מנוי

נתקלתי בנוסח קצת מוזר. קראתי שאם ישנו פולינום כלשהו שמטריצה A מאפסת אותו, אז בהכרח גם הע"ע של A יאפסו אותו. מוזר, אני לא מצליח להבין איך הטענה הזאת נובעת ממשפט קיילי המילטון, קיילי המילטון מדבר על פ"א שע"ע מאפסים, ואז בהכרח גם A תאפס, איך זה עובד הפוך?

תודה. אני אמשיך לחשוב על זה

אני חשבתי לעצמי לגבי אופטורים לינאריים והגעתי למסקנה שאם באופטור ליניארי ישנם עוד וקטורים בחיתוך של הגרעין והתמונה אז הוא לא אופטור לינארי, כלומר תמיד אם האופטור עובד על מרחב V , אז מרחב V הוא סכום ישר של הגרעין והתמונה. כי אם זה לא היה ככה, אז זה אומר שנוצר מצב בעייתי: למשל : אם T(1)=3 ו T(3)=0 אז T(1+3)= T(3) +T(1)= 0+3 =3 כלומר T(4) = T(1) =3 וזה בלתי אפשר ששני וקטורים שונים יקרסו לוקטור שונה מאפס מלניאריות.

תודה

לא, זה לא נכון. למטריצות דומות יש אותו פולינום אופיני (בדיוק כמו מקודם זה נובע מכך ש: det(A-xI)=det(B-xI) d כש-A דומה ל-B אם תחליף שורות המטריצות כבר לא בהכרח יהיו דומות כמו שאפשר לראות עם מטריצת היחידה 2X2 ישנם ספרים שמחשבים את הפולינום האופייני בתור xi-B ,ולמטריצה הזאת עושים דטרמיננטה. במקרה הזאת נקבל פולינום אופיינו אחר,לא?

זה נכון להגיד שלמטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני עד כדי סימן? הרי בחישוב פולינום אופייני עושים את הדטרמיננטה ,ומספיק שאני אחליף 2 שורות זה בזה, הדבר יגרור שינוי סימן.

מה שאני כתבתי זה שהוכחתי שאם: A דומה לB, כלומר, קיימת P הפיכה כך ש: P^(-1)AP=B אז בהכרח מתקיים: yyyyyyyyyy(B-cI)=P^(-1)(A-cI)P הלנתי על זה שאני פשוט לא רואה את הדמיון ישר....

תודה

אם משהו זוכר את משפט קיילי-המילטון אז יש שמה חלק שלוקחים מטריצה שהיא Adj של :("lamda * i )-A) ) " ואברי המטריצה הזאת, נקרא לה B, הם גם כמובן פולינומים של למדא, השאלה שלי האם מקדם של למדה בחזקת "n-1" באחד מאותם הפולינומים יכול להיות מספר אחר מלבד : 1,1- או אפס. כי בהוכחה כתוב שלא מובטח שהוא יהיה 1 או 1- והוא יכול לקבל ערך כלשהו, רק איזה עוד ערך מלבד אפס הוא יכול לקבל? ההוכחה אגב מופיע בספרה של עליזה מלק "אלגברה ליניארית-חוברת לימוד אלגברה 1/מ" בעמוד 228-229. הנה לינק להוכחה כפי שמופיע בספרה של עליזה: http://kurser.math.su.se/file.php/769/HT2012/CayleyHamilton.pdf והשאלה שלי כמובן היא האם יכול להיות b_i,g(n-1) fff להיות שונה מאפס,אחד או מינוס אחד לi, g כלשהם?

אני מבין שהדטרמיננטה של כל מטריצה דומה שווה, אבל למה אם אני מחסיר למדה מהאלכסון הראשי של המטריצה אז זה לא ישנה את הדטרמיננטה או בגרסה אחרת : למה אם אני מחסיר למדה מהאלכסון הראשי של מטריצה דומה ,זה לא יפגע בדמיון. אני יודע להוכיח זאת על ידי אלגברה(לכתוב מטריצת P ו (P (במינוס 1)) משני האגפים ולהוכיח ש אם A דומה לB ,ו P מטריצה הפיכה כלשהי,אז: " P כככ ( A-"LAMDA" I) עעע (P(במינוס 1)) =( B- "LAMDA" I) " העניין הוא שהטענה הזאת לא הוכחה באופן כזה בהרצאות אלא נאמרה כהערה שזה כביכול טריוויאלי מהעובדה ש A ו B מטריצות דומות, אני לא מצליח להבין למה לא היה צורך להוכיח אותה באופן שציינתי( גם בספרים היא לא מוכחת ככה אלא נאמרת כהערה שנובעת ישירות מהדמיון של A ו B ). אשמח מאוד אם משהו יכול להסביר. תודה

אבל אני מבקש לקבל הוכחה למשהו אחר. אני מבין מעולה למה 2 מטריצות שקולות שורה בעלות אותו מרחב שורה. מה שאני לא מבין, זה למה 2 מטריצות בעלות אותו מרחב שורה ואותו סדר, שקולות שורה. אתה מבין? וזה לא אותה הוכחה...

אשמח להתייחסות למה שנאמר בפורום המקביל: http://forums.asat.org.il/viewtopic.php?f=12&t=321992