מנוי

האם עכשיו הפתרון נכון: http://i.imgur.com/Flm9asz.jpg

אני לא טוען שגזירות ברציפות הוא תנאי הכרחי. אני רק אומר שאם אתה רוצה לנסח תנאי מספק לכך שתוכל להפעיל את השיטה של הצבת משתנים עבור פתירת אינטגרלים , אתה צריך לדרוש שפי תהיה גזירה ברציפות. אפשר אולי למצוא מקרים חרגים שזה לא מחייב.

אבל אתה לא יכול להגדיל את הסביבה . אתה קיבלת אפסילון. עכשיו אתה צריך להוכיח שהסופרמום מוכל בסביבה כלשהי. אתה לא יכול לבחור אפסילון קצת יותר גדול, ולהגיד שבסביבה של האפסילון הקצת יותר גדול מהאפסילון שקיבלת,הסופרמום מוכל.

א. אני לא מדבר על הכותרת. מה שניסיתי להוכיח בהוכחה(הדבר מופיע תחת הכותרת צ"ל) ,הוכח כראוי? ב. למה שהסופרמום יהיה בתוך סביבת האפסילון. כלומר איך זה נובע מהגדרת הסופרמום? יותר מזה, הסופרמום של כל סביבה פתוחה(וסביבת אפסילון היא תמיד סביבה פתוחה), אף פעם לא מוכל בסביבה. ניקח למשל את הסביבה (1,2) הסופרמום הוא 2, אבל הוא לא איבר בקבוצה.

אולי אפשר למצוא (פונקציה רציפה * פונקציה לא רציפה) שיתן בהכרח פונקציה רציפה. אבל למה שזה יקרה לכל 2 פונקציות? אני שואל לגבי הוכחת המקרה הכללי. אני לא מדבר על 2 פונקציות ספציפיות.

א.זה שכתבתי שאני מסתכל רק על הסביבה שמשמאל ל( x + דלתא) לא מספיק כדי לומר שהיא מוגבלת על ידי X ששואף לx0? ב. איך במקרה כזה אני מוכיח שהסופרום של הפונקציה בקטע הוא בעצמו ערך בקטע? הרי נתון שהפונקציה רציפה רק בx0 לא נתון שהיא רציפה על כל סביבת דלתא(ואז אני לא יכול להתשתמש במשפט ויירשטראס למשל).

בהוכחה של נוסחת ניוטון לייבניץ יש דרישה על הפונקציה שבתוך האינטגרל שתהיה רציפה(בהרצאה נאמר שאפשר להחליש קצת את הדרישה שהיא תהיה רק אינטגרבילית והפונקציה שמגדירה את האינטגרל תהיה גזירה אך לא פורט על זה יותר מידי). בכל מקרה, האינטגרביליות לפי רימן ממש לא התנאי היחיד לזה שאתה יכול להפעיל את נוסחת ניוטון לייבניץ. התנאי הוא שהיא תהיה רציפה, ועל התנאי הזה גם הנוסחה הוכחה בהרצאה. סתכל בהוכחה של הנוסחה בשרשור הקודם שהגבת אליו. גם שמה כשבאים להוכיח אותה, מניחים שהפונקציה שבתוך האינטגרל רציפה.

חסר לי שאז הביטוי הארוך שיש לך בתוך האינטגרל הוא לאו דווקא רציף, (כי אתה לא יודע שנגזרת של פי רציפה), ואז אתה לא יכול להשתמש בנוסחת ניוטון-לייבניץ. גם לפי ויקפדיה היא צריכה להיות גזירה ברציפות: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%91%D7%90%D7%9E%D7%A6%D7%A2%D7%95%D7%AA_%D7%94%D7%97%D7%9C%D7%A4%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%A0%D7%99%D7%9D

מה זה המושג החדש "הסביבה שואפת לx0. עוד לא ניתקלתי בו. איך מוכיחים כזה דבר? תמיד דיברנו על השאיפה נקודתית ולא שסביבה שלמה שואפת. ואני גם לא מבין, גם בדוגמא שלך הסביבה שואפת לאפס, כי גם עבור הרציונליים ועם עבור האי רציונליים, ערכי הפונקציה ילכו ויקטנו. לא מבין למה ההוכחה שלי לא תקפה לגבי הדירכלה. מה צריך לשנות בהוכחה שלי שהיא תעבוד?

