אודי

כאמור נקודת אי רציפות סליקה לא נחשבת. גם לפונקציה הראשונה וגם לפונקצייה השנייה בשאלה הראשונה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס. אם אתה מחליף את הערך הלא מוגדר באפס בגבול המוגדר באפס אתה מקבל שהפונקצייה רציפה, ולשתי הפונקציות יש גבול מוגדר. אתה יכול לראות שלנגזרת שלהם לפי y בכלל אין בעייה באפס.

זה בטח כבר מופיע פה, אבל מציק שאי אפשר להוסיף ציטוטים לפוסט בעריכה שלו, וכל ציטוט מחייב פוסט חדש.

לא ברור לי איך אם האינטגרציה על x היא תמיד מ-y- עד y. אתה חייב לעבור ב-x=0. לי נראה פה שוב שהתשובה היא כמו לגבי הפונקציה השמאלית - נקודת הרציפות שיש שם היא סליקה והגבול של הפונקציה בה מוגדר היטב.

אני לא חושב שיש בעיית רציפות כי לאינטגרנד יש גבול ברור ב-x=0 - הוא יוצא y. אם יש נקודת אי רציפות כלשהיא היא סליקה ולא פוגעת באינטגרל. מה? למה? מה הבעייה בהגדרה? n הוא חזקה חיובית, לא שבר. אין שום בעייה בהגדרה עבור אינטגרנד שמתאפס ואין גם בעייה בגזירה שלו.

1. הציור מתאר שולחן אופקי ולכן הקליע לא נופל אלא פשוט עוצר. נתון שההתנגשות אלסטית לחלוטין ולכן הקליע לא ממשיך לנוע עם המוט. המוט קבל מהירות קווית ימינה כתוצאה מההתנגשות ומתרחק ממנו. 2. מיקום מרכז המסה של מערכת שתי המסות הכבדות והמוט לא השתנה. זו המערכת שאתה מחשב לה מרכז מסה בבעייה הזו (לפני ההתנגשות היא נייחת והקליע נייד, אחרי ההתנגשות ההיפך). המסה הכוללת שלה היא 2M. 3. אומגה מופיע בשימור תנע זוויתי שאתה בונה. אם ראשית הצירים שלך היא במרכז המוט, שימור תנע זוויתי הוא פשוט: http://www.codecogs.com/gif.latex?mv_0d=I%5Comega מכיוון שרכיב מרכז המסה של התנע הזוויתי אחרי ההתנגשות מתאפס כי http://www.codecogs.com/gif.latex?r_%7Bcm%7D=0. מומנט האינרציה מתאים למערכת שתי המסות הכבדות והמוט.

לגבי המלצות ממרצים וידע מספיק, התשובה בשני הסעיפים "כן עקרונית, בפועל זה מאוד אינדיבידואלי". 2. כתלות במידת הנחמדות של המרצה, הוא עשוי להסכים לתת לך המלצה או לסרב. בד"כ נחשב מקובל יותר לבקש המלצה ממרצה בתואר ראשון בקורס שבו הוא מנחה אותך אישית (פרויקט) ולא בקורס המוני, והסיכוי שתגיע לקורס מהסוג הראשון אם אתה מתכנן לימודי צבירה ולעשות את רב התואר בחו"ל לא נראה לי גבוה. אני מניח שיש מרצים שיהיו נחמדים מספיק כדי לתת לך המלצה גם במקרה של קורס המוני אם תקבל ציון גבוה מספיק. 3. בעיקרון אם עשית 5 יח"ל מתמטיקה, פיסיקה, כימיה ומדמ"ח לא אמור להיות ידע מקדים נוסף שאתה צריך לפני קורסי הבסיס בטכניון. בפועל אתה עדיין עשוי להרגיש שחסר לך פיפס כזה או אחר. יש קורסי רענון בפיסיקה ומתמטיקה, אבל אם לא עבר הרבה זמן מאז הבגרות שלך זה נראה לי מיותר.

