incog

כשאתה גוזר לפי לייבניץ אתה מקבל את הנגזרת בכל מקום שאינו אפס (שים לב שהביטוי שקיבלת לא מוגדר בכלל ב-0)
כדי לקבל את הנגזרת באפס עצמו אתה צריך לבדוק על פי הגדרה ואכן מקבלים שהנגזרת שווה לאפס.
 
כלומר הנגזרת אינה רציפה ב-0.

תיקח נניח את הפונקציה:
h(x)=x^2D(x) 
 
כך ש- D היא פונקצית דריכלה.
זו פונקציה שגזירה רק בנקודה 0

אי שיוויון הממוצעים

http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

רמז מאוד עבה:
שים לב שאם הגבול הוא גדול מ-1 אז הגבול בהכרח מתבדר.
כלומר אם אתה מחפש דוגמא נגדית אז אתה פשוט צריך למצוא דוגמא נגדית שבה הגבול שציינת פשוט לא יהיה קיים.
וזה קל תמיד לעשות על ידי 'הדבקה' שעבור כל אחת הגבול של השורש ה-n שלה מתכנס לגבול אחר (בהדבקה הכוונה היא שסדרה אחת תהיה במקום הזוגי והשנייה באי זוגי).

תוכיח את הטענות הפשוטות הבאות:
1) אם v ו"ע של A ו-B ששייך לע"ע r_A ו- r_B בהתאמה, אזי v הוא ו"ע של A+B עם ע"ע r_A+r_B
2) אם v ו"ע של A עם ע"ע r אזי הוא ו"ע של A^n עם ע"ע r^n (הוכחה קלה באינדוקציה)

כן

צריך להשתמש בעובדה שכל הפולינומים שמאפסים את A מהווים אידיאל (ומכיוון שזה חוג ראשי אז זהו אידיאל ראשי).
או במילים אחרות:
קיים פולינום h שמאפס את A, ולכל פולינום אחר g' שמאפס את A קיים פולינום q כך ש: g'=q(x)h(x)   d 
(אם לא למדת אז קח את זה כקופסא שחורה).
כעת אם נסמן ב- r(x) את הפולינום האופייני אז מקיילי המילטון אתה יודע ש- h מחלק את r (כי r מאפס את A), לכן השורשים של h הם בהכרח גם השורשים של r (כלומר הם ע"ע)
כעת אם g' פולינום כלשהו שמאפס את A, אזי g'=qh ולכן השורשים של h (שהם ע"ע) הם גם השורשים של g'
 
יש משפט שאומר גם ההיפך שכל ע"ע הוא שורש של h , ואז אתה מקבל שהע"ע הם שורשים של g'

לא, זה ממש לא נכון:
תסתכל על R^2:
ותגדיר ט"ל:
T((0,1)=(0.0)  d
T((1.0)=(0,1)  d 
וההרחבה לינארית.
אז תקבל ש- (0,1) נמצא בחיתוך של הגרעין והתמונה.

טוב אני אסביר לך איך מראים שהיא לא יכולה להיות סליקה (את יתר המקרים מוכיחים בדיוק באותו אופן)
תהא f  גזירה על כל הישר ונניח בשלילה שיש לה נקודת אי רציפות סליקה  x_0
כלומר  f'(x_0)->L    ו- L שונה מ- f'(x_0 
בה"כ נניח f'(x_0)>L  , כעת על פי הגדרת הגבול קיים r כך שלכל |x-x_0|<r|  מתקיים:
f'(x)<(L+f'(x_0))/2  (+)
עכשיו נסתכל על הקטע: (x_0-r/2,x_0)
על פי משפט דארבו קיים: c בתוך הקטע כך ש:
f'©=(L+f'(x_0))/2 , בסתירה ל- (+)
 
אני מקווה שעכשיו זה מובן.
למעשה מה שמוכיחים הוא הרבה יותר חזק ממה שכתבת, מוכיחים שלא יכול להיות גבול חד צדדי (גם לא במובן הרחב)

אוקי, עכשיו הבנתי את השאלה. 
התשובה היא שאם אתה עקבי בבחירה שלך, אז למטריצות דומות יהיה אותו פולינום אופייני.
כלומר אם: A ו- B דומות אזי:
det(A-Ix)=det(B-Ix) and det(ix-A)=det(Ix-B)   d
אבל מן הסתם אם פעם תחליט לעשות כך ופעם אחרת אז לא תקבל פולינום יחיד (אפילו לאותה A עצמה אם n אי זוגי אזי 
det(ix-A)=-det(A-ix)  d)
מקובל שהפולינום האופייני הוא monic polynomal , ואז יש רק דרך אחת לכתוב אותו.

