אודי

1. הלגרנז'יאן מכיל פוטנציאל דו חלקיקי בלבד, כלומר תלוי רק בהפרשים של ה-q-ים השונים.
2. ההזזה a, להבנתי, משותפת לכל החלקיקים ולכן מתקנסלת בהפרשים.
3. מ-1 ו-2 נובע שהלגרנז'יאן לא תלוי ב-a מפורשות ולכן הנגזרת החלקית לפי a מתאפסת.
4. סכום הנגזרות החלקיות ב-q-ים הוא פשוט הנגזרת החלקית לפי a כפי שהיא מחושבת ע"י כלל השרשרת, כאשר אתה מחשב אותה לא מהצורה המפורשת של הלגרנז'יאן אלא מהצורה הפונקציונלית הכללית שלו:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L(q_1+a,q_2+a,...,q_n+a,%5Cdot%7Bq_1%7D,...,%5Cdot%7Bq_n%7D%20,t)%7D%7B%5Cpartial%20a%7D=%5Csum%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7Bq_%7Bj%7D%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7Bq_%7Bj%7D%7D%7D%7B%5Cpartial%20a%7D=%5Csum%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7Bq_%7Bj%7D%7D%7D%5Ctimes1
 
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L(q_1+a,q_2+a,...,q_n+a,%5Cdot%7Bq_1%7D,...,%5Cdot%7Bq_n%7D%20,t)%7D%7B%5Cpartial%20a%7D=%5Csum%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Ctilde%7Bq_%7Bj%7D%7D%7D
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Ctilde%7Bq_j%7D=q_j+a)
 
5. הגזירה לפי כלל השרשרת נכונה לכל לגרנז'יאן (גזרנו פונקצייה כללית). ההשוואה שלה לאפס נכונה רק ללגרנז'יאן שבאמת סימטרי להזזה (למשל הלגרנז'יאן הספציפי הנתון בזכות אופי הפוטנציאל שלו).
 
6. בבעייה לא מקפידים על סימון לא מבלבל של המשתנים ולכן קשה לזהות שמדובר בכלל השרשרת. אבל זה הוא.

איך קבלת את האיבר הזה?
מאינטגרציה של רכיב x של השדה לפי x והוספת מינוס (כי השדה הוא מינוס הגרדיינט של הפוטנציאל) אתה מקבל ישר את התשובה.
יש בעיקרון קבוע אינטגרציה אבל נובע מהתנאי על הפוטנציאל בראשית שהוא חייב להתאפס.
 
(אפשר לבדוק את התשובה מאינטגרציה של רכיב y לפי y והוספת מינוס - יודעים שצריך לקבל אותה תשובה עד כדי פונקציה של x שנעלמת בגזירה של הפוטנציאל לפי y, וכך אמנם מקבלים)
 
נראה לי שעשית אינטגרציה לפי x גם על רכיב y...

אם אתה מכפיל את המשוואה ב-A^-1, מעביר את הפולינום שנשאר ב-A אגף ומחלק ב-12 אתה מקבל את התשובה המבוקשת.

את צריכה לחשוב על שני מסלולים שונים עם פרמטריזציה מתאימה ב-t שמגיעים לנקודה (1,1) מכיוונים שונים ונותנים גבולות שונים בהצבה של הפרמטריזציה בביטוי.
 
לדוגמא, תסתכלי על המסלול שבו את מגיעה לנקודה הזו מצד שמאל, במסלול שלאורכו y קבוע. אז המסלול נתון ע"י הפרמטריזציה:
x=t
y=1
כאשר t שואף ל-1 את מגיעה לנקודה (1,1), את יכולה לחשב את הגבול של הפונקציה כשאת מציבה בה את הפרמטריזציה הזו ואת מקבלת שהוא מינוס חצי.
 
עבור מסלול אחר תקבלי גבול אחר. כדאי לך לבחור מסלולים שבהם את מקבלת גבולות סופיים וברורים.

לא לפי מה שאני מקבל... יש שני ערכי t שמקיימים את המשוואות ושתי נקודות חיתוך.
http://www.codecogs.com/gif.latex?(t,s)=(0,4);%20(1,6,-4)
http://www.codecogs.com/gif.latex?(t,s)=(-3,7);%20(10,-6,-1)
 
לא הבנתי מאיפה התקבלה נקודת החיתוך השלישית. למשוואה הריבועית שמתקבלת מהשוואת הערכים אחרי הצבת s יש רק שני פתרונות ל-t, וכ"א מהם נותן רק ערך אחד לנקודת החיתוך.

http://www.codecogs.com/gif.latex?z(t) מתקבל מתוך הצבה של http://www.codecogs.com/gif.latex?y(t).
 