אתה מדבר על לימודי צבירה? :scratch: לי אישית אין מושג בנושא אבל הסתובב פה יוזר בשם Paranoid שיש לו. מכיוון שלא נראה שהוא נמצא פה הרבה, במקומך הייתי שולח לו הודעה פרטית (עם בקשה מנומסת, כמובן!) אם אתה לחוץ על תשובה. (אגב, בלינק רשום שהתשלום הוא פר נקודה והמחיר הוא 670 ש"ח לנקודה ורבע מזה אם אתה חייל. זה היה נכון ל-2013, אז ייתכן שהמחיר התעדכן).

אני לא זוכר את האבחנה בין נגזרת מכוונת חד"צ ודו"צ, אבל אולי היא קיימת ושכחתי אותה

קרא את המשפט שלי שמופיע אחרי המשפט שצטטת ותראה שלא דברתי בכלל על ההגדרה של נגזרת חלקית. נגזרת חלקית צריכה להיות דו צדדית כדי להיות קיימת. דברתי על הגדרת הנגזרת המכוונת והקשר בינה לבין הגדרת הנגזרת החלקית החד צדדית. הנגזרת המכוונת בכיוון x+ היא הנגזרת החלקית החד צדדית הימנית בנקודה הנגזרת המכוונת בכיוון x- היא מינוס הנגזרת החלקית החד צדדית השמאלית בנקודה. עבור h>0, נגזרת מכוונת בכיוון x- מוגדרת כך: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%5E+%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bx%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D והנגזרת החלקית החד צדדית השמאלית בכיוון x יוצאת כך: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%5E+%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D שוב, לפי מה שאני מכיר הגדרת הנגזרת המכוונת היא סוג של הכללה להגדרה של נגזרת חד צדדית, ולכן לפונקציה שלי יש נגזרות מכוונות למרות שאין נגזרת חלקית דו"צ.

אני תמיד ראיתי שהוא חיובי. כנראה לא הלכנו לאותן הרצאות. אבל הנגזרת בכיוון x- באמת לא אמורה להיות שווה לנגזרת החלקית לפי x אלא מינוס שלה. זה נכון לכל פונקציה, כולל פונקציה דיפרנציאבלית. בדוגמא שלי הנגזרת החלקית החד צדדית הימנית היא 1, השמאלית היא 1- והנגזרת המכוונת בכיוון x החיובי והשלילי היא 1.

- ההוכחה לאי קיום הנגזרת המכוונת לא נכונה. h הוא גודל חיובי לפי הגדרת הנגזרת המכוונת (כי http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x+h%5Chat%7Bn%7D) מתאים לנקודה שנמצאת בכיוון n), ולכן הגבול לערך מוחלט של h חלקי h קיים ושווה ל-1. אם תרצה, הנגזרת המכוונת מוגדרת עם הגבול h הולך ל-0 מימין ולא סתם h הולך לאפס. אם זה לא נרשם כגבול חד צדדי זה רק בגלל המוסכמה ש-h הוא גודל חיובי. - לגבי אי הדיפרנציאבליות, מקבל, למרות שעל פניו יש פה פונקציה עם נגזרות חלקיות רציפות בנקודה שאינה דיפרנציאבלית ואני לא מבין איך זה אפשרי.

וכמובן שגם זה לא עובד: התבוננות בדוגמא הנגדית שלי מראה שהדבר באגף שמאל לא חייב להיות פעמיים הנגזרת המכוונת.

אוקי, נדמה לי שמצאתי דוגמא נגדית ואת הטעות בהוכחה המקורית שלי. הדוגמא הנגדית היא http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x,y)=%5Csqrt%7Bx%5E2+y%5E2%7D=r הפונקצייה רציפה בראשית וכל הנגזרות המכוונות שלה שם קיימות, שוות וסופיות. ...אבל הן שוות ל-1, והיא לא דיפרנציאבלית שם. הנגזרות החלקיות שלה לא קיימות ולא ניתנות לתפירה כי הנגזרות החד צדדיות שלהן הפוכות בסימנם (1 לנגזרת החד"צ הימנית ו-1- לנגזרת החד"צ השמאלית). המשפט בסוגריים לא נכון. באגף שמאל אכן מקבלים את הגבול החד צדדי העליון אבל באגף ימין מקבלים את מינוס הגבול החד צדדי התחתון.