האם הפונקציה שמציבים במקום משתנה האיטנגרציה צריכה להיות לא רק גזירה אלא גם גזירה ברציפות ,( כי המרצה מציין שהיא רק צריכה להיות גזירה)? אני מדבר על הפונקציה הפנימית המסומנת באות היוונית "פי" שבתמונה: http://i.imgur.com/yzdplSi.jpg

דבר ראשון, לא ברור לי איך דירכלה קשורה לעסק, דירכלה הרי לא רציפה באף נקודה. אבל אני מנסה לחשוב על הוכחה של הטענה הזאת : http://i.imgur.com/CymE8Jy.jpg

נראה לי שהבנתי, תודה!!

אני ניסיתי להוכיח את הטענה הזאת באופן פורמלי כמה שאפשר. אשמח אם משהו יכול להעיף מבט ולהעיר הערות:-) http://i.imgur.com/zkQ0MyW.jpg

רק לוודא שהבנתי. ההגדרה המקורית של פונקציה אינטגרבילית לפי רימן היא לכל אפסילון למצוא דלתא שעבור כל החלוקות המסומנות עם פרטמר חלוקה קטן מדלתא(שזה אומר לבחור כל הזמן חלוקה לא מסומנת ולעבור על כל החלוקות המסומנות בה) המרחק של כל סכומי רימון מ-I יהיו במרחק קטן אפסילון. ההגדרה השניה, היא לכול אפסילון למצוא דלתא שעבורו חלוקה מסומנת אחת עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא, המרחק בין סכום רימן המתאים לה מ-I, יהיה קטן מאפסילון. אני צודק?

למה בכלל חשבו על ההגדרה המקורית? היא נשמעת מאוד מסובכת. עדיף פשוט באמת לעשות אזשהי חלוקה מסומנת ולהתחיל לעדן אותה ולראות לאן כל פעם סכום רימן שואף. ההגדרה השניה נשמעת לי הרבה יותר אינטואיטיבית,לא?

גם את ההגדרה המקורית אפשר היה לייעל. נגיד אפשר היה לומר שעל כל אפסילון צריך להחזיר אוסף של חלוקות מסומנות עם אותו פרמטר חלוקה שעוברם המרחק בין סכומי רימן שלהם ל-I, היה קטן מאפסילון, ואז ככול שהיית נותן אפסילון יותר קטן, הייתי צריך בלאו הכי להקטין את פרמטר החלוקה. למה לדרוש בהגדרה המקורית שלכל החלוקות המסומנות הקטנות מפרמטר חלוקה כלשהו.

ההגדרה בספר עושה מיקס לא ברור של 2 ההגדרות. מצד אחד היא מחייבת מעבר על כל החלוקות הלא מסומנות, ובדיקה של כל החלוקות המסומנות הרלוונטיות לכל חלוקה לא מסומנת מכל אחת מהחלוקות הלא מסומנות.

אני לא סתם מסתכל על חלוקה לא מסומנת. אני אומר משהו אחר. אתה נותן לי אפסילון, אני מחלק את הפונקציה לכמות מסויימת של מלבנים ומוודא שכול סכומי רימן שלהם נמצאים במרחק אפסילון מ-I, עכשיו אתה נותן לי אפסילון יותר קטן, אני מוצא לך חלוקה לא מסומנת אחרת, ושוב מוודא שכול סכומי רימן עבור החלוקה הלא מסומנת החדשה נמצאים במרחק אפסילון מ-I,וכך הלאה. בסופו של דבר עבור n מספיק גדול, אני אקבל שעבור החלוקה הלא מסומנת שאני נותן לך, כול סכומי רימן ישאפו ל-I. ומשום מה בהגדרה בהרצאה היית דרישה שעבור כול חלוקה ועבור כול בחירה. הנה סתכל איך ההגדרה מנוסחת בספר קורס: http://i.imgur.com/730hJUx.jpg יש פה לדעתי כפליות מיותרת. מספיק שאני כל הזמן מוצא לך חלוקה אחת(לא מסומנת), שעבור כל בחירה של ערכי ci סכום רימן שלהם נמצאים במרחק אפיסלון מ-I שאתה נותן לי בשביל להבטיח את השאיפה הגבולית ל-I.