פרמטרזציה מתאימה לעקום תהיה למשל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?x=3%5Ccos(t)
http://www.codecogs.com/gif.latex?y=3%5Csin(t)
http://www.codecogs.com/gif.latex?z=36%5Csin%5E2(t)
 
לגבי צורת העקום, לא חושב שיש לה שם מיוחד. זו מין אליפסה מעוקמת כזו.

את צריכה שם?

הטענה אינה נכונה.
http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n=e%5E%7B-n%7D
מתכנסת לאפס אבל
http://www.codecogs.com/gif.latex?b_n=(-1)%5En
לא מתכנסת כלל, ועדיין מתקיים שהערך המוחלט של ההפרש בין אברי שתי הסדרות מתכנס ל-1.
 
השימוש בערך מוחלט בגבול מעודד לחשוב על סדרות עם סימן מתחלף.

לפי תנאי ההתחלה y היא הפונקציה המבוקשת ו-x הארגומנט, לא ההפך.
אם א-פריורי הוא לא בטוח שהפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?x(y) קלה להיפוך ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?y(x), לא כדאי לפתור ככה.
(מצד שני, אם פתרת וראית שהפונקציה הזו קלה להיפוך, תשכחי ממה שאמרתי).

זו לא התוצאה של אינטגרל משטחי מחדו"א 2.
אם המשטח מבוטא ע"י פונקציה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BS%7D=(r(z),%5Ctheta,z)
אז בקואורדינטות פולריות (כאשר מתחשבים ביעקוביאן):
http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7BS%7D=%7Cd%5Cvec%7BS%7D,_z%20%5Ctimes%20d%5Cvec%7BS%7D,_%5Ctheta%7Cr%20d%5Ctheta%20dz
ולאחר חישוב הנגזרות והמכפלה הוקטורית מתקבל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7BS%7D=r%5Csqrt%7Br'%5E2+1%7Dd%5Ctheta%20dz

אין הסבר כללי לכל הקבוצה. המקבץ הראשון קשור לאי שוויון המשולש והשני לתכונות של מכפלה סקלרית.
 
מאי שוויון המשולש:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7Bu%7D+%5Cvec%7Bv%7D%7C%5Cleq%7C%5Cvec%7Bu%7D%7C+%7C%5Cvec%7Bv%7D%7C
http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7Bu%7D-%5Cvec%7Bv%7D%7C%5Cgeq%7C%7C%5Cvec%7Bu%7D%7C-%7C%5Cvec%7Bv%7D%7C%7C
 
נובע ש
- המקסימום של הערך המוחלט של הסכום יתקבל משני וקטורים שבהם הערך המוחלט של הסכום הוא סכום הערכים המוחלטים
- המינימום של הערך המוחלט של ההפרש יתקבל משני וקטורים שבהם הערך המוחלט של ההפרש הוא הפרש הערכים המוחלטים
 
בשני המקרים וקטור היחידה המבוקש v/w הוא בכיוון הוקטור המקורי, כי זה וקטור היחידה שמקיים את שני התנאים לעיל.
 
לגבי מכפלה סקלרית, היא מקסימלית כשני הוקטורים באותו הכיוון ומתאפסת כשהם מאונכים (קוסינוס אפס וקוסינוס 90 בהתאמה). מכאן אפשר לנחש מה יהיו וקטורי היחידה המתאימים.

ניתן לכתוב את השבר גם כ:
http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cfrac%7B2sin%5E2(%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7Dx%5E2+2y%5E2)%7D%7B(x%5E2+2y%5E2)%5E2%7D%5Crightarrow-%5Cfrac%7B2(%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7Dx%5E2+2y%5E2)%5E2%7D%7B(x%5E2+2y%5E2)%5E2%7D
 
הארגומנט של הסינוס שואף לאפס בראשית ולכן הסינוס שואף לארגומנט שלו (או פורמלית - הגבול של הביטוי השמאלי והימני בראשית זהה)
כדי שלשבר יהיה גבול שלא תלוי במסלול ההתקרבות לראשית חייב להתקיים a/2=1 או a=2.
אחרי הצבה של a רואים שהגבול בראשית הוא b=-2.

