אודי

כנראה שאפשר להוכיח שהפונקצייה הסתומה הזו עומדת בתנאי משפט הפונקציות הסתומות, אחרת התרגיל לא פתיר.
בכל מקרה, אין צורך שנטריח את עצמנו בזה. נניח שכן ונראה שזה מוביל לתשובה.
 
אנחנו מניחים שקיימת פונקצייה y=f(x) שמתאימה לפונקצייה הסתומה הזו בסביבת הנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?(x_0,y_0)=(%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D,0) וצריך למצוא את הנגזרת שלה, http://www.codecogs.com/gif.latex?y', שמתאימה לשיפוע המשיק המבוקש L.
 
הפונקציה הסתומה שלנו היא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csin(2x+y)+xy=0
 
נגזור אותה לפי x בעזרת כלל השרשרת (את התלות ב-x קל לגזור, כשגוזרים את y לפי x מכפילים בנגזרת הפנימית http://www.codecogs.com/gif.latex?y'):
 
מקבלים:
http://www.codecogs.com/gif.latex?2%5Ccos(2x+y)+%5Ccos(2x+y)y'+y+xy'=0
 
ומכאן
http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=-%5Cfrac%7By+2%5Ccos(2x+y)%7D%7Bx+%5Ccos(2x+y)%7D=-%5Cfrac%7B0-2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D
 
המשוואה של המשיק היא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?y=y'(x-x_0)+y_0=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D(x-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)
 
והוא חותך את ציר y בנקודה שבה x=0, שיוצאת:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D-1%7D(0-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D)=%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B2-%5Cpi%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Cfrac%7Bn%5E2+3%7D%7Bn%5E2+5n-4%7D)%5E%7B2n%7D=(1-%5Cfrac%7B5n-7%7D%7Bn%5E2+5n-4%7D)%5E%7B2n%7D=(1-%5Cfrac%7B10-%5Cfrac%7B14%7D%7Bn%7D%7D%7B2n+10-%5Cfrac%7B8%7D%7Bn%7D%7D)%5E%7B2n%7D
 
כאשר
- בין הצעד הראשון לשני בדקתי מה ההפרש בין המכנה למונה כדי ליצר הפרש בין 1 לשבר;
- ובין הצעד השני לשלישי כפלתי את המונה והמכנה של השבר החדש ב-2 וחלקתי ב-n.
- בשבר בביטוי החדש שהתקבל, 10 הוא האבר הדומיננטי במונה ו-2n במכנה, ולכן הוא זהה לגבול של הביטוי
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?(1-%5Cfrac%7B10%7D%7B2n%7D)%5E%7B2n%7D
 
שהוא פשוט
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B-10%7D
 
(כי כידוע הגבול ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?(1-%5Cfrac%7Bx%7D%7Bn%7D)%5E%7Bn%7D הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B-x%7D)

נרשום את המבנה הכללי של כל אברי b:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?b_1=%5CSigma_i%5C,x_iA_%7Bi1%7D=x_1A_%7B11%7D+x_2A_%7B21%7D+...+x_mA_%7Bm1%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?b_2=%5CSigma_i%5C,x_iA_%7Bi2%7D=x_1A_%7B12%7D+x_2A_%7B22%7D+...+x_mA_%7Bm2%7D
...
http://www.codecogs.com/gif.latex?b_n=%5CSigma_i%5C,x_iA_%7Bin%7D=x_1A_%7B1n%7D+x_2A_%7B2n%7D+...+x_mA_%7Bmn%7D
 
אבל ניתן לראות שלכל האיברים בסכומים המפורטים שנמצאים זה מתחת לזה יש גורם משותף, ולכן ניתן לכתוב את n השוויונות האלו בצורה וקטורית:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bb%7D=x_1A_%7B1,1:n%7D+x_2A_%7B2,1:n%7D+...+x_mA_%7Bm,1:n%7D
 
וזוהי בדיוק קומבינציה ליניארית של שורות המטריצה (http://www.codecogs.com/gif.latex?A_%7B1,1:n%7D היא השורה הראשונה במטריצה, http://www.codecogs.com/gif.latex?A_%7B2,1:n%7D השורה השנייה, וכו'. למען האמת אני לא זוכר איך נהוג לסמן שורות של מטריצה, אז נצמדתי לסינטקס של מטלב).