כשאני מדבר על חלוקה, אני מדבר על קיבעת המלבנים בלבד, לא קביעה של ערכי C. מצאתי חלוקה כזאת אחת. כי בהגדרה של איטגרביליות לפי רימן יש דרישה שעבור כל החלוקות עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא, כול סכומי רימן יהיו במרחק אפסילון מ I, אך פה אני מוצא לך רק סוג אחד של חלוקה(או אינסוף חלוקות מסוג אחד), שעדיין מבטיחה לך את האינטגרביליות לפי רימן.

לא, אי אפשר לפי ההגדרה שלי להוכיח שדירכלה היא אינטגרבילית רימן, מכיוון שההגדרה שלי מחייבת שעבור החלוקה הספציפית הזאת שמצאתי לך, כול סכומי רימן יהיו במרחק אפסילון מ-I, ובחלוקה הספציפית הזאת יש לפחות 2 סכומי רימן(עבור בחירות מתאימות של ערכי C בקטעים השונים) שעבורם הפונקציה תתכנס ל0 ו1 ולכן אם תתן לי אפסילון ששווה לרבע אהיה בבעיה... מצטט שוב את ההגדרה שלי:"...ואני עבור אפסילון מוצא לך רק חלוקה ספציפית אחת שעבורה כול סכומי רימן נמצאים במרחק אפסילון מ -I." ההוכחה שלי אומרת כזה דבר: אתה נותן לי אפסילון. אני מחלק את הקטע למלבנים קטנים, ומוצא חלוקה אחת בלבד שבה כול סכומי רימן מרחקם מI קטנים מאפסילון(למשל בדירכלה זה לא יעבוד כי תהיה לפחות 2 בחירות של Ci שיתנו 2 סכומי רימן שונים שעבור אפסילון של רבע לא אוכל להוכיח לך את זה)

לא, אני לא מסתפק. אני רק אומר שאתה נותן לי אפסילון, ואני עבור אפסילון מוצא לך רק חלוקה ספציפית אחת שעבורה כול סכומי רימן נמצאים במרחק אפסילון מ -I. מה שמפריע לי בהגדרה זה שהדרישה שאני אוכיח שלכל חלוקה עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא כול סכומי רימן ימצאו במרחק אפיסלון מ-I. גם בהגדרה אלטרנטיבית שלי, יש לך את השאיפה לגבול. כי כל פעם עבור אפסילון אחר שתתן לי, אמצא לך חלוקה ספציפית אחת אחרת (יותר מעודנת) שעבורה כל סכומי רימן ימצאו במרחק אפסילון מ-I, רק אני אהיה פטור מלהראות לך שגם כל חלוקה אחרת עם אותו פרמטר חלוקה או עם פרמטר חלוקה קטן ממנו, גם עבורה כול סכומי רימן ימצאו במרחק אפסילון מ-I.

למה בהגדרה של פונקציה אינטגרבילית לפי רימן לא מסתפקים פשוט בזה שמצאתי חלוקה, עם פרטמר חלוקה כלשהו, שבה כל סכומי רימן נמצאים במרחק I מאפסילון? למה לדרוש שעבור כול החלוקות עם פרמטר חלוקה קטן מדלתא, כול סכומי רימן יהיו בהפרש קטן מאפסילון?

אם כך סכום רימן של כול פונקציה יהיה אפס...

אני מנסה לחשוב על הוכחה לכך שאם הפונקציה אינטגרבילית ושונה מאפס רק בנקודה אחת בקטע [0,1] , האיטנגרל שלה שווה לאפס. אני מנסה לחשוב על הוכחה דרך סכומי רימן. כלומר נגיד אני אחלק את הקטע לקטעים שילכו ויקטנו, אבל בכל קטע שכזה תמיד תהיה נקודה Ci שונה מאפס, וככה שיצא שתמיד יהיה לי סכום רימן אחד לפחות שונה מאפס.

כן, אני הבנתי את כשל ההבנה שלי. תודה