אודי

לא הצלחתי להבין למה 3pi/4.
:scratch:
ערכי z חיוביים יש לך כאשר פי בין 0 ל-pi/2.
אם תכתבי את הגבול התחתון של תחום האינטגרציה ב-z שלך (החרוט) בקואורדינטות פולריות תקבלי את אי השוויון
http://www.codecogs.com/gif.latex?r%20%5Ccos%20%5Cphi%20%5Cgeq%20r%20%5Csin%20%5Cphi
ומכיוון ש-r חיובי, אפשר לצמצם אותו ולקבל
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Ccos%20%5Cphi%20%5Cgeq%20%5Csin%20%5Cphi
אי השוויון הזה מתקיים בחצי החיובי של ציר z עבור
http://www.codecogs.com/gif.latex?0%5E%7B%5Ccirc%7D%5Cleq%20%5Cphi%20%5Cleq%2045%5E%7B%5Ccirc%7D
ובהמרה לרדיאנים את מקבלת את התחום המבוקש.
 
שוב, שימי לב שכדי שערכי z ישמרו על אותה מגמה שהייתה להם לפני החלפת המשתנים (עלייה) את צריכה להגדיר את תחום האינטגרציה בפי הפוך, כלומר מ-pi/4 עד אפס.

זו הנחה שגוייה. שרטט את המשולש ואת הוקטור vt ותראה שבזמן שמרכז המוט התקדם מהראשית ב-vt הקצוות שלו התקדמו ב-vt כפול שורש שתיים.
x גדל בקצב מהר יותר מ-vt, לא איטי יותר.

אה, כמובן. תסתכל על
http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n=n
מבחן המנה נותן 1 אבל ברור שהגבול הוא אינסוף.

מי נתן לך את הרעיון הזה?

תוצאות הניסוי היו אחד הדברים שהתאוריה סבירה, אבל ממש לא המוטיבציה היחידה מאחורי התיאוריה.
...ולו רק משום שכל הקונספט (השגוי) של האתר היה נפוץ בקונטקסט רחב יותר מזה של ניסוי מייקלסון מורלי.
 
אם אתה רוצה לדעת למה תורת היחסות הפרטית נוצרה מלכתחילה:
http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/specrel.pdf
קריאה נעימה.

כן.
 
אתה מתחשב באנרגיות הקינטיות של שני הגופים או באנרגיה הקינטית של מרכז המסה, אלו לא אנרגיות נפרדות.
בדיוק בגלל שהכח משמר ומהירות מ"מ קבועה לא ייתכן ששני הגופים יעצרו.
 
היא תמיד תהיה קיימת, כן. היא פשוט תתחלק אחרת בין הגופים.

חלקתי את תחום האינטגרציה לשני חלקים כדי לטפל בנפרד בשתי הנקודות הבעייתיות של האינטגרל, 1 ואינסוף, בשני אינטגרלים נפרדים.
לאינטגרנד של האינטגרל יש אותו סימן בשני התחומים, חיובי, ולכן התוצאות של שני האינטגרלים הן תרומה באותו סימן; כדי שהאינטגרל כלא יתבדר על כל התחום הוא צריך להתכנס בשני החלקים.
 
בתחום הראשון, 1-2, ראיתי שהאינטגרל פתיר עבור אלפא שווה ל-2 ומתבדר.
עבור אלפא בין שתיים לאחד האינטגרל הזה גם מתבדר (ממבחן ההשוואה - האינטגרנד גדול יותר מהאינטגרנד עם אלפא=2 כי המכנה שלו קטן יותר מהאינטגרנד עם אלפא=2, כי איקס בחזקת אלפא קרוב יותר ל-x)
כלומר, אם התכנסות אפשרית בחלק הראשון היא צריכה להיות עבור אלפא גדול מ-2.
אבל אין תשובה כזו בתשובות האפשריות ולכן ברור כבר עכשיו שהאינטגרל מתבדר עבור כל אלפא ולא צריך באמת לבדוק אלפות גדולות מ-2.
 
בתחום השני, 2-אינסוף אפשר להשתמש במבחן ההשוואה הגבולית לאינטגרל בלי ה-x- ולראות שיש התכנסות רק עבור אלפא גדול מ-1, כלומר לא קבלנו מהחלק הזה אינפורמציה נוספת עבור הפתרון.

שני הפוטנציאלים שסימנת כפוטנציאלים שאמורים להיות זהים לא אמורים להיות זהים.
המטען על קליפה 2 לא תורם להפרש פוטנציאלים בין שתי נקודות בתוך הקליפה אבל כן תורם להפרש בין שתי נקודות מחוץ לקליפה, כי השדה של קליפה 2 בתוך קליפה 2 הוא 0.