הסדרה מתכנסת לאפס. המבנה של האיבר הכללי בסדרה רומז לך ללכת על נוסחת הכפל המקוצר
http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E3-b%5E3=%20(%20a%20-%20b%20)%20(a%5E2+ab+b%5E2)
 
כאשר
http://www.codecogs.com/gif.latex?a=(n%5E2-9n+1)%5E%7B1/3%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?b=(n%5E2+8n-3)%5E%7B1/3%7D
 
אם תכפול את האיבר הכללי בסדרה (http://www.codecogs.com/gif.latex?a%20-%20b )  בביטוי המתאים לגורם השני במכפלה http://www.codecogs.com/gif.latex?(a%5E2+ab+b%5E2) ותחלק אותו באותו ביטוי, תקבל במונה:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E3-b%5E3=n%5E2-9n+1-n%5E2-8n+3=4-17n
 
ובמכנה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5E2+ab+b%5E2=(n%5E2-9n+1)%5E%7B2/3%7D+(n%5E2-9n+1)%5E%7B1/3%7D(n%5E2+8n-3)%5E%7B1/3%7D+(n%5E2+8n-3)%5E%7B2/3%7D
 
אם תוציא מהמכנה גורם משותף http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B4/3%7D תראה שבגבול שבו n שואף לאינסוף המכנה הולך כמוהו (זו החזקה הכי גבוהה שם) והמונה הולך כמו n. כלומר כל הסדרה מתנהגת כמו http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B-1/3%7D, כלומר הולכת לאפס.
(פורמלית, אתה יכול להראות שהסדרה היא מכפלה של גורם ששואף לקבוע ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?n%5E%7B-1/3%7D ששואף לאפס ולהשתמש במכפלת גבולות).

D=(AB)C
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?AB_%7Bil%7D=%5CSigma_k%20%5C,%5C,a_%7Bik%7Db_%7Bkl%7D
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?D_%7Bij%7D=%5CSigma_l%20AB_%7Bil%7Dc_%7Blj%7D=%5CSigma_l%5C,%5C,(%5CSigma_k%5C,%20%5C,a_%7Bik%7Db_%7Bkl%7D)c_%7Blj%7D=%5CSigma_l%5C,%5C,%5CSigma_k%5C,%20%5C,a_%7Bik%7Db_%7Bkl%7Dc_%7Blj%7D
 
כאשר בין הצעד השני לשלישי בצעתי את המכפלה בין הסכום בסוגריים לאבר השלישי (שגם הוא נסכם), כלומר השתמשתי בדיסטריבוטיביות של כפל רגיל, לא כפל מטריצות.
 
E=A(BC)
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?BC_%7Bkj%7D=%5CSigma_l%5C,%20%5C,b_%7Bkl%7Dc_%7Blj%7D
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?E_%7Bij%7D=%5CSigma_k%5C,%20%5C,a_%7Bik%7DBC_%7Bkj%7D=%5CSigma_k%5C,%5C,a_%7Bik%7D(%5CSigma_l%20%5C,%5C,b_%7Bkl%7Dc_%7Blj%7D)=%5CSigma_l%5C,%5C,%5CSigma_k%20%5C,%5C,a_%7Bik%7Db_%7Bkl%7Dc_%7Blj%7D
 
כאשר בין הצעד השני לשלישי בצעתי את המכפלה בין האבר הבודד לסכום, סכמתי עליו, והזזתי את סימון הסכימה לפי l אחורה בשני אברים (משמאל לאבר http://www.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bik%7D והסכום לפי k. מותר כי האיבר הזה לא תלוי באינדקס l).
 
