סדרות מתכנסות

[מנוי]

למדנו שכשלוקחים תת סדרה מסדרה מתכנסת כלשהי ,אז תת הסדרה גם תתכנס ולאותו הגבול.

אז חשבתי,

אם אני ארכיב סדרה חדשה מסדרה כלשהי, כשאני אקח כל פעם אברים בסדר שונה ממה שהם הופיעו מסדרה המקורית.

 

נגיד כל פעם אחליף את האיבר עם האינדקס המתחלק בחמש באיבר עם האינדקס המתחלק ב10,

האם הסדרה החדשה תתכנס גם לאותו הגבול כמו שהסדרה המקורית התכנסה.

 

בגדול ,לא למדנו משפט כזה, אבל אני לא מצליח לחשוב על דוגמא נגדית.

 

אשמח לקבל רעיונות.

[אסף]

לכל אפסילון החל ממקום מסוים בסדרה המקורית יש רק איברים בסביבת אפסילון של הגבול, ויש רק מספר סופי של איברים מחוץ לסביבת אפסילון. לכל אחד מהקבוצה הסופית הנל או שיש אינדקס חדש בסדרה החדשה או שאין כי הוא לא מופיע בה. אם נתחיל אחרי האינדקס המקסימלי מבין האינדקסים החדשים הרי שלאחריו אין איברים מחוץ לסביבת אפסילון. לכן הסדרה מתכנסת לאותו גבול.

[Raf]

לדעתי, מה שאסף אומר נכון ומספיק משכנע. כדי להמחיש אפשר להסתכל על דוגמה מספרית.

זה שלסדרה המקורית יש גבול זה אומר שהחל מאינדקס מסוים (נניח אינדקס 157) כל האיברים "קרובים" מספיק לגבול עד כדי אפסילון.

ז"א יש מספר סופי של איברים, למשל 10 איברים שחלקם או כולם "רחוקים" מהגבול יותר מאפסילון.

בינתיים יש לנו 10 איברים "רחוקים" שאנחנו יודעים שהם בין 157 האיברים הראשונים בסדרה.

עכשיו, נבלגן את הסדרה ע"י כך שניתן ל-2,000 אנשים להחליף שני איברים בסדרה כל אחד בתורו.

קיבלנו את הסדרה המקורית, רק מבולגנת ומעורבבת.

יתכן שחלק מ-10 האיברים ה"רחוקים" החליפו מקום.

נניח שהאיבר ה"רחוק" ששמו אותו אותו באינדקס הגדול ביותר הוא עכשיו במקום(באינדקס) ה-1,000,000

עכשיו, החל מהמקום ה-1,000,001 כל האיברים נמצאים בסביבה אפסילון של הגבול ולכן הגבול הוא אותו גבול.

יתרה מכך, גם אם תשנה את הערך של מספר סופי של איברים ולא רק תחליף איברים אז גם במקרה זה הגבול יישאר אותו הגבול.