1. הדטרמיננטה של מטריצה אנטי-סימטרית מסדר אי זוגי היא אפס (אני לא זוכר למה ואיך מראים, זה מויקיפדיה :oops: ), כלומר היא לא הפיכה.
    כדי שיהיה פתרון לא טריוויאלי למערכת ההומוגנית הנ"ל צריך להתקיים, בפרט (מלקיחת גורם משותף):
http://www.codecogs.com/gif.latex?A%5E5(3I-2A%5E4)=0%20%5Crightarrow%20A%5E4=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7DI%20%5Crightarrow%20A%5E%7B-1%7D=%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7DA%5E3
וזה לא יכול להיות כמובן כי A לא הפיכה. לכן אין פתרון לא טריוויאלי למערכת.
 
2. זה דווקא נכון. מהוצאת סקלר (2-) מהדטרמיננטה של אגף שמאל נובע:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C4B%5E2-6B%5E4%7C=(-2)%5En%7C3B%5E4-2B%5E2%7C
קל לראות שהמטריצה http://www.codecogs.com/gif.latex?3B%5E4-2B%5E2 דומה למטריצה http://www.codecogs.com/gif.latex?3A%5E4-2A%5E2* ולכן יש להן אותה דטרמיננטה. מכאן מש"ל.
 
* באמצעות הצבת http://www.codecogs.com/gif.latex?A=PBP%5E%7B-1%7D, צמצום המטריצה P עם ההופכית שלה במכפלות הפנימיות והוצאת גורם משותף.

א. הפתרון של מעגל RC לא רלוונטי כי המשוואה הדיפרנציאלית שונה. בפרט, יש לך שני מקורות לזרם - אחד מפריקת הקבל (האיבר הראשון) והשני מהזרם המושרה (האיבר השני).
...במובן זה, התשובה של סעיף א' היא לא פתרון סופי אלא משוואה לזרם שמכילה גדלים שהם פונקציות לא ידועות של הזמן ( (Q(t ו-(V(t במקום Q_0 ו-V)
 
ב. הזרם המושרה כלול ב-I_Tot כי גם הוא תורם למטען הקבל. למעשה הזרם המושרה "נאבק" בפריקת הקבל ומנסה לטעון אותו בחזרה. למטענים של הזרם המושרה אין מקום אחר ללכת חוץ מהקבל. ולכן הגזירה בזמן כוללת את שתי התרומות.
 
ג. באופן כללי, בחירת הסימן של הזרם היא עניין טכני, לא מהותי. אם הבנתי נכון, במקרה הזה יש בעייה כי כיוון הזרם המושרה הפוך לכיוון הפריקה של הקבל ורק כיוון אחד יכול להיות מוגדר כזרם בעל סימן חיובי ולשני צריך "להפוך" את הסימן או שתקבל שגיאה בפתרון. הם בחרו להגדיר את כיוון הזרם המושרה כ"שלילי" וכיוון הפריקה כ"חיובי". 
אני חושב שזה היה אמור לעבוד גם עם הגדרות הפוכות אבל לא פתרתי את התרגיל.

מטען בוחן, לפי הגדרה, הוא מטען שלא משפיע על הפוטנציאל*.
 
בבעייה מהתרגול אין לך מטעני בוחן. יש לך מטען שאינו מטען בוחן ותורם לפוטנציאל שמגיע מאינסוף.
 
...הוא תורם לפי אותו עיקרון של המטען השני, כך שהנוסחא עדיין מועילה.

...אבל באמת הכי פשוט לחשב את העבודה כמו בתרגול, כהפרש בין אנרגייה אלקטרוסטטית של המערכת במצב סופי להתחלתי, במקום לנסות להבין איך הפוטנציאל משתנה בבעייה.
 
*ההנחה בנוסחה שצטטת היא שהפוטנציאל phi אינו מושפע מהמטען q שמגיע מאינסוף. זו הנחה פיזיקלית סבירה במערכת שבה המטען קטן מספיק ביחס למטענים שמייצרים את הפוטנציאל.

א. התנע הזה הוא של חלקיק, לא של מערכת. החלקיק נע במהירות גבוהה במערכת, לא המערכת במהירות גבוהה.
 