קבלנו את אותו ביטוי בדיוק (היינו יכולים לקבל ביטוי ששונה רק בסימון אינדקסי הסכימה k ו-l, שאינו חשוב כי הם נסכמים), ומכאן
 
E=D

הם מוגדרים לך בשאלה. הם direction cosines, כלומר הקוסינוסים של הזוויות של הוקטור הנ"ל עם שלושת הצירים. הם רכיבים של וקטור יחידה בכיוון ציר הסיבוב.
אתה יכול להסתכל פה, מראים שם איך מפתחים את הנוסחא שמצוטטת בפתרון מההגדרה הסטנדרטית של מומנט האינרציה.
 
אני הבנתי (בטעות) שאתה צריך את טנזור האינרציה במערכת החדשה, לא את מומנט האינרציה הכולל, שזו שאלה פשוטה יותר.

אוקי, יותר ברור. a,b,c הוא וקטור יחידה ומוכיחים את חוק פסקל.
 
אני חושב שזה חישוב שהמקור שלו בוקטורים בתיכון וגיאומטריית המרחב.
 
נחשב את הקשר בין השטח של המשולשים http://www.codecogs.com/gif.latex?S_s ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?S_x.
לשני המשולשים יש צלע משותפת (זו שבמישור yz), אבל הגובה של המשולש http://www.codecogs.com/gif.latex?S_x לצלע הזו הוא ההיטל של הגובה של המשולש http://www.codecogs.com/gif.latex?S_s לצלע הזו על מישור yz.
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?h_x=h_s*%5Ccos%5Ctheta
 
כאשר תטא היא הזווית בין המשולש http://www.codecogs.com/gif.latex?S_s למישור yz.
אבל הזווית הזו היא בדיוק הזווית בין הניצב למשולש http://www.codecogs.com/gif.latex?S_s (הוקטור n) לבין הניצב למישור yz (ציר x), ומכיוון ש-n הוא וקטור יחידה, נובע מתכונות מכפלה סקלרית:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D%5Ccdot%5Chat%7Bx%7D=a=%7C%5Chat%7Bn%7D%7C%7C%5Chat%7Bx%7D%7C%5Ccos%5Ctheta=%5Ccos%5Ctheta
 
ולכן:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?h_x=ah_s
http://www.codecogs.com/gif.latex?S_x=aS_s
 
ובאותו אופן ניתן להוכיח את שאר השוויונות.

- אקסיומת המדידה אומר שמרגע שבצעת מדידה פונקציות הגל קרסה לזו של המצב המדוד. להבנתי אם המערכת שלך מבודדת (לא מאוד ריאליסטי) היא תשאר במצב הזה ללא הגבלה.
 
- אם אני מבין נכון (וגם הזכרתי לעצמי קצת מגיגול), אי הודאות אינסופית היא עבור הזמן המדוייק שבו התבצעה המדידה. כלומר אם מדדת ערך מדוייק של אנרגיה אין לך שמץ של מושג מתי התבצעה המדידה הזו
:)

המשוואה של שימור אנרגיה היא המשוואה הרגילה של שימור אנרגיה
היא לוקחת בחשבון את האנרגיה הקינטית של המוט ושתי המסות הצמודות אליו, שמכילה גם איבר שמתאים למהירות מרכז המסה וגם איבר שמתאים לסיבוב סביב מרכז המסה:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?E_k_%7B,m+m%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DM_%7Bm+m%7DV_2%5E2+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DI_%7Bm+m%7D%5Comega%5E2

אין צורך מיוחד להשתמש במשוואות של מרכז מסה בשאלה הזו. זו בעייה כללית יותר של חוקי שימור.
יש לך שתי משוואות, שימור תנע ושימור אנרגיה, ושני נעלמים, המהירויות האופקיות v (של המסה הקטנה) ו-V (של העגלה) כשהמסה הקטנה מגיעה לנקודה התחתונה.
מכיוון שהמערכת מתחילה ממנוחה, המהירויות האלו צריכות להיות בכיוונים מנוגדים כדי שיישמר תנע.
 
