אודי

את צריכה לבנות כל וקטור בבסיס כקומבינציה ליניארית של טרנספורמציות ואז להפעיל את הטרנספורמציה ההפוכה על שני האגפים.
 
לדוגמא, קל לראות למשל ש:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1=(T(v_1)+T(v_2)+T(v_3))/2
 
הפעילי טרנספורמציה הפוכה על שני האגפים, ומכיוון שגם הטרנספורמציה ההפוכה ליניארית:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?T%5E%7B-1%7D(v_1)=(v_1+v_2+v_3)/2

ע"י הצבת a=1 ואיפוס שאר הפרמטרים במשוואת הטרנספורמציה. a מייצג את המקדם של 1 במרחב המקורי.

באמת? זה מה שנאמר? בניסוח הזה?

כי זה ממש לא מחוייב המציאות.
לפי מה שאני יודע כדוה"א מבצע בקירוב מצויין מסלול קפלרי כמעט-מעגלי (אליפטי) שזהה לזה של מסה נקודתית, ובמסלול הזה שימור התנ"ז מתבטא בתנ"ז המסלולי בלבד.
כשכדוה"א מתקרב לשמש הוא נע מהר יותר (מהירות קווית. כי כח המשיכה הגרוויטיציוני מאיץ אותו) וכך התנ"ז נשמר.
הסיבוב של כדוה"א סביב צירו הוא תוצאה שיורית של תהליכי ההיווצרות של הפלנטה וההשפעה של המיקום במסלול עליו זניחה יחסית.
עריכה: אם יש איזהשהוא אפקט הוא בכיוון ההפוך - כשכדוה"א מתקרב לשמש פועלים עליו כוחות גאות גדולים יותר (הקצה הקרוב לשמש נמשך אליה חזק יותר מהקצה הרחוק) שמותחים אותו וגורמים להאטת הסיבוב, לא להאצתו.

אז זו בעייה במתנט. כי אתה רואה שהוא פולינום ממעלה 19, נכון?
אולי משהו בתחביר הקלדה שלך לא נכון. אתה כותב
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?A%5E%7B19%7D/2+13A%5E%7B17%7D/12-3A%5E%7B16%7D/2+5A%5E%7B15%7D/12
או
http://www.codecogs.com/gif.latex?A%5E%7B19%7D/2+(13/12)*A%5E%7B17%7D-(3/2)*A%5E%7B16%7D+(5/12)*A%5E%7B15%7D
 
(אני לא באמת זוכר מה התחביר שמתנט מקבל)

זה נכון.
הוכחות לא עשיתי שנים, אז זה כנראה לא יהיה מהוקצע ריגורוזית, אבל זה נשמע לי כמו כיוון טוב -
ניקח בסיס של V ממימד M. יש לנו בו M וקטורים בלתי תלויים ליניארית.
נסתכל על M הטרנספורמציות של וקטורי הבסיס. הן חייבות להיות תלויות ליניארית, כי מימד U קטן ממימד V.
ספציפית מ-M הטרנספורמציות חייב להיות ב-U לפחות* וקטור אחד http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_i) שהוא קומבינציה ליניארית כלשהיא של טרנספורמציות וקטורי בסיס אחרים http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_i)=L(T(%5Cvec%7Bv%7D)) (אני מסמן פה באופן כללי את וקטורי הבסיס האחרים שהוא קומבינציה שלהם כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bv%7D. זה לא כל השאר).
מכיוון שגם הטרנספורמציה ליניארית, נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?T(L(%5Cvec%7Bv%7D))=T(v_i), כלומר קבלנו שני וקטורים שונים במרחב המקורי (http://www.codecogs.com/gif.latex?v_i ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?L(%5Cvec%7Bv%7D)) שעוברים לאותו וקטור במרחב החדש (http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_i)) והטרנספורמציה לא חח"ע.
 
* למעשה אנחנו יודעים שקיימים לפחות 2M/3 וקטורים שהטרנספורמציות שלהן תלויות, אבל זה לא עקרוני להוכחה

אני לא מבין את הדרך שלך, האמת.
8-[
כדי לראות מהו גרעין ההעתקה את צריכה לראות איזו קומבינציה ליניארית עוברת למטריצת האפס.
אם נסמן את המטריצות ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?A=T(1,7,7)
http://www.codecogs.com/gif.latex?B=T(0,1,7)
http://www.codecogs.com/gif.latex?C=T(0,0,1)
קל לראות ש-C-A-7B היא מטריצת האפס, ולכן הוקטור
http://www.codecogs.com/gif.latex?d=(0,0,1)-(1,7,7)-7(0,1,7)=(-1,-14,-55)
הוא גרעין ההעתקה, עד כדי כפולות שלו בסקלר.
כדי לקבל את הוקטור המבוקש את צריכה להכפיל אותו ב-5 ואז מתקבל x=-70.