לא, זה לא יכול להיות מספר שונה מ- 0,1 או -1)

D(n) d  זה מספר הפונקציות החח"ע ועל מ-n ל- n  כך שאין נקודת שבת (או לחלופין מספר הדרכים לשלוח n- מכתבים כך שאף מכתב לא יגיע ליעדו, יש הרבה דרכים לתאר זאת...)
 
הפתרון הוא:
1) קודם כל תבחר אם יש בן ליד הגבר ה-k ובת ליד האישה ה-k או להיפך (מספר האפשרויות 2 בחזקת n)
וגם:
2) תמקם את הבנים (צריך להכפיל ב- D(n) מכיוון שאף ילד לא יכול להיות ליד ההורה שלו)
וגם:
3) תמקם את הבנות (על הבנות אין הגבלה לכן מספר האפשרויות הוא n!)
 
סה"כ התשובה היא מכפלה של הכל.

לא חייבים שיהיו לה n ע"ע.
חייבים שיהיו לה ע"ע שסך הריבוי הגאומטרי שלהם הוא n.
אם הריבוי האלגברי שלהם קטן מ-n אז בפרט גם הריבוי הגאומטרי (שאתה יודע שהוא קטן שווה לריבוי האלגברי) קטן מ-n

T זו ט"ל, אבל לא משנה נניח לכסנת וקיבלת את המטריצה:
D  (שהאיברים שלה על האלכסון הם x_1,...,x_n יתכן שלא כולם שונים), אם נסמן את הפולינום שמופיע לך נניח בסעיף ז  ב- p(x) s
אז מבקשים למצוא את העקבה של: p(T)^-1 
מה שאתה יודע זה שהלכסון של:  p(T)^-1  יכיל על על האלכסון את האיברים: p(x_1)^-1,...,p(x_n)^-1 
לכן העקבה תהיה הסכום: p(x_n)^-1+ ....+p(x_1)^-1

ובסעיף הבא מחליפים פולינום ומחפשים דטרמיננטה לכן צריך להסתכל על הכפל...
 
אני מקווה שעכשיו קצת יותר מובן

כן, התשובה שלך נכונה ויש טעות בחוברת של אס"ט.

כן בהחלט, קבוצה עקבית מקסימלית היא בעצם תורה שלמה.
 
משפט אי השלמות של גדל אומר שלא תוכל בתורת המספרים למצוא תורה מקסימלית כזו שהינה רקורסיבית (כלומר תהיה מכונת טיורינג שתכריע עם פסוק כלשהו שייך לתורה).
וזה ההבדל הגדול, כי כמו שאתה יודע זה בוודאי נכון שכל תורה אפשר להרחיב לתורה מקסימלית 

א) תכניס את n לתוך השורש (על ידי העלאה בחזקה n)
כעת יש לך את הסדרה: a_n= שורש n של (n! לחלק ל- n^n), נסמן b_n = ל: n! לחלק ל- n^n
כעת אתה יודע (זה משפט שלבטח ראיתם) שאם הסדרה bn+1/bn   מתכנסת ל-L אז גם a_n מתכנס ל-L 
זה ממש מיידי שסדרת המנות הללו מתכנסת לאחד חלקי e
 
ב) תשווה עם (x^(1-\alpha , ברור שהאינטגרל על הפונקציה הזו מתכנס אמ"מ alpha>2

אה הבנתי, אז צריך להוריד את האפשרות הראשונה (ש-1 לא נמצא בחלוקה)
ומקבלים:
k_n=k_n-1+(n-1)k_n-2
 
(עכשיו זה מסתדר גם עם הסדרה שלך)

אז שוב, השאלה היא האם הקבוצות חייבות להיות בגדלים שווים?
כלומר אם נניח יש לך קבוצת ווקטורים בגודל n, ויש לך עוד קבוצה בי א"נ בגודל n שאתה מוסיף אליה ווקטור שניצב לכל יתר הווקטורים, האם גם הקבוצה הזו היא בי א"נ?