שימור האנרגיה מכתיב שהאנרגיה הפוטנציאלית של המסה הקטנה הופכת לאנרגיה קינטית של שתי המסות:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?mgR=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D5mV%5E2
 
ומשימור תנע בציר האופקי נובע
http://www.codecogs.com/gif.latex?0=mv+5mV
http://www.codecogs.com/gif.latex?V=-%5Cfrac%7Bv%7D%7B5%7D
 
מהצבה בשימור האנרגיה, הכפלה ב-2, צמצום m וכינוס אברים מתקבל:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?2gR=%5Cfrac%7B6%7D%7B5%7Dv%5E2
 
או
http://www.codecogs.com/gif.latex?v=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7DgR%7D

בבירור אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות כדי לחבר או להכפיל מספר אינסופי של מחוברים/גורמים/גבולות.
אחרת היית מקבל שהגבול הידוע
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?(1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D)%5En
 
הוא 1 ולא e.

יש לך שלושה נעלמים. אתה צריך שלוש משוואות, והדרישה שהקורה נמצאת בשיווי משקל נותנת לך שלוש:
 
1. סכום הכוחות בציר האופקי מתאפס
2. סכום הכוחות בציר האנכי מתאפס
3. סכום המומנטים על הקורה מתאפס
 
משוואות 1 ו-2 די ברורות מאליהם - מתקבלות מפירוק של כל הכוחות לרכיבים וסכימה שלהם.
לגבי המשוואה השלישית, יש לך חופש בחירה סביב איזו נקודה לחשב את סכום המומנטים (אם הקורה בשיווי משקל הם מתאפסים סביב כל נקודה).
כדאי לבחור את נקודה B, מכיוון שאז המומנטים שמפעילים החוטים שמחוברים אליה מתאפסים באופן טריוויאלי ומתקבלת משוואה עם נעלם אחד בלבד (http://www.codecogs.com/gif.latex?N_C) . שלושת המשוואות הן:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?N_C%20%5Ccos(45%5E%7B%5Ccirc%7D)+N_E%20%5Ccos(30%5E%7B%5Ccirc%7D)-N_D%20%5Ccos(45%5E%7B%5Ccirc%7D)-%20F%5Ccos(60%5E%7B%5Ccirc%7D)=0
http://www.codecogs.com/gif.latex?N_C%20%5Csin(45%5E%7B%5Ccirc%7D)+N_E%20%5Csin(30%5E%7B%5Ccirc%7D)+N_D%20%5Csin(45%5E%7B%5Ccirc%7D)-%20F%5Csin(60%5E%7B%5Ccirc%7D)=0
http://www.codecogs.com/gif.latex?F%5Csin(60%5E%7B%5Ccirc%7D)%5Cbar%7BFB%7D-N_C%20%5Csin(45%5E%7B%5Ccirc%7D)%5Cbar%7BAB%7D=0
 
מהמשוואה השלישית ניתן לבודד את http://www.codecogs.com/gif.latex?N_C:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?N_C=%5Cfrac%7B1.25%20%5Ctimes%20F%5Csin(60%5E%7B%5Ccirc%7D)%7D%7B2.25%20%5Ctimes%20%5Csin(45%5E%7B%5Ccirc%7D)%7D=30.6%5C,kN
 
ואם תחבר את שתי המשוואות הראשונות תיפטר מ-http://www.codecogs.com/gif.latex?N_D ותוכל לבודד את http://www.codecogs.com/gif.latex?N_E:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?N_E=%5Cfrac%7BF(%5Csin(60%5E%7B%5Ccirc%7D)+%5Ccos(60%5E%7B%5Ccirc%7D))-N_C(%5Csin(45%5E%7B%5Ccirc%7D)+%5Ccos(45%5E%7B%5Ccirc%7D))%7D%7B%5Csin(30%5E%7B%5Ccirc%7D)+%5Ccos(30%5E%7B%5Ccirc%7D)%7D=13.3%5C,kN
 