לגבי השאלה השנייה, נראה לי שאתה לא אמור לפתור ריגורוזית אלמנט אלמנט אלא לשים לב שהשורות ב-C הם קומבינציה ליניארית של שורות ב-B, ואז להשלים את השורות המתאימות ב-A לייצור הקומבינציה הדרושה.
למשל, השורה הראשונה ב-C היא השניה ב-B, וזה אומר שהשורה הראשונה ב-A חייבת להיות (0 1 0) כדי לבצע את ההעברה הזו.
הקומבינציות פה די טריוויאליות אז זה לא אמור להיות קשה.

א. הדטרמיננטה של מטריצת היחידה כפול קבוע (c*I) היא הקבוע בחזקת דרגת המטריצה (c^d), לא הקבוע c.
ב. בנוסף גם את הקבוע 4- צריך להפוך (ל-1/4-)

הם בונים פה מערכת משוואות שמורכבת משתי מכפלות סקלריות.
העקום C נמצא על שני המשטחים, S ו-M, ולכן המשיק ל-C בנקודה P (שכיוונו מיוצג ע"י הוקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,-1,2))  מאונך לשני הנורמלים למשטחים בנקודה, שכיוונם הוא ככיוון הגרדיינטים למשטחים.
ולכן המכפלה הסקלרית בין המשיק לכ"א הגרדיינטים למשטחים היא אפס. הם פשוט כותבים את המערכת הזו בצורה מטריציונית, אבל אתה יכול לחשוב עליה כעל שתי מכפלות סקלריות נפרדות.
המשוואה הראשונה אומרת שהמשיק ל-C ניצב לגרדיינט ל-S, והשנייה שהמשיק ל-C ניצב לגרדיינט ל-M.

התשובה הנכונה היא e.
בעיני, המפתח לשאלות מהסוג הזה הוא להסתכל קודם על משוואת כוחות לכל המערכת ורק אז לרדת למשוואת הכוחות של כל רכיב ולהוציא משם את מה שצריך.
 
1. כשמסתכלים על כל המערכת התמונה די פשוטה וזהה בשני המקרים. יש לנו מסה כוללת של 3m שנדחפת ע"י כח F, ולכן התאוצה שלה (ושל כל רכיב בנפרד) היא F/3m. רק הכיוון שונה.
 
2. נסתכל על הגוף במסה 2m באיור A. פועלים עליו שני כוחות, F ימינה ו-FA שמאלה. אנחנו יודעים שהגוף מאיץ ב-F/3m ולכן אנחנו יודעים שהסכום שלהם מקיים
http://www.codecogs.com/gif.latex?F+F_A=2m%5Cfrac%7BF%7D%7B3m%7D=2F/3
מכאן נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?F_A בגודל F/3 (ובסימן מנוגד ל-F, אבל לא מתעניינים בסימן בשאלה)
 
3. באיור B פועל על הגוף הזה רק כוח אחד, http://www.codecogs.com/gif.latex?F_B, שנותן לו אותה תאוצה ולכן
http://www.codecogs.com/gif.latex?F_B=2m%5Cfrac%7BF%7D%7B3m%7D=2F/3

כבר הסברתי את זה, כנראה שזה היה לא ברור אז ננסה שוב בניסוח אחר.
 
כשיש לך חישוב דטרמיננטה של מטריצה עם מקדם סקלרי (פה: c=|ab|^-1), המקדם הסקלרי מקבל חזקה של מספר השורות במטריצה.
http://www.codecogs.com/gif.latex?det(cA)=c%5Ed%5C,det(A)
אתה השמטת את החזקה הזו.
למה המקדם מקבל חזקה? כי הוא כופל כל איבר במטריצה, ולכן אם תכניס אותו למטריצה ותחשב את הדטרמיננטה תראה שהחזקה מופיעה באופן טבעי.