ב. mU לבדו לא מתאר באופן נכון תנע של חלקיק במהירויות גבוהות. זה הגבול שמתקבל במהירויות נמוכות (כשגאמא בערך אחד). במהירויות גבוהות התיאור הנכון של התנע הוא כחלק מארבע וקטור עם האנרגיה, עם הקידומת גאמא לפניו. ולא רק בגלל שנוח לבצע עליו טרנספורמציית לורנץ.
 
ג. בפרט נובע מהסעיף הקודם:
1. חלקיק מסיבי שמתקרב למהירות האור צריך להיות בעל תנע ואנרגיה אינסופיים (אחד ה"תירוצים" להסביר מדוע הוא לא יכול להגיע לשם).
2. נסתכל על ניסוי התנגשות של שני חלקיקים במהירויות יחסותיות שונות (שיוצרים חלקיק חדש במהירות יחסותית חדשה).
    לפי התיאוריה, חוק השימור הרלוונטי הוא של הארבע וקטור תנע-אנרגיה, לא של התנע הרגיל. אם תכתוב את המשוואות תראה שה"תנע הרגיל" של כל חלקיק מקבל משקל שונה בשימור בהתאם לגאמא שלו. ניתן לבדוק נסיונית שזה חוק השימור שמתקיים ולא השימור הרגיל כי הם מנבאים תוצאות שונות למהירות של החלקיק החדש (בפרט, נסיונית תראה שסכום mu של שני החלקיקים שונה מ-mu של החלקיק החדש),

בסעיף א' הוכחת שנקודת המינימום הזו נמצאת על שפת התחום.
אם היא על שפת התחום היא יכולה להיות מינימום של הפונקצייה בתחום מבלי שהגרדיינט יתאפס.
תחשוב על הפונקציה f=1-x^2-y^2 בתחום שהוא מעגל ברדיוס יחידה מסביב לראשית.
יש לה מינימום על שפת התחום (0) למרות שהגרדיינט לא מתאפס שם.

זה מקור הטעות שלך.
 
מערכת הצירים בשאלה מסתובבת עם כדוה"א ולכן המיקום של המגדל קבוע בה.
 
גם האבן, שנזרקת ע"י מישהו שנמצא במערכת הזו ומסתובב עם כדוה"א, מסתובבת עם כדוה"א, אחרת הייתה לה מהירות בכיוון שונה מהרדיאלי במערכת המסתובבת והשאלה הייתה מסתבכת. 
 
הסטייה היחידה בין המגדל לאבן נוצרת מכוח קוריוליס שכיוונו (מינוס אומגה קרוס v) אכן מזרחה.

1. במוליך יש נושאי מטען (חלקיקים טעונים) שחופשיים לנוע בהשפעת שדה חשמלי. קלאסית אתה יכול לחשוב על אלקטרונים חופשיים במתכת, אבל זה לא חובה.
 
2. נושאי המטען יוצרים גם חלק מהשדה החשמלי - נושאי מטען בסימן זהה דוחים זה את זה ונושאי מטענים בסימנים הפוכים מושכים זה את זה. נניח לשם הפשטות שנושאי המטען בשני הכדורים המוליכים שלנו זהים (כלומר, המטען הכולל של הכדורים הוא בעל אותו סימן). 
 
3. כשמחברים את שני הכדורים נושאי מטען ינועו מהכדור בעל צפיפות המטען הגדולה יותר לכדור בעל צפיפות המטען הקטנה יותר, מכיוון שכח הדחייה השקול שהם מפעילים זה על זה גדול יותר מכוח הדחייה שהמטענים בכדור השני מפעילים עליהם, וכיוון הכוח השקול/השדה השקול הוא לכדור השני.
 
4. התהליך הזה יימשך כל עוד יש מטענים שהכוח השקול/השדה השקול עליהם שונה מאפס. הוא יסתיים במצב של שיווי משקל, שבו צפיפות המטען תהיה זהה בשני המוליכים.
 
5. במצב שיווי משקל אין שדה בתוך המוליך (כי השדות של המטענים השונים מבטלים אחד את השני) ולכן הפוטנציאל החשמלי חייב להיות קבוע, מכיוון שהשדה הוא גרדיינט של הפוטנציאל.

הסברתי, כנראה לא במספיק פירוט.
 