...

לא הבנתי את הטענה. אם כל הנגזרות המכוונות שלה הן אפס בפרט נובע שהנגזרות החלקיות מתאפסות בשני הכיוונים ולכן רציפות * מצאת פונקציה שהנגזרות החלקיות שלה רציפות אבל היא לא דיפרנציאבלית? :scratch: איך אתה רואה שהיא לא דיפרנציאבלית? * עד כדי נקודה סליקה שלא משנה וניתנת לתיקון, בדיוק כמו בפונקצייה עצמה. מכיוון שכל הנגזרות החד צדדיות שואפות לאפס בראשית וממילא הנגזרת ה"פורמלית" לא מוגדרת שם, אם תתפור בראשית את הנגזרות ע"י השתלת אפס תקבל שגם הנגזרות החלקיות הן פונקציה רציפה.

אתה מדבר על הראשית, כן? הדוגמא הנגדית שלך מתבדרת יחד עם כל הנגזרות שלה בראשית ולכן ברור שהיא לא דיפרנציאבלית. לא ייתכן קירוב ליניארי לפונקציה בנקודה שבה היא מתבדרת*. הנחתי מראש שהשאלה מתייחסת לנגזרות מכוונות שוות סופיות כי זו השאלה היחידה שיש טעם לשאול (אין גם משמעות לשוויון בין אינסופים). גם ציינתי במפורש את ההנחה הזו ושההוכחה לא תקפה לנגזרות אינסופיות: תמצא דוגמא נגדית עם ערך סופי ונגזרות מכוונות סופיות בנקודה ואז נדבר. * בהנחה שלא מדובר בנקודה סליקה שתקעת בה אינסוף באופן מלאכותי. זו לא נחשבת התבדרות לצורך העניין.

מה זאת אומרת מוצא זווית מרחבית? :scratch: הערך של הזווית המרחבית עצמה לא מעניין אותך פה, רק הדיפרנציאל שלה, שנתון.

לפי השדה הנתון הזווית הזו היא פשוט תטא, בהנחה שתטא היא הזווית עם ציר z, לא? http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7B%5Cmu%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7BB%7D=%5Cmu_z%20B_0=%5Cmu%20B_0%5Ccos(%5Ctheta) זווית בין שני וקטורים לא יכולה להיות זווית מרחבית.

בדיוק ממשוואת התנע שכתבתי. את מחלצת ממנה את מהירות הרפסודה ומציבה במשוואה השנייה שאומרת שהצפרדע התקדמה ב-L ביחס לרפסודה: http://www.codecogs.com/gif.latex?v_0%20%5Ccos(%5Calpha)t_f-Vt_f=L כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?t_f הוא זמן הנחיתה של הצפרדע על הרפסודה שאת מחלצת מקינמטיקה של נפילה חופשית וידיעת המהירות והתאוצה ההתחלתיות בציר y.

מהניסוח נרמז, גם אם לא נאמר חד משמעית, שקיים כיוון שבו הנגזרת המכוונת של f שונה מאפס, אחרת אין הרבה טעם בשאלה. ...טכנית, עדיין אפשר לומר שהנגזרת המכוונת בכיוון z מקסימלית גם אם הגראדיינט מתאפס. רק שבמקרה הזה מינימום=מקסימום=נגזרת מכוונת בכל כיוון. הניסוח לא מחייב שמקסימום מתקבל רק בכיוון אחד. יש כיוון שבו הנגזרת המכוונת בטוח מקסימלית; זה לא אומר שאין כיוונים נוספים שבהם היא שווה למקסימום. ...אם יש בעייה בניסוח היא כבר שעל פניו הנגזרת המכוונת בכיוון z יכולה להיות גם מינימלית, לא מקסימלית, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20z%7D בנקודה. הם התכוונו לכתוב שהגודל בערך מוחלט של הנגזרת המכוונת מקסימלי.