אם התשובה היא לא אז תמיד יש קבוצה בי א"נ אחת, אם התשובה היא כן אז לכל תת מרחב אפשר להסתכל על המרחב הניצב וככה תוכל לבנות אינסוף תתי קבוצות בי א"נ

זה פשוט כל הדרכים לסכום ל-5 (בלי חשיבות לסדר).
אז יש לך 7 דרכים לעשות זאת או שכולם 1 - מעגל (שזה הזהות)
או שיש לך 2 מעגל ועוד 3 אחד מעגל (שאלו בעצם כל ה-2 מעגל) (מכאן והלאה אני אשמיט את כל ה-1 מעגל באזכורים)
או שיש לך 3 
4 מעגל
5 מעגל
כעת אילו עוד דרכים יש? שני שני מעגל 
ושלוש מעגל + 2 מעגל 
 
סה"כ יש 7 

התבלבלתי זה צריך להיות:
c_n=|a_n*b_n|= |a_n|/n

הנה הסבר קצת יותר מפורט, מקווה שעכשיו זה מובן:
הוכחת בסעיף הקודם שלכל a_n , b_n  אם הטורים a_n^2,b_n^2 מתכנסים אזי גם: |a_n*b_n| מתכנס.
כעת יהא: a_n טור כלשהו כך ש: a_n^2 מתכנס.
אתה יודע שהסעיף הקודם נכון לכל שני טורים מתכנסים בפרט הוא מתקיים במקרה הפרטי שלנו שבו: a_n=a_n , b_n=1/n^2 
(נשים לב שהטורים הללו אכן מקיימים את ההנחה של הסעיף הקודם כי:  b_n^2  זה טור מתכנס)

לכן לפי המסכנה מתקיים ש: |a_n*b_n|  מתכנס (שים לב שזה  |a_n*b_n| ולא: |a_n*b_n^2|
לכן:   c_n=|a_n*b_n|= |a_n|/n  מתכנס.

התבלבלתי בסימונים בין m ל- k
אני אכתוב את ההוכחה בצורה מלאה ומסודרת:
יהא: k הסדר של a ב-G.
אזי אנחנו יודעים כי:
aN)^k=a^kN=eN=N)  
(זה נובע מהעובדה ש: aN*bN=abN  , כך מגדירים את הכפל בחבורת המנה).
 
כלומר aN בחזקת k נותן את איבר היחידה בחבורת המנה. לכן על פי המשפט שאמרת שמותר לך להשתמש בו הסדר של aN בחבורת המנה (שהוא m) מחלק את k.

תסתכל על המטריצה שבה השורה ה-i היא הווקטור v_i
כעת תסתכל על הטורים, אם תחבר לטור האחרון את כל יתר הטורים תקבל עמודה שכולה אפסים (מהנתון).
לכן מימד מרחב העמודות קטן מ-n, אבל אתה יודע שמימד מרחב העמודות שווה למימד מרחב השורות, לכן גם קבוצת הווקטורים הזו היא תלויה לינארית.

איך מגדירים ט"ל על R^3? פשוט מאוד, בוחרים 3 וקטורים ב"ת v_1,v_2,v_3, בוחרים עוד 3 וקטורים כלשהם w_1,w_2,w_3 
ומגדירים: T(v_i)=W_i   (ומרחיבים באופן לינארי על כל המרחב).
 
כעת נתונים לך שני וקטורים ב"ת שרוצים שהם יהיו בגרעין: 


(1,-1,0) and (0,0,1) 
אז כדי להגדיר ט"ל אתה צריך כמו שאמרנו להשלים אותם לבסיס (נניח תיקח את הווקטור (0,1,0)) וכעת לאן אתה שולח אותם?
אז את שני הראשונים אתה שולח לאפס (על מנת שיהיו בגרעין) ואת השלישי מכיוון שאתה רוצה שהתמונה תהיה מוכלת בגרעין אתה יכול נניח לשלוח ל- (0,0,1)