ומהצבה של שתי התוצאות במשוואה השנייה או הראשונה תוכל לחלץ את http://www.codecogs.com/gif.latex?N_D. למשל, מהראשונה:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?N_D=%5Cfrac%7BN_C%20%5Ccos(45%5E%7B%5Ccirc%7D)+N_E%20%5Ccos(30%5E%7B%5Ccirc%7D)-%20F%5Ccos(60%5E%7B%5Ccirc%7D)%7D%7B%5Ccos(45%5E%7B%5Ccirc%7D)%7D=15.1%5C,kN

התוסף שמשמש לכתיבת נוסחאות בפורום (tex) מקרטע. מאוד מרגיז.
 
בכל מקרה, הפתרון של הבעייה אמנם מסתמך על השוואת המרחק שעברו שני הגופים. מאינטגרציה פעמיים מתקבל:
 
x1 = ct3/6 - 9t2/2
x2 = -ct3/6 + 3t2/2 + v0t
 
כאשר:
1. השתמשנו בעובדה שהמהירות ההתחלתית של גוף 1 היא אפס באינטגרציה של התאוצה שלו;
2. השתמשנו בעובדה שההעתק ההתחלתי של שני הגופים הוא אפס באינטגרציה של המהירות שלהם;
3. v0 היא המהירות ההתחלתית המבוקשת של הגוף 2.
 
אם את משווה בין x1 ל-x2 ומציבה את זמן הפגישה ביניהם במשוואה את מקבלת משוואה פשוטה ל-v0. מומלץ לבודד את v0  לפני ההצבה.

מסתכלים על הבעייה במערכת מרכז המסה.
אם יש לנו רק חלקיק אחד, במערכת מרכז המסה הוא יהיה במנוחה.
משימור אנרגיה במערכת מרכז המסה נובע שאם החלקיק הזה מתפרק הוא לא יכול להתפרק לחלקיקים שסכום מסות המנוחה שלהם גדול משלו, כי אז שימור אנרגיה לא יכול להתקיים. ולכן תהליך 3 לא אפשרי.
לפוטון אמנם אין מערכת מנוחה, אבל לשני החלקיקים שהוא מתפרק אליהם יהיה תנע כולל אפס במערכת מרכז המסה ולו בעצמו לא יכול להיות תנע כולל אפס (והוא גם לא יכול להיות במנוחה), ולכן תהליך 4 לא אפשרי (סותר גם שימור אנרגיה וגם שימור תנע).

אני חושב שמקור הבלבול פה הוא שהמזחלת והמסה שנמסה ממנה נעים ביחד, באותה מהירות.
הסיבה היא שהמזחלת מעניקה למסה שנמסה ממנה את המהירות שלה, ומהרגע שהמסה עזבה אותה התאוצה של שתיהן זהה (http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cmu%20g, נובע מהתלות הליניארית של החיכוך הקינטי שפועל על שתיהן במסה)
 
לכן במקום להסתכל רק על המזחלת אפשר להסתכל על המזחלת והקרח שנמס ממנה כמערכת אחת עם תאוצה ומהירות משותפות.
המסה של המערכת הזו קבועה, http://www.codecogs.com/gif.latex?m_0, וגם הכוח החיצוני שפועל עליה קבוע - החיכוך הקינטי שפעל על המזחלת ברגע t=0. ולכן:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CSigma%20F%20=%20-%20%5Cmu%20m_0%20g%20=%20m_0%20a
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?a=-%5Cmu%20g
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?v(t)=v_0-%5Cmu%20g%20t
 
בעצם זו סוג של הונאה כי לא מדובר באמת בשאלה של מסה משתנה, כי המסה ה"אבודה" ממשיכה לנוע עם המזחלת.

אני אדגים באמצעות חישוב:
 
נניח שמדדת בין שתי נקודות הפרש מתחים של 2 וולט במד מתח שהשגיאה שלו היא 0.01 וולט.
בין אותן שתי נקודות מדדת עם סרגל הפרש של 4 ס"מ (כאשר השגיאה של הסרגל היא 0.1 ס"מ, או מילימטר אחד).
 
