חדו"א 1מ' - התכנסות טורים

[guyl44]

היי, יש לי שאלה בנושא טורים:

 

נתון שהטורים   http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bn=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20a%5E2_n  , http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bn=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20b%5E2_n  מתכנסים.

 

הוכח שהטור הבא מתכנס:

 

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bn=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%5Cfrac%7B%7Ca_n%7C%7D%7Bn%7D

 

ניסיתי למצוא איזשהו ביטוי גדול יותר שמתכנס, אבל ללא הצלחה.

אולי רצוי להוסיף שבסעיפים קודמים של התרגיל, הוכחתי שהטורים  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bn=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20%7Ca_n%20b_n%7C ,   http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7Bn=1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(a_n+b_n)%5E2 גם הם מתכנסים.

[incog]

תשתמש בסעיף הקודם:
קח: a_n=a_n , b_n=1/n^2  
ולפי מה שהוכח בסעיף הקודם הטור על c_n כך ש:
c_n=|a_n*(1/n^2)|  d  מתכנס.
וזה בדיוק הטור שאתה רוצה להוכיח שהוא מתכנס...

[guyl44]

אבל זאת הוכחה רק למקרה מסויים בו   http://www.codecogs.com/gif.latex?b_n=%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5E2%7D, לא לכל http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n,%20b_n.

 

אני מבין את מה שאמרת, אבל אני חושב שזאת לא תשובה מספיק כללית. מה גם שהדרישה היא לטור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%7Ca_n%7C%7D%7Bn%7D, לא http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%7Ca_n%7C%7D%7Bn%5E2%7D

 

עריכה: אולי לא. בעצם, אתה אומר שהביטוי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%7Ca_n%7C%7D%7Bn%7D הוא מקרה פרטי של http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Ca_n%20b_n%7C?

[incog]

התבלבלתי זה צריך להיות:
c_n=|a_n*b_n|= |a_n|/n

הנה הסבר קצת יותר מפורט, מקווה שעכשיו זה מובן:
הוכחת בסעיף הקודם שלכל a_n , b_n  אם הטורים a_n^2,b_n^2 מתכנסים אזי גם: |a_n*b_n| מתכנס.

כעת יהא: a_n טור כלשהו כך ש: a_n^2 מתכנס.

אתה יודע שהסעיף הקודם נכון לכל שני טורים מתכנסים בפרט הוא מתקיים במקרה הפרטי שלנו שבו: a_n=a_n , b_n=1/n^2 
(נשים לב שהטורים הללו אכן מקיימים את ההנחה של הסעיף הקודם כי:  b_n^2  זה טור מתכנס)

לכן לפי המסכנה מתקיים ש: |a_n*b_n|  מתכנס (שים לב שזה  |a_n*b_n| ולא: |a_n*b_n^2|
לכן:   c_n=|a_n*b_n|= |a_n|/n  מתכנס.

[guyl44]

הבנתי, תודה רבה!