה הלבנה. חלחלה אחזה בי ונראה שהוא הבחין בזאת ומיד התנצל. עיניו תרו אחר אביזר שבאמצעותו יוכל לכפר על חטאו, אולם מיהרתי לעטות על עצמי בחזרה את חיוכי וליטפתי את זרועו השעירה. הוא נרגע והחל לדבר על חטאים, קולו היה חלש וכנוע חצאי הברות מבודדות נקלטו בראשי. בפתאומיות קמתי ממקומי, נשקתי לו על מצחו הקרח ומשם ירדו שפתי דרך אפו הגבנונני הישר אל שפתיו הסדוקות. במאמץ אדיר התגברתי על תחושת הקבס ובלעתי את מיצי הקיבה שהחלו לעלות. כאב איום פילח את גרוני, זרם של אש ירד והתפשט בגופי חורך את קרביי, דמעות גדולות זלגו מעיניי וטישטשו את ראייתי. הוא היה עסוק בלנשק את כל גופי, נראה שלא הבחין בשום דבר. תחושותיי הלכו וקהו ,התודעה התנתקה וריחפה אל מקום שבו לגוף לא הייתה דריסת רגל, מקום שבו שלטה השכחה העצמית, הדממה המאושרת. רק מידי פעם הרחק באופק בעולם אחר ואפל התנוצצו להן עיניים חייתיות שהפרו את השלווה. איני יודעת כמה זמן עבר, אך כשחזרתי להכרה ופקחתי את עיניי מיד קלטתי את ראשו הקירח. הוא גהר מעליי כשחיוך רחב משוח על שפתיו וידיו הגדולות עוטפות אותי ברוך. קפצתי בבהלה, "מה אתה עושה פה לעזאזל?" הוא הביט בי בפליאה, והחל לגמגם "האם את לא... לא זה לא יתכן... האם את לא זוכרת את הלילה?" השבתי לו בתקיפות: "אתה לא צריך להזכיר לי, אני זוכרת הכל. סיימת את תפקידך ועכשיו הסתלק!" לקח זמן עד שהוא עמד על טיב המילים, הוא נעמד המום בלי להבחין בכלל שהוא ערום ובהה בי בתדהמה. "תסתלק! תסתלק עכשיו ומייד!" צרחתי והעפתי לעברו את בגדיו ונעליו. הוא התלבש במהירות ותוך כדי מלמל לעצמו "מה קרה לך? היית כל כך עדינה ומקסימה, זה לא יתכן." שמתי על עצמי חלוק וגררתי אותו אל הכניסה, הוא לא התנגד וכשהגענו לדלת רק שאל לשמי. "מריה" השבתי לו, דחפתי אותו החוצה וטרקתי את הדלת אך מילותיו האחרונות עוד הספיקו לחדור מבעד לסדק: "התפללי בעדי, החוטא". הלכתי במהירות למקלחת ועמדתי תחת המים החמים. כתמים לבנים זיהמו את ירכיי, קירצפתי את גופי עם סבון ריחני שטמן בחובו גרגרי פילינג זעירים- לשווא, הלכלוך הלבן דבק לגופי וסרב להרפות. רצתי אל המטבח וחזרתי עם סקוץ' בעל סיבי ברזל. שיפשפתי בחוזקה את גופי, שכבת העור התקלפה ודם החל להתערבב עם זרם המים, המראה האדום עודד אותי, התענגתי על תחושת השריפה שעקצצה את גופי. זרם המים נפסק וכעת היה זה רק זרם של דם ששטף אותי. הוא הסיר בקלות את הלכלוך, זהו, כעת הכל עבר- "אם יהיו חטאיכם כשנים כשלג ילבינו אם יאדימו כתולע כצמר יהיו" מילמלתי לעצמי. סדר העבודה:

טוב, אז כאן רחוק מעיני כל איש אך עם זאת נגיש לכולם, אני ארכז דברים שהתחלתי לכתוב והרבה זמן אני מתכוון לגשת אליהם ולא יוצא לי (חלקם כמעט אבד זכרם). אולי זה ידרבן אותי לעבוד עליהם ולהשלים אותם. מי שרוצה מוזמן להגיב, אבל רוב הדברים צריכים כמובן המון עיבוד והם רק בשלבים הראשונים.

לגבי ד': זה אותו דבר כמו מספר האפשרויות של פתרון המשוואה: x_1+x_2+x_3+x_4=100

השיוויון בא"ש הממוצעים מתקיים אמ"מ כל המספרים שווים (זה לא המקרה כאן) , לכן אי שיוויון הממוצעים יתן לך קטן ממש ולא קטן שווה.

אין צורך בשום אינדוקציה, כמו שנאמר פה תיקחי שורש n משני האגפים ואז באגף שמאל תקבלי: שורש n של (1*2*3...*n) ועל פי אי שיוויון הממוצעים את יודעת שזה קטן מ- 1+2+..+n לחלק ל- n שזה שווה בדיוק למה שכתוב באגף ימין.