אתה יודע שהשגיאה בהפרש המתחים והפרש המיקום גדולה יותר מהשגיאה במדידה בודדת של מתח או מיקום (היא נתונה לפי נוסחה 5 בטבלה לעיל, והיא יוצאת שגיאת המדידה של המכשיר כפול פקטור שורש 2).
 
לכן:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x%20=%204%5C,%20%5C,cm
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5CDelta%20x%20=%20%5Csqrt%7B2%7D%20%5Ctimes%200.1%5C,%20%5C,cm
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20v%20=%202%5C,%5C,%20V
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20%5CDelta%20v%20=%20%5Csqrt%7B2%7D%20%5Ctimes%200.01%5C,%5C,%20V
 
מכאן, לפי נוסחה 6:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta%20E=%20%5Cdelta%20(%5Cfrac%7B%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20x%7D)=%5Cfrac%7B%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20x%7D%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B%5Cdelta%20%5CDelta%20v%7D%7B%5CDelta%20v%7D)%5E2+(%5Cfrac%7B%5Cdelta%20%5CDelta%20x%7D%7B%5CDelta%20x%7D)%5E2%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B4%7D%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%5Ctimes%200.01%7D%7B2%7D)%5E2+(%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%5Ctimes%200.1%7D%7B4%7D)%5E2%7D=0.018%5C,%5C,%5Cfrac%7BV%7D%7Bcm%7D
 
 
(אתה כמובן צריך להמיר את היחידות של התוצאה הסופית ל-cgs או MKS כי כרגע זה שעטנז, אבל ההמרה (לפחות ל-MKS) טריוויאלית)

אתה צריך לדבר עם מרכז/ת הוראה בפקולטה שלך ולברר אם יש צורך בכלל.
בעיקרון לסטודנטים בתוארים גבוהים יש עדיפות בשיבוץ על פני סטודנטים לתואר ראשון כי הטכניון לא מאפשר להם לעבוד בחוץ (מעל כמות מנות מלגה מסויימת).
אם יש עודף סטודנטים כאלו שמעוניין לתרגל כנראה שתקבל סירוב מנומס.

א. אם נסמן את המרחק מהנקודה (1,1,3) ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?r=%5Csqrt%7B(x-1)%5E2+(y-1)%5E2+(z-3)%5E2%7D, אז הפונקצייה המתארת את עוצמת הקרינה היא:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?R%C2%AE=%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5E2+1%7D
 
לפונקצייה הזו יש סימטריה כדורית, ולכן ברור שכל כיוון שהציפור תבחר טוב באותה מידה, בהנחה שהיא נעה בכל כיוון באותה מהירות. את יכולה לחשב את הגרדיינט של הפונקצייה אבל הוא לא יעזור לך פה (כי הוא מתאפס... זו נקודת מקסימום גלובלי של הפונקצייה).
 
ב. האיש מוגבל ללכת על הגבעה (?, נקרא לזה גבעה), ולכן הוא צריך לבחור בכיוון שמתרחק מהנקודה הזו הכי מהר או בכיוון של הגרדיינט של הגבעה בנקודה. חישוב מהיר מראה שזה יוצא (2,1,1) (או אם צריך כיוון מנורמל, התוצאה הזו חלקי שורש שש).
 
אני לא מתלהב מהשאלה הזו, כי סעיף ב' מרמז שהלוגיקה שהייתה נחוצה כדי לפתור את סעיף א' לא נכונה (מן הסתם אם יש יש גבעה היא מגבילה גם את התנועה של הציפור, היא לא יכולה לטוס דוך לאדמה), אבל זה מה יש

- הנורמל שלך פונה כלפי חוץ ולא כלפי ציר z כמו שבקשו
- תחום האינטגרציה שלך בזווית גדול מדי. רצו חצי מעטפת גלילית (http://www.codecogs.com/gif.latex?y%20%5Cgeq%200) , לא מעטפת גלילית שלמה.
- שני התיקונים האלו מביאים אותך לתשובה הנכונה.