פתרנו משוואה אחת, הנגזרת לפי x, וקבלנו כחלק מהפתרון שלה פונקציה f שחייבת להיות פונקציה של y בלבד. חייבת חייבת חייבת.
אסור שיהיה שם x כי אז הוא נכנס לנגזרת לפי x, שהיא רכיב x של השדה F, והרכיב ההוא נוצר ע"י הפונקצייה השנייה בפתרון (http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2) בלבד.
אם f תהיה פונקציה גם של x אז רכיב x של השדה F יהיה שונה ממה שדרשנו מהפתרון.
 
כשאנחנו עוברים למשוואה השנייה, אנחנו גוזרים את f לפי y ומקבלים פתאום x, כלומר, כדי שיהיה פתרון למשוואה השנייה f צריכה להיות גם פונקציה של x, בסתירה לדרישה שדרשנו ממנה לפני שנייה.
כששתי משוואות מציבות דרישות סותרות על פונקציית הפתרון אין פתרון למערכת.

זה נכון לגבי מכפלה פנימי של וקטור בעצמו, לא באופן כללי.
בתיאוריה את צריכה לבדוק גם את כל הדרישות האחרות של מכפלה פנימית (אדיטיביות, כפל בסקלר וסימטריה, אם כי ברור שסימטריה מתקיימת).
נראה שדרישת החיוביות תהיה באמת המגבלה פה.

ולא, בתשובה ב' לא כל הע"ע הם 1. זו מטריצה מעל המרוכבים, יש לך n שורשים שונים.
הפולינום האופייני של מטריצת היחידה הוא תשובה ה', לא תשובה ב'.

כן, זה עובד. נניח שיש וקטור נוסף (a,b,c) שהוא פתרון של המערכת A'x=0.
אז בפרט נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?(a,b,c)1=(a,b,c)3=(a,b,c)5 כש-1,3,5 הן השורות במטריצה המקורית A.
ומזה נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?A(a,b,c)=C(1,0,1,0,1) עבור קבוע כלשהוא C.
אם נחלק את (a,b,c) ב-C נקבל ש-(a,b,c) חייב להיות כפולה של (1,2,3) (ב-C^-1).

אם יש מישור משיק בכל נקודה, אז נובע שבכל נקודה קיים למשטח גרדיינט סופי שמתאר את הוקטור הניצב לו
אם לפונקצייה יש גרדיינט סופי בכל נקודה היא גזירה בכל נקודה
אם היא גזירה בכל נקודה היא רציפה בכל נקודה, כי גזירות היא דרישה חזקה יותר מרציפות.
 
עריכה: תוספת -
שים לב שהמישור המשיק מוגדר פה באופן רציף על כל המרחב. המישור המשיק מכיל בתוכו את וקטור הגרדיינט במקדמים של http://www.codecogs.com/gif.latex?(z-z_0),(y-y_0),(x-x_0)
מכך שאומרים לך שהמישור המשיק מוגדר באופן רציף על כל המרחב אתה יכול להסיק שגם הגרדיינט רציף בכל המרחב, ובפרט:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f%20=%20(x+z,-y-z,x-y)

לא
בלי קשר לתחום, אם קיימת פונקציית פוטנציאל אז הנגזרות המעורבות שלה חייבות להיות שוות
אם הנגזרות לא שוות אין פונקציית פוטנציאל והשדה לא יכול להיות משמר

1. (נראה לי) כדי שאורך וקטור הגרדיינט יהיה גדול מאפס. אם יש וקטור גרדיינט שונה מאפס שלושת המשיקים חייבים להיות ניצבים לו ולכן חלק ממישור אחד שהוא ניצב אליו.
    תסתכל על פונקציית הכדור f=x^2+y^2+z^2 בראשית הצירים. הראשית (0,0,0) היא "משטח רמה", אבל הגרדיינט למשטח שווה שם לאפס וכיוונו לא מוגדר היטב, וכמובן שאי אפשר לדבר על עקומים או על משיקים להם.
 
2. לא אם רוצים לפתור עם משפט גרין. הוא מחייב גזירה נוספת ולכן מגיעים לנגזרת השלישית של f.
 
3. תסתכל על תחום A שמכיל את החצי העליון של מישור xy, בלי הראשית, ותחום B שמכיל את החצי התחתון של מישור xy, בלי הראשית.
    כ"א מהתחומים פשוט קשר אבל האיחוד שלהם לא פשוט קשר. ולכן אם יש שדה וקטורי שמשמר בכל תחום פשוט קשר (כי יש לו נקודה סינגולרית בראשית) הוא ישמר ב-A, ישמר ב-B, אבל לא באיחוד שלהם.