אודי

אני מניח שתשובה לגבי קוריוליס אני לא אקבל שוין.

א. מבחן ההשוואה. אם הסדרה היא חיובית ומונוטונית עולה ממש, עם אבר חיובי ראשון a1 שהוא הקטן ביותר בסדרה, הסכום שלה גדול מסכום של סדרה שכל האברים בה הם a1. קל לראות שסכום של אינסוף פעמים a1 חיובי הוא אינסוף. לכן לא יכול להיות שהסכום של הסדרה המקורית הוא סופי. ב. פיתוח טיילור של ln מסביב ל-1 עבור ln(1+e^2-1)=2 ייתן לך את הסדרה המבוקשת.

א. אנחנו מסתכלים על מבחן ההשוואה בין האינטגרל על http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-x%7D שהוכחנו בסעיף 2 שהוא מתבדר ע"י פתרון אנליטי לבין האינטגרל על http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7Bp%7D-x%7D עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?1 ב. מכיוון ש-x שלנו הוא מספר גדול מאחד, כאשר מעלים אותו בריבוע מקבלים תוצאה גדולה יותר מאשר כאשר מעלים אותו בחזקה קטנה יותר. ג. לכן, המכנה של האינטגרנד גדול יותר ב- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-x%7D מאשר במקרה שבו החזקה קטנה מ-2 ד. לכן האינטגרנד עצמו קטן יותר ב- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2-x%7D מאשר במקרה שבו החזקה קטנה מ-2 ה. חסמנו מלמטה את האינטגרל עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?1 ע"י אינטגרל שאנחנו יודעים שהוא מתבדר. מכאן שגם האינטגרל שחסמנו מתבדר. ו. קבלנו שלכל http://www.codecogs.com/gif.latex?1 האינטגרל מתבדר, וסה"כ מאלימינציה מתקבל שהוא מתבדר לכל p (את התחום הגדול מ-2 לא בדקנו, אבל אין צורך לפי התשובות לשאלה)

3. עבור אלפא גדול מ-1, אפשר לפתור את האינטגרל בחלקים. האינטגרל הוא מכפלה של חזקה ב-ln, וקל לעשות אינטגרל על החזקה ומעצבן יותר לעשות על ה-ln. נעשה מה שקל. 4. האינטגרציה בחלקים מכילה שני אברים, הראשון מצורת http://www.codecogs.com/gif.latex?-(%5Calpha-1)%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7Bln(x)%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha-1%7D%7D והשני אינטגרל על http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Calpha-1)%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%5Calpha%7D%7D (המינוס נעלם כי יש מינוס לפני האיבר השני באינטגרציה בחלקים) 5. האבר הראשון נותן אפס בהצבת גבול האינטגרציה 1 וגבול מהצורה של אינסוף חלקי אינסוף בהצבת גבול האינטגרציה אינסוף. אתה יכול להפעיל לופיטל (כלומר, לגזור את המונה והמכנה ולהסתכל על מנת הנגזרות) ולראות שהגבול הזה סופי ומתאפס עבור אלפא גדולה מ-1. 6. האבר השני (האינטגרל) פתיר אנליטית, וגם שם אתה יכול לראות שהפתרון, שפרופורציוני ל-x^(1-alpha), מתכנס עבור אלפא גדול מ-1. 7. כלומר, סה"כ קבלנו שעבור אלפא=1 האינטגרל מתבדר ועבור אלפא גדול מ-1 האינטגרל סופי ומתכנס. 8. בחיבור עם התוצאה הראשונה שלך קבלנו שהאינטגרל כולו, כולל האינטגרציה על 0-1, מתכנס עבור אלפא בין 1 ל-3. 9. הבעייה היחידה שיכולה להיות בחישוב הזה היא אם החלוקה שעשינו גורמת לכך שלמרות שהאינטגרל בין 0-1 והאינטגרל בין 1 לאינסוף מתבדרים הסכום שלהם מתכנס, כי הם שונים בסימן. הראשון שלילי והשני חיובי. אבל מכיוון שהתשובה היחידה שכוללת את התחום 1-3 היא זו שכבר הגענו אליה, היא כנראה התשובה הנכונה ואין הפתעות מסריחות כאלו

האינטגרל הזה פתיר, אנליטית או בחלקים. אתה פותר אותו ומציב את הגבולות ורואה אם התוצאה שאתה מתקבל מתבדרת או לא. 1. נזכור שאנחנו מסתכלים רק על האינטגרל מ-1 לאינסוף, כי על האינטגרל מ-0 ל-1 כבר הסתכלת והגעת למסקנה שהוא מתכנס עבור אלפא קטן מ-3. 2. אם תגזור את הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B(ln(x))%5E2%7D%7B2%7D תראה שהנגזרת שלה היא בדיוק http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bln(x)%7D%7Bx%7D כלומר, עבור אלפא=1 האינטגרל פתיר אנליטית. כמובן שכאשר אתה מציב את גבולות האינטגרציה ב- http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B(ln(x))%5E2%7D%7B2%7D אתה מקבל התבדרות, כי ln מתבדר באינסוף (ומתאפס ב-1). כלומר האינטגרל מתבדר עבור אלפא=1.

