מנוי

ההגדרה של טור אינסופי זה גבול של סדרת הסכומיים החלקיים של הטור. אז הכול סובב סביב אותו הדבר. כלומר הטענה היא שברגע שיש לך סדרה של פונקציות שמתכנסת במידה שווה לאזשהי פונקציה גבולית(במקרה של טור פונקציות אינסופי יש לך סדרת סכומיים חלקיים של הטור שזה בעצם סדרה של פונקציות שמתכנסת לאיזשהי פונקציה), אפשר להפעיל אינטגרל על הפונקציה הגבולית ולקבל את שוויון של האינטגרלים כפי שמפורט בודיאו האחרון בדקה 37:00. השאלה שלי למה הדרישה היא שההתכנסות תהיה במידה שווה. (במקום אחר יש הוכחה שבמקרה ומדובר על טור של חזקות ***עריכה*** שמתכנס לאזשהי פונקציה גבולית ההתכנסות תמיד תהיה במידה שווה) ברגע שהמשפט שמופיע בהרצאה הזאת בדקה 37:00 מוכח, יש לך בצד אחד תמיד אינטגרל על מספר סופי של איברים, ואז ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולקבל שאיטנגרל על הפונקציה הגבולית זה למעשה הגבול של סדרת הסכומיים החלקיים של האינטגרלים. אני רק לא מבין למה בהוכחת המשפט הזאת יש דרישה שההתכנסות של סדרת הפונקציות לפונקציה הגבולית תהיה במידה שווה.

א. לא זכרתי את הקטע הזה לגבי טורים אינסופיים. טעות שלי. ב. אני חושב שהבנתי למה. שים לב שבשוויון בשורה הראשונה מחליפים את סדר הסכימה והאינטגרציה עבור מספר סופי של אברים, לא עבור כל הטור אינסופי. נשאר להם טור אינסופי בתוך האינטגרל, אבל הוא מתחיל מנקודה מאוחרת יותר. כל עוד הם מחליפים את הסדר עבור מספר סופי של איברים השוויון תקין. ההמשך בשורה השנייה הוא אי שוויון המשולש, ואני חושב שאפשר להכליל אותו גם לטורים אינסופיים. זה לא היה יכול להיות שוויון, כמובן. ואיך כל זה מתחבר להתכנסות במידה שווה? בהרצאה הזאת: דקה 37:00 יש משפט שאיטנגרל על http://www.codecogs.com/gif.latex?f_n (כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?f_n היא סידרה של פונקציות) שווה לאיטנגרל על הפונקציה הגבולית שאליה הן מתכנסות. לא ברור לי למה הדרישה היא שההתכנסות תהיה במידה שווה. בדוגמא שhttp://www.codecogs.com/gif.latex?f_n=x%5En ההתכנסות היא לא במידה שווה אך עדיין מתקיים שוויון בין האינטגרלים. מתי השיוויון הזה לא יתקיים?

איזה הזוי, דקה 18, שניה 17. הקטע הרלוונטי נמשך כדקה

עשיתי את זה : http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D(x%5En)=%5Clim_%7Bn%5Cto%20%5Cinfty%20%7D%20%5Cfrac%7B1%5E%7Bn+1%7D%7D%7Bn+1%7D%5Cleft%20=%200 וכמובן שאינטגרל על פונקציית הגבול שהיא זהותית אפס, יהיה גם אפס. אז למה בכלל צריך התכנסות במ"ש? במקרה שלנו הסדרה איננה מתכנסת במ"ש ועדיין מתקיים השיוויון.

בבקשה: (הקטע מתחיל מהחלק הרלוונטי ונמשך כדקה) אוקי, אז אני לא מבין את כל ההתעסקות בהתכנסות במ"ש. למדנו שאם יש לי סדרה של פונקציות http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5En בקטע [0,1] ,אז הסדרה הנ"ל מתכנסת רק נקודתית לפונקציה: ששווה ל0 בתחום 0(כולל) ל1(לא כולל), ושווה ל1 כאשר ערך הX הוא 1. עכשיו אם אני אעשה אינטגרל לפונקצית הגבול בין 0 ל1, אני אקבל אפס.מצד שני, אם אעשה אינטגרל על הסדרה עצמה בין 0 ל1 כאשר n שואף לאינסוף, גם אקבל אפס.אז מה זה משנה אם ההתכנסות היא במ"ש או לא במ"ש במקרה הזה?

המרצה אמר ששינוי סדר סכימה ואינטגרציה זה למעשה שינוי סדר של גבולות, ולשנות סדר של גבולות( כי גם הסיגמה היא גבול וגם האינטגרל זה גבול), אסור ברמת העיקרון. למה פה זה מותר?

אני מצרף הוכחה מספר הקורס שבה הם מחליפים את סדר סכימה ואינגרציה כשהם באים להוכיח את סעיף 3. למשהו יש מושג למה מותר להם? הרי מדובר פה ב2 גבולות. קודם יש לעשות את הגבול של הסכימה, ואחר"כ לעשות את הגבול של סכומי רימן למציאת האינטגרל. בנוסף, מדובר פה באינסוף אברים בסכום, ככה שהמשפט שאינטגרל של סכום של פונקציות זהו סכום האינטגרלים לא אמור לתפוס פה(כי יש אינסוף של פונקציות). דף 1: http://i.imgur.com/anCGuQJ.jpg דף 2: http://i.imgur.com/mIoRGIP.jpg

ברמת העיקרון מבחן ההשוואה הגבולי דורש שהגבול יהיה קיים וגדול מאפס..., אבל אתה צודק שיש מקרה פרטי שבו הגבול יכול להיות שווה לאפס, ואז באמת הטור שנמצא במונה צריך להתכנס, מה שלא מתרחש במקרה שלנו...