אין פה משהו מתוחכם יותר לעשות מאשר לגזור את f לפי כלל השרשרת לפי כ"א מהמשתנים, להציב את הנגזרות החלקיות באגף שמאל של המשוואה ולראות איך אפשר לבטא את התוצאה באמצעות f,x,y.
בנגזרת החלקית של f לפי x יש אבר אחד שמבוסס על גזירה של הפונקציה g לפי כלל השרשרת.
בנגזרת החלקית של f לפי y יש שני אברים (נגזרת של מכפלה) שאחד מבוסס על גזירה של הפונקציה g לפי כלל השרשרת והשני על גזירת y לפי y. קל
:)
 
מכל אבר במשוואה יוצאת נגזרת של g שאין לך דרך לבטא באמצעות המשתנים האלו (כי אתה לא יודע את g) ולכן אתה צריך לקוות שהיא מתבטלת בסכימת שני האברים. היא אכן מתבטלת.

נראה לי שהמפתח פה הוא לחסום מלמעלה עם ביטוי שמכיל מנת פולינומים במקום הפונקציות הטריגונומטריות.
אז סינוס תמיד קטן מהארגומנט שלו, אז קל להחליף אותו ב
http://www.codecogs.com/gif.latex?sin%5E2(4x-y)
הטנגנס זה טיפונת יותר מסובך. אבל נראה לי שזה יעבוד:
http://www.codecogs.com/gif.latex?tan(y)=sin(y)/cos(y)
בקיצור, אתה מקבל שהמונה של החסם העליון שהוא מנת פולינומים הולך כמו חזקה שלישית והמכנה כמו חזקה שנייה בסדר מוביל. כלומר, זה שואף לאפס כשהארגומנטים שואפים לאפס.

השורשים האלו הם פתרון למשוואה הריבועית
http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+2i=0
סכום השורשים של משוואה ריבועית
http://www.codecogs.com/gif.latex?ax%5E2+bx+c=0
הוא b/a-, במקרה הזה אפס.

יש שיקול פרקטי, תחת ההנחה הסבירה שהצופה יכול לבצע מדידה רק כשהחלקיק חולף על פניו (אין לו גלאי שמשתרע על כל המרחב)..
הפוטון נע במהירות האור. אם הוא מתרחק מהצופה הצופה פשוט לא יוכל לראות אותו (אלא אם הוא חולף על פני החלקיק ומבצע מדידה בדיוק ברגע ההתפרקות, מה שנשמע מאתגר למדי, מה גם שברגע הזה נמצאים שם שני פוטונים בכיוונים מנוגדים).

זה פתיר תוך שתי שניות בעזרת המשפט הויריאלי, אבל אני לא יודע אם למדתם אותו. במערכת סגורה עם פוטנציאל שפרופורציוני ל-r^-1, האנרגיה הפוטנציאלית והקינטית הכוללת מקיימות את הקשר:
http://www.codecogs.com/gif.latex?2
כאשר <> מסמן מיצוע על הזמן. זה לא משנה פה, כי לפני ההתנגשות יש חלקיק בודד במסלול מעגלי ולכן האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית שלו קבועות בזמן. לפני הפירוק, נובע מהמשפט הויריאלי:
http://www.codecogs.com/gif.latex?mv%5E2=%5Cfrac%7BGMm%7D%7Br%7D
כלומר
http://www.codecogs.com/gif.latex?E_%7BTOT%7D=-%5Cfrac%7BGMm%7D%7Br%7D+%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7B2%7D=-%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7B2%7D
כדי שהמסלולים יהיו קשורים גם אחרי הפירוק האנרגיה הכוללת של כל חלקיק צריכה להיות שלילית, ומכיוון שהאנרגיות של שניהם שוות ושוות סימן נובע שזה קורה אמ"מ האנרגיה הכוללת שלילית:
http://www.codecogs.com/gif.latex?E_%7BTOT%7D=-%5Cfrac%7BGMm%7D%7Br%7D+k%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7B2%7D=(k-2)%5Cfrac%7Bmv%5E2%7D%7B2%7D
נובע מיידית k<2.
 
 

שימור תנע זוויתי (נוח לחשב ביחס לנקודת הפגיעה בקיר) לפני ואחרי ההתנגשות.
המהירות הקווית V_0 בכיוון x לא תורמת לתנע הזוויתי כי הזווית בינה לבין הרדיוס R (ממרכז הכדור לנקודת הפגיעה) היא אפס, כך שלפני ההתנגשות התנע הזוויתי הוא רק Iw.
אחרי ההתנגשות התנע הזוויתי הוא mv'R (אומרים שיש רק מהירות של מרכז המסה ללא סיבוב). מכאן מקבלים את 'v.