דרך הכח הצנטירפוגלי.

אני מצטער, אבל אני באמת לא רואה איך קוריוליס יכול להיות רלוונטי בשאלה הזו. הכח הצטריפוגלי הוא בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Comega%20%5Ctimes%20(%5Comega%20%5Ctimes%20r) שיוצא פה כיוון r, כלומר כיוון התנועה של החרוז במערכת המסתובבת לאורך המוט. כח קוריוליס צ"ל בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Comega%20%5Ctimes%20v ומכיוון שהמהירות היחידה האפשרית במערכת המסתובבת היא לאורך המוט הכח היחיד האפשרי מאונך לכיוון המוט, כלומר לא רלוונטי לתנועה בכלל. העבודה שבצע המוט על החרוז היא פשוט האנרגיה הקינטית שהחרוז הרוויח. אתה יודע את המהירות הסופית שלו ושהוא משוחרר ממנוחה. אתה יודע שאין חיכוך או הפסדים אחרים. ולכן כל האנרגיה הסופית של החרוז מגיעה מעבודה שהמוט בצע.

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B(1-x)%5E%7B%5Cbeta%7D%7D אתה מתכוון, לא? האינטגרל הזה פתיר אנליטית. אם בטא שווה לאחד הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?-ln(1-x) אחרת הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cfrac%7B1%7D%7B(%5Cbeta-1)(1-x)%5E%7B%5Cbeta-1%7D%7D כשאתה מציב את הגבולות אתה רואה שהפתרון ה-ln-י מתבדר והשני מתכנס רק עבור בטא קטן מאחד, אחרת אתה מקבל אפס במכנה.

תחום אינטגרציה אינסופי או ערך אינסופי של פונקציה בנקודה מסויימת. לא נראה לי שיש עוד דברים.

צריכים תמיד לבדוק שאינטגרל של פונקציה חיובית על קטע אינסופי לא מתבדר. תסתכלי על הפונקציה אחד חלקי איקס. הגבול שלה אפס באינסוף אבל האינטגרל שלה מ-1 עד אינסוף מתבדר (ln). ולכן צריך לפתור את השאלה השלישית בחלוקה לשני קטעים.

אי אפשר להשתמש בפונקציה שנותנת גבול שהוא אפס במבחן ההשוואה הגבולי וכאמור, לא ברור לי איך את מגיעה לזה שאין פתרון, כי לפי הדרך שלי יש...

בשנייה נכון. אני לא רואה איך את מקבלת שהאינטגרל חייב להתבדר בשאלה השלישית. תנאי אחד הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha ותנאי שני הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha+%5Cbeta החיתוך של שני התנאים האלו הוא לא קבוצה ריקה. למשל אלפא 1- ובטא 3 עונים על שניהם. לא הבנתי מה הבעייה עם השאלה הראשונה, אמרנו שפתרת אותה נכון :scratch:

לגבי התרגיל הראשון, אפשר לראות די מהר שהתשובה היא אחת משתי האחרונות. 1. אם אתה מחלק את תחום האינטגרציה לשניים, 1-2 ו-2 עד אינסוף, ברור שבתחום השני יש התכנסות רק עבור אלפא גדול מאחד (מבחן ההשוואה הגבולי לאיקס בחזקת מינוס אלפא) 2. בתחום הראשון (1-2) אפשר לפתור אנליטית עבור אלפא 2 ולראות שיש התבדרות. 3. ממבחן ההשוואה על האינטגרל בתחום הראשון, אינטגרנדים עם אלפא בין שתיים לאחד יוצאים גדולים יותר מאשר האינטגרנד עבור אלפא 2, כי איקס בחזקת אלפא קרוב יותר לאיקס ולכן המכנה קרוב יותר לאפס. 4. לכן התשובה הנכונה היא שהאינטגרל הכולל מתבדר עבור על אלפא.