(עריכה: הפתרון תוקן)
 
הזרם דרך המוט נובע מהסוללה ומהכא"מ המושרה, והוא כזה שיאפס את סכום הכוחות על המוט:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?BIL-mg=0
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I=%5Cfrac%7Bmg%7D%7BBL%7D
 
ההספק של המעגל הוא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?P_%7Be%7D=IV_0=%5Cfrac%7BmgV_0%7D%7BBL%7D
 
ההספק הכולל של הסוללה הוא:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?P_0=%5Cfrac%7BV_0%5E2%7D%7BR%7D
 
ההספק המבוזבז מכנית (על דחיפת המוט ימינה במהירות קבועה) הוא ההפרש שלהם:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?P_m=P_0-P_%7Be%7D
 
וכדי למצוא את האחוז המבוקש את צריכה לחלק את התוצאה הזו בהספק של הסוללה ולהכפיל במאה (כדי לקבל תוצאה ביחידות של אחוזים):
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?P=100%5Ctimes(1-%5Cfrac%7BP_e%7D%7BP_0%7D)=100(1-%5Cfrac%7BmgR%7D%7BBLV_0%7D)

לפי מיטב הבנתי, אם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha לא תלוי ב-x (והוא לא) אז אין שום הבדל בינו לבין y. פשוט שם שונה
 
אתה יכול לייצג כל זוג משתנים בלתי תלויים ע"י מערכת קואורדינטות קרטזית.

צודק, טכנית יוצא שהפונקציה שבחרתי היא מינימום, לא מקסימום
8-[
אותה הצבה שדברתי עליה נותנת לי את הפונקציה על האילוץ כפונקציה של x ואפשר לראות אם זה מינימום או מקסימום (פרבולה). תקנתי לבחירה מתאימה.

אתה צריך וקטור יחידה שהרכיב שלו בכיוון z הוא שליש.
וקטור שיש לו רק רכיב שליש בכיוון z לא טוב כי וקטור היחידה המתאים לו הוא, כאמור, (0,0,1) וזה ייתן נגזרת מכוונת גדולה מדי.
צריך להשלים רכיבי x ו-y שיתנו עם שליש וקטור יחידה, לדוגמא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Chat%7Bi%7D+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%5Chat%7Bj%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20%5Chat%7Bk%7D

כן, יש טעות. כשאתה מחלק את הזמן בזמן המחזור אתה מקבל את הביטוי הזה מוכפל ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Comega%20%5Ctau.
אולי במקור הייתה שם הנחה כלשהיא שהופכת את המכפלה שלהם ל-1, אבל היא לא שם.

אין לך גרף פונקצייה רציף וחלק אלא סדרת מדידות עם שגיאות. אם היה לך גרף רציף ונטול שגיאות באמת לא היה הבדל.
 
מכיוון שהגרף אינו רציף, מידת הדיוק בהערכה של זמן החיתוך עם ציר x (שעליו הזווית אפס) טובה יותר מאשר מידת הדיוק בהערכה של זמן ההגעה לכל זווית אחרת, משום שהשיפוע של הגרף מקסימלי בזמן החיתוך עם הציר (הנגזרת של סינוס - קוסינוס).
 
אם יש לך שתי מדידות משני הצדדים של אפס מרווח הזמנים ביניהם יהיה קטן מאוד ואי הודאות לגבי זמן החיתוך קטנה (מה גם שסינוס די ליניארי באיזור הזה אז ניתן להעריך את זמן החיתוך די במדוייק אם רוצים מאינטרפולציה).
 
מאידך אם אתה בוחר זווית בקרבת המשרעת של התנודה, השיפוע של הגרף קטן מאוד וכתוצאה מהרזולוציה הסופית של הגלאי תקבל הרבה מדידות רצופות עם אותו ערך, מה שיקשה עליך להעריך את זמן ההגעה המדוייק לזווית שבחרת ויכניס אי ודאות גדולה יותר לזמן המחזור.