טוב, הזכרתי לעצמי את התנאים - למעשה יש לנו פה הפרש של גבולות שהפכתי לגבול של ההפרש. זה תקין אם שני הגבולות קיימים וסופיים. ....נראה לי שאפשר להניח את זה מהנתונים.

זו דרך שהלגיטמציה המתמטית שלה עשוייה להיות מפוקפקת כי היא מסתמכת על החלפת סדר בין חיבור/חיסור/חילוק ולקיחת גבול, מה שניתן לביצוע לזכרוני אבל בתנאים מסויימים שאני לא זוכר אותם כרגע ולא ברור לי אם אפשר להניח שמתקיימים פה. הדרך השנייה שנתתי בטוח עובדת. בכל מקרה, מתחילים בשוויון בין שני הגבולות שמגדירים את הנגזרות החלקיות בכיוון n ו-n-: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D=%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)%7D%7Bh%7D מעבירים את אגף ימין לאגף שמאל ומקבלים: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)-(f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D)))%7D%7Bh%7D=0 או אחרי צמצום http://www.codecogs.com/gif.latex?f(%5Cvec%7Bx%7D): http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bh%20%5Crightarrow%200%7D%20%5Cfrac%7Bf(%5Cvec%7Bx%7D+h%5Chat%7Bn%7D)-f(%5Cvec%7Bx%7D-h%5Chat%7Bn%7D)%7D%7Bh%7D=0 מה שיש באגף שמאל הוא בדיוק פעמיים הנגזרת המכוונת בנקודה בכיוון n, ולכן נובע שהיא מתאפסת.

הגענו למסקנה מסעיף א' שהפונקציה דיפרנציאבלית כי הנגזרות החלקיות שלה רציפות. לכן ניתן לבטא את הנגזרת המכוונת בכיוון http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D כ: http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D ואת הנגזרת המכוונת בכיוון המנוגד כ: http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B-%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20-%5Chat%7Bn%7D=-%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D מכיוון שכל הנגזרות המכוונת שוות, בפרט: http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=D_%7B-%5Chat%7Bn%7D%7Df או: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=-%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D. מהשוויון האחרון נובע ישירות http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7B%5Chat%7Bn%7D%7Df=%5Cnabla%20f%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=0, ומכיוון שכל הנגזרות המכוונות שוות כולן מתאפסות.

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin%5E2(%5Cpi%20x)%5Ccos(%5Cpi%20x)=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Csin(2%5Cpi%20x)%5Csin(%5Cpi%20x)=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D(%5Ccos(%5Cpi%20x)%20-%20%5Ccos(3%5Cpi%20x)) 1. במעבר הראשון יש שימוש בנוסחא לסינוס של זווית כפולה: http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Csin(%5Cpi%20x)%5Ccos(%5Cpi%20x)=%5Csin(2%5Cpi%20x) 2. במעבר השני יש שימוש בשתי נוסחאות לקוסינוס של הפרש/סכום זוויות: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos(%5Cpi%20x)=%5Ccos(2%5Cpi%20x)%5Ccos(%5Cpi%20x)+%5Csin(2%5Cpi%20x)%5Csin(%5Cpi%20x) http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos(3%5Cpi%20x)=%5Ccos(2%5Cpi%20x)%5Ccos(%5Cpi%20x)-%5Csin(2%5Cpi%20x)%5Csin(%5Cpi%20x) ההפרש בין שתי הנוסחאות ייתן לך את ההצבה המבוקשת: http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos(%5Cpi%20x)-%5Ccos(3%5Cpi%20x)=2%5Csin(2%5Cpi%20x)%5Csin(%5Cpi%20x)