זה לא נכון.
מהגדרת מערכת הצירים של הבעייה אפשר לראות שלהפרש התדירויות V_R-V_L צריך להיות אותו סימן כמו U_x:
 
1. אם כדוה"א נע ימינה (U_x>0) אזי V_R>V_L (הגלקסיה הימנית מתקרבת אליו והשמאלית מתרחקת) ולכן V_R-V_L>0.
 
2. אם כדוה"א נע שמאלה (U_x<0) אזי V_R<V_L (הגלקסיה הימנית מתרחקת ממנו והשמאלית מתקרבת) ולכן V_R-V_L<0.
 
בתשובה ג' הסימן של U_x הפוך לזה של ההפרש הנ"ל ולכן היא לא נכונה.

לי יוצא 8.6 שנים
פתרתי עם האינטרוול האינווריאנטי חלקי c^2:
http://www.codecogs.com/gif.latex?ds%5E2=dx%5E2/c%5E2-dt%5E2
הגודל הזה אינווריאנטי כאמור לבחירת מערכת ייחוס.
 
נסתכל על כיוון אחד.
במערכת האסטרונאוטית dx'=0 (הזמן עצמי) ובמערכת הגיאולוג dt=8.6/0.8=10.75 שנים ו-dx=8.6 שנות אור. יוצא
http://www.codecogs.com/gif.latex?dt'=-ds=6.45%5C,%20lyrs
וסה"כ הפרש השעונים הוא (הלוך וחזור):
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5CDelta%20t=2(dt-dt')=2(10.75-6.45)=8.6%5C,yrs

עריכה:
אוקי, התשובה הנכונה היא g. אבל הדרך הרבה יותר ארוכה ומסריחה ממה שחשבתי בהתחלה. לא הבנתי מה שואלים
:oops:
 
1. עובדים עם האינטרוול האינווריאנטי בין שני המאורעות, הגעת הפולס לקצה A והגעת הפולס לקצה B.
http://www.codecogs.com/gif.latex?ds%5E2=c%5E2dt%5E2-dx%5E2
 
2. קל לראות שבמערכת הרכבת האינטרוול האינווריאנטי שווה פשוט ל-L^2-, מכיוון שהפרש הזמנים מתאפס שם והפרש המרחקים בין המאורעות הוא L.
 
3. במערכת התחנה זה טיפה יותר מסובך. הפרש הזמנים הוא dt>0 והפרש המרחקים הוא
http://www.codecogs.com/gif.latex?dx=Vdt+%5Cfrac%7BL%7D%7B%5Cgamma%7D
כלומר, המרחק שהרכבת הספיקה להתקדם ב-dt והאורך (המקוצר) של הרכבת שמפרידים בין שני המאורעות.
אפשר לקבל את זה מחישוב המיקום של כל נקודה במערכת התחנה בנפרד:
http://www.codecogs.com/gif.latex?x_A=Vt_A-%5Cfrac%7BL%7D%7B2%5Cgamma%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?x_B=Vt_B+%5Cfrac%7BL%7D%7B2%5Cgamma%7D
 
4. כעת פותרים את המשוואה הריבועית ב-dt המתקבלת בהצבת dx לעיל בשוויון של האינטרוול:
http://www.codecogs.com/gif.latex?-L%5E2=c%5E2dt%5E2-dx%5E2
צריך להעלות בריבוע ולשחק קצת עם בטא וגאמא כדי לראות שלמשוואה הזו יש רק שורש אחד,
http://www.codecogs.com/gif.latex?dt=%5Cbeta%5Cgamma%5Cfrac%7BL%7D%7Bc%7D
שנותן את תשובה g עם המספרים הנתונים.

אם אני מבין נכון את הסימון ו:
 
- L02 הוא האורך העצמי L0 בריבוע
- T2 הוא טאו (הפרש הזמנים בין הדלקת הפנסים במערכת החללית) בריבוע
- L2 הוא המרחק בין הפנסים במערכת המעבדה בריבוע
- Tm2 הוא הפרש הזמנים בין הדלקת הפנסים במערכת המעבדה בריבוע (צ"ל אפס)
....אז האינוואריאנטה הזו היא האינטרוול והיא פרופורציונית לזמן העצמי שחלף בין שתי המאורעות (טאו בריבוע). במקרה החד ממדי:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?-ds%5E2=-c%5E2d%5Ctau%5E2=dx%5E2-c%5E2dt%5E2
 