אני מדבר על הטור שסומן בציטוט באותיות מודגשות, והוא לא מתבדר. הוא מתכנס לפי מבחן האיטנגרל. כשאתה מדבר על טורים, אתה לא יכול "להתקרב" לאפס(או להציב אפס). אתה פשוט יכול להתחיל את הטור מ2, ואז הוא באמת מתכנס. אין לך מושג כזה שהטור ב1 הוא אינסוף.

מבחן ההשוואה הגבולי דורש שהשגבול יהיה קיים וגדול מאפס. אם הגבול הוא אפס. בדקתי פעמיים לגבי הטור הראשון במבחן האיטנגרל, ופעמיים האינטגרל התכנס. אתה בטוח שהטור הזה מתבדר?(הכפלתי אותו במינוס 1, ועשיתי לו מבחן האיטנגרל )

אבל טור זה לא גבול. אתה ממש מציב מספרים במקום ערכי n וסוכם עד n מסויים.

איך אתה יכול להציב 1 באיבר הראשון?

אתה יכול לתת לי דוגמא נגדית שבה יהיה גבול של מנה בין 2 טורים שהם לאו דווקא חיוביים(או שליליים), אך טור אחד יתכנס והשני יתבדר?

אני ניסיתי לחשוב על המבחן הזה, והגעתי למסקנה שהוא יעבוד גם אם אחד מהטורים חיובי והשני שלילי. אני רואה שגם ההוכחה תקפה במקרה כזה וגם לא הצלחתי למצוא דוגמא נגדית שתפריך. פשוט נקבל שסדרת הסכומים החלקיים של הטור השלילי תהיה מונוטונית יורדת וחסומה מלמטה, ולכן בהכרח מתכנסת. ואילו סדרה הסכומים החלקיים של הטור החיובי תהיה מונוטונית יורדת וחסומה מלמעלה, ולכן גם בהכרח מתכנסת. אני צודק?

זאת בדיוק השאלה שלי... האם מה שהמרצה אמר נכון...

בהרצאה בוידיאו נאמר שאפשר לנסח את המשפט של מבחן המנה להתכנסות טורים חיוביים גם באופן: אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Ba_%7Bn+1%7D%7D%7Ba_n%7D לכל k. אז הטור הסוכם את הסדרה http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n מתכנס. אז לדעתי זה לא נכון. אפשר למצוא סדרה שבה התנאי יתקיים , אך הטור לא יתכנס. למשל הסדרה : http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n%20=%20%C2%A01+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D ברור שהטור שסוכם את הסדרה הנ"ל לא יתכנס, כי הסדרה עצמה שואפת ל1. האם אני צודק?

אותה המשמעות שלנקודה יהיה משקל חיובי?

זכורה לי איזה תוכנה שהורדתי איכשהו דרך הטכניון שאיפשרה המרה נוחה של סמלים מתימטיים לשפת TEX. אני לא זוכר את השם שלה, אני רק זוכר שהסמל שלה על שולחן העבודה היה סימן סיגמה גדול. יש למשהו מושג מה שמה, ואיך מורידים אותה דרך הטכניון?

בספר הקורס מופיע הנוסחא הבא לחישוב ממוצע משוקלל על ידי אינטגרל: http://i.imgur.com/MlkeSml.jpg למה http://www.codecogs.com/gif.latex?w(x) (ממוצע השקלול) שבנוסחא חייב להיות אי שלילי?

אה ,הבנתי. בכל מקרה, תודה!

סתכל על זה בבקשה שוב... כתוב את המשוואה שבעמוד 93, וממנה תנסה איכשהו להגיע למשווה שיש לך בתחילת עמוד 94... השגיעה היא Ri שבעמוד 93, ואז סכום על כל השגיאות זה הE.

בספר קורס בחדוא, מנסים לחשב בעזרת "כלל המלבן" את השגיאה שיוצאת בחישוב האינטגרל על ידי סכומי רימן. אם משהו יכול להביט מבט ולראות את הE שבסוף עמוד 93. אני אומר שהוא מיותר. כי אפשר לשים לב שהוא מופיע מיד בעמוד הבא בראש עמוד, והוא למעשה ההפרש שיוצא על ידי העברת אגפים. אם הE שבסוף עמוד 93 הוא איננו טעות. אז דבר ראשון, למה בעמוד לאחר מכן בהעברת אגפים הוא איכשהו עובר לשיוויון , ודבר שני הוא פשוט לא אמור להיות שמה. אני כמובן מדבר על E שבסוף עמוד 93, לא על E שבחלק העליון של עמוד 94 שהוא כמובן לא מיותר. עמוד 93: http://i.imgur.com/JM7owp4.jpg עמוד 94: http://i.imgur.com/s1fSRI9.jpg

עכשיו זה יותר בסדר(הפעם כדי להתאמן עשיתי על האינפימום)? http://i.imgur.com/nrjKnme.jpg

התשובה היא ברור שכן, לא משנה.

המשפט ההפוך נכון. כלומר אם יש לשתי פונקציות אותה נגזרת, אז הן נבדלות בקבוע. אבל זה משפט של אמ"מ?