לא הבנתי איך יש פה קוריוליס אם התנועה היא על ציר אחד בכיוון של הכוח הצנטריפוגלי :scratch:

לגבי השאלה השנייה - תשתמש במבחן ההשוואה הגבולית באינסוף עם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bln(x%5E2)%7D%7Bx%5E%7B%20%5Calpha%7D%7D זה מאפשר לך להוציא את החזקה מה-ln ולקבל אינטגרל מהסוג http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bln(x)%7D%7Bx%5E%7B%20%5Calpha%7D%7D שפתיר מיידית עבור אלפא שווה לאחד (מתבדר, lnx בריבוע חלקי 2) ובחלקים עבור אלפא גדולה מאחד (ואפשר לראות שמתכנס עבור אלפא גדולה מאחד, עם לופיטל על החלק הראשון מתוצאת האינגרציה בחלקים ואינטרגל פשוט בשני).

נראה לי שזה הכיוון לפתרון בשני התרגילים. בתרגיל השני, חלקי לשני תחומים: בין 0 ל-1/2 השווי לפונקצייה שכבר השווית אליה http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B%20%5Cbeta-1%20%7D וקבלי תנאי אחד על בטא; בין 1/2 ל-1 השווי ל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B(1-x)%5E%7B%20%5Cbeta%7D%7D וקבלי תנאי אחר. החיתוך של שני התנאים ייתן לך את התחום החוקי. בתרגיל השלישי חזרי על אותו טריק עם הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E%7B%20%5Calpha%20%7D%7D בתחום בין 0 ל-1 והפונקציה המקורית שהצעת בתחום בין אחד לאינסוף.

...או למצוא פונקציות אחרות שמקיימות את תנאי מבחן ההשוואה הגבולי בשני הקצוות של תחום האינטגרציה, כמובן.

בשני התרגילים, 2 ו-3, את משתמשת במבחן ההשוואה הגבולית בצד אחד של האינטגרל ומתעלמת מכך שגם הצד השני בעייתי ושתנאי מבחן ההשוואה הגבולי לא מתקיימים שם. בתרגיל השני היחס בין הפונקציות שלך ב-x=1 הוא אינסוף. בתרגיל השלישי היחס בין הפונקציות שלך ב-x=0 הוא אפס. אם את מתעקשת על מבחן ההשוואה הגבולי, את צריכה לחלק את תחום האינטגרציה שלך בכל בעייה לשניים ובכל חצי להשוות לפונקצייה אחרת שגבול המנה שלה עם הפונקצייה המקורית בקצה הרלוונטי של התחום סופי ושונה מאפס.

הפתרון הראשון נראה בסדר, מעבר לזה שהחיתוך של שני התחומים של אלפא הוא כמובן קבוצה ריקה (האינטגרל מתבדר לכל אלפא). בפתרון השני נראה לי לכאורה שהתבלבלת בהשוואה שלך - האינטרנד שאת בודקת במבחן ההשוואה הגבולי הוא לא האינטגרל שאת עושה בסוף, אלא בדיוק ההופכי שלו. מה גם שהשימוש במבחן הזה בעייתי פה כי גם הגבול ב-1 בעייתי והיחס בין האינטגרנדים שם מתבדר. בפתרון השלישי מבחן ההשוואה הגבולי נראה לי בעייתי כי שני האינטגרנדים מתבדרים ב-0 והגבול ביניהם הוא אפס..

hela אומרת שאין צורך לפתור אנליטית, מספיק לקבוע עבור איזה k הוא מתכנס. ואפשר לפי מבחני התכנסות.

אה, לפי מבחן ההשוואה לאינטגרל בלי 1 במכנה.

hela, פתרת את האינטגרל h מהשאלה הראשונה בשרשור? כי אני לא פתרתי אותו אנליטית ויש מישהו ששואל עליו בשרשור שכן

פתיר ורעמסס. לא באמצעים שלומדים בחדו"א 1מ', אבל פתיר. http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C_%D7%92%D7%90%D7%95%D7%A1%D7%99%D7%90%D7%A0%D7%99 בכל מקרה, אם אסור לך להשתמש באינטגרל שלא למדת איך פותרים אותו אז לכי על הדרך שלך

אני מצטער, מה שאת אומרת נשמע נכון אבל אני באמת לא זוכר את המבחנים והמשפטים האלו. :oops: ...מה רע במבחן האינטגרל על הטור הראשון ישירות? האינטרגל על http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B-n%5E2%7D ממינוס אינסוף לאינסוף סופי ומתכנס. הוא שורש פאי.

- כל ערכי k שעבורם הארגומנט של arctg שואף לאינסוף, כלומר אחד ומעלה. - מלופיטל יוצא שהגבול הוא אפס. - אני חושב שהאינטגרל השני פתיר אנליטית/בחלקים אחרי החלפת משתנים מתאימה (y=x^k), אבל לא פתרתי אותו.