אני מניח שאתה עובד ביחידות בהן c=1.
כמובן שזמן עצמי בין שני מאורעות הוא גודל אחד (וזהה לזמן הנמדד במערכת החללית)

תשובה סופית בהחלט:
האנרגיה פרופורציונית לאמפליטודה בריבוע והאמפליטודה דועכת אקספוננציאלית לפי טאו. אתה יכול למצוא את טאו של אוסילטור 1 מהנוסחה
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B-%5Cfrac%7B10%7D%7B%5Ctau_1%7D%7D=0.5
(זה הפקטור שמכפיל את האנרגיה ההתחלתית אחרי ההעלאה בריבוע)
 
מכאן:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctau_1=10/ln(2)
 
ואתה יודע שטאו של אוסילטור 2 הוא חצי ממנו, כלומר:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ctau_2=5/ln(2)
 
עכשיו אתה צריך רק למצוא מתי האנרגיה/אמפליטודה דועכת ל-10% מערכה ההתחלתי:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?exp(-t/%5Ctau_2)=10%5C%25
 
כלומר
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?t=-ln(0.1)%5Ctau_2=16.6%20%5C,%20sec

- הם היו יכולים לבחור בקוסינוס ובפאי באותה מידה, הם בחרו סינוס ואפס כדי לעבוד עם קבועים נוחים. בתכ'לס הפונקציות שהם היו מקבלים אם הם היו בוחרים בקבועים הנ"ל היו פונקציות שוות זהותית לפתרון שקבלו פה, וקשורות אליו ע"י זהויות טריגונומטריות. הם לא היו מקבלים פתרון שונה.
- הם לא אומרים שמעגל הוא מסלול החלקיק. הם אומרים שההיטל על מישור xy הוא מעגל שמרכזו ב-(R,0). והם צודקים. הם מפרטים את החישוב שהם עשו -
http://www.codecogs.com/gif.latex?(x-R)%5E2+y%5E2=R%5E2
כאשר x,y הם רכיבי r בכיוונים הנ"ל. זו משוואה של מעגל.

הכבידה פועלת על מרכז המסה ולכן לא תורמת למומנט (r=0).
או במילים אחרות, אם היית סוכמת את המומנטים שמפעילה הכבידה על כל דיפרנציאל מסה בגליל ביחס לציר הגלגול היית מקבלת אפס

 
לגבי השאלה השנייה:
1. צריך לרשום משוואת כוחות, לחלץ את התאוצה הקווית וממנה את המהירות הקווית כפונקציה של הזמן. 
2. מהחוק השני לגוף קשיח מוצאים את התאוצה הזוויתית ואת המהירות הזוויתית כפונקציה של הזמן.
3. בגלגול מלא מתקיים v=wR. מהצבת סעיפים 1,2 במשוואה מוצאים את הזמן.
4. מסעיף 1 ניתן למצוא בעזרת אינטגרציה את הדרך כפונקציה של הזמן. בהצבת הזמן מסעיף 3 מגיעים לתשובה.
 
עריכה: תשובה תוקנה. משוואת אנרגיה לא עובדת פה.

- http://www.codecogs.com/gif.latex?a_0 הוא גם לא F חלקי מסת הקרון.

תאוצת הקרון היא סכום הכוחות על הקרון חלקי המסה שלו,
חוץ מ-F פועל על הקרון כח נוסף בכיוון האופקי - השולחן מפעיל על הקרון חיכוך בכיוון מנוגד לתנועה (כלומר, מנוגד לכיוון F במקרה זה). סכום הכוחות על הקרון הוא הסכום של F והחיכוך הזה (עם הסימנים המתאימים, וראה המשך).
כדי לחשב את החיכוך אתה צריך למצוא את הכוח הנורמלי שהשולחן מפעיל על הקרון, והוא תלוי במסות של השולחן ושל המסה שנמצאת עליו.
 
 
אתה צריך להצמיד לבעייה מערכת צירים שמתארת אותה ולקבוע את הסימנים של הגדלים הפיזיקליים לפיה. לדוגמא, להחליט שציר X (האופקי) הוא בכיוון הכוח F - ואז F חיובי והחיכוך שלילי; וציר y (האנכי) הוא בכיוון הכוח הנורמלי של הקרון על השולחן ("למעלה") - ואז הכח הנורמלי הנ"ל חיובי והכבידה שלילית.
אחרי שקבעת מערכת צירים לבעייה נקבעו כל הסימנים של הכוחות ואתה סוכם אותם עם הסימנים המתאימים.