בדף הראשון שואלים על הפרש הפוטנציאלים על הנגד הפנימי, שנמצא בתוך קליפה 2 ולכן לא מושפע מהמטען של קליפה 2. בשני הקצוות של הנגד התרומה של קליפה 2 לפוטנציאל זהה.
בדף השני שואלים על הפרש הפוטנציאלים על הנגד החיצוני, שנמצא מחוץ לקליפה 2 ולכן מושפע מהמטען של קליפה 2. התרומה של הקליפה לפוטנציאל בשני הקצוות לא זהה.

x לא מסמן אורך עצמי. x זו נקודה אחת. כדי לחשב אורך אתה צריך לחשב הפרש בין שני אירועים נייחים (או נקודות):
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?L_0=L'=x_2'-x_1'=%5Cgamma%20(x_2-vt_2-x_1+vt_1)
 
אורך עצמי מוגדר במערכת שבה המיקום של שני הקצוות קבוע ונייח, וזו (לפי הסימון שבחרנו) המערכת עם הטאגים, לא המערכת בלי הטאגים.
כדי למצוא את הקשר לאורך במערכת הנעה אתה צריך לעשות מדידה סימולטנית במערכת הנעה, כלומר לקבוע t1=t2. ואז תקבל את הקשר הנכון.
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?L_0=%5Cgamma%20L
 
אם תנסה לנסח את הקשר מהטרנסורמציה ההפוכה (או "להגדיר" אורך עצמי במערכת הנעה) זה לא יעבוד מכיוון שאתה לא יכול לדרוש שזוג אירועים (x1,t1 - "ראיתי קצה שמאלי" ו-x2,t2 - "ראיתי קצה ימני") יהיו סימולטנים בשתי מערכות שונות.
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20''%20L_%7B0%7D%20''=x_%7B2%7D-x_%7B1%7D=%5Cgamma(x_%7B2%7D'+vt_%7B2%7D'-x_%7B1%7D'-vt_%7B1%7D')
 
אבל לא יתכן http://www.codecogs.com/gif.latex?t_2'=t_1' כי אנחנו יודעים שכבר מתקיים
http://www.codecogs.com/gif.latex?t_2=t_1
וגם
http://www.codecogs.com/gif.latex?x_2%20%5Cneq%20x_1
 
אם תקח בחשבון את שני הנתונים האלו ותסתכל בטרנספורמציה של הזמנים תראה שטרנספורמציית לורנץ מאפשרת קיום סימולטניות רק במערכת אחת.
 
אז אם אנחנו "מגדירים הפוך" אורך עצמי אנחנו מקבלים שאי אפשר לקבל קשר טריוויאלי בינו לבין האורך במערכת המנוחה.

אני לא רואה פה שום קיצורי דרך או טריקים.
יש לך שישה פרמטרים חופשיים (a1,b1,c1,a2,b2,c2) וארבעה אילוצים עליהם.
זה אומר שבעיקרון יש לך שתי דרגות חופש (פרמטרים) שאתה יכול לבחור אחרי שנסחת את האילוצים ואז למצוא שאר הארבעה ע"י פתרון מערכת משוואות.
 
1. הצורך ששני המישורים יעברו באותה נקודה נותן לך שני אילוצים (הנקודה מקיימת את שתי משוואות המישור)
 
2. ישר החיתוך נותן לך אילוץ נוסף. כדי לוודא שהוא נמצא מחוץ לגליל אפשר לקבע את ערך x או y שלו על מספר גדול מ-9.
    אני הייתי בוחר ישר נוח ספציפי רחוק מהגליל, למשל ישר נחמד ומקביל למישור xy כגון  x=14, z=-5. זה נותן לך אילוץ אקסטרא אבל לדעתי מבטיח לך פתרון נוח יותר.
 
3. את שטח פני הגליל צריך כמובן לחשב בקואורדינטות גליליות. זה אינטגרל משטחי מסוג ראשון.
    אפשר לבטא את המשטח כפונקציה של תטא ו-z, כאשר גבולות האינטגרציה ב-z שהם המישורים יהיו תלויים בתטא (כי הם תלויים ב-x,y שהם פונקציה של הקבוע r=9 ותטא).
   השטח יתן לך אילוץ נוסף שמכיל את כל ששת הפרמטרים, ולכן כדאי לבצע את בחירת הפרמטר או שני הפרמטרים החופשיים כך שתעשה את המשוואה הזו נוחה יותר.
 
4. יש סיכוי שבחירה מאוד לא מוצלחת של הפרמטרים החופשיים תגרום שלא יהיה פתרון למערכת. אני מניח שאפשר משיקולי אלגברה ליניארית למנוע את זה, אבל לא הייתי משקיע עד כדי כך.
    הייתי פשוט בוחר משהו ומנסה לפתור.

http://forums.techstud.net/index.php/topic/6139-%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%94-%D7%A7%D7%98%D7%A0%D7%94-%D7%A8%D7%A7-%D7%A6%D7%A8%D7%99%D7%9B%D7%94-%D7%9B%D7%99%D7%95%D7%95%D7%9F

אתה מחלץ את  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20t, זמן החיים במערכת המעבדה, מחלוקה של  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20x  ב-V.
את  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20t'  אתה מוצא מאינווריאנטת לורנץ:
http://www.codecogs.com/gif.latex?C%5E%7B2%7D%5CDelta%20t%5E%7B2%7D-%5CDelta%20x%5E%7B2%7D=C%5E%7B2%7D%5CDelta%20t'%5E%7B2%7D
 
... אתה אפילו לא צריך לחשב את  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta%20t  מפורשות, רק להציב את השבר בביטוי בנוסחא ולצמצם את C.

הנה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?P=a+bx+cx%5E%7B2%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?q=4ac-b%5E%7B2%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?k=4c/q
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?187.%5C,%5C,%5C,%5Cintop%5Csqrt%7BP%7Ddx=%5Cfrac%7B(2cx+b%20)%5Csqrt%7BP%7D%7D%7B4c%7D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2k%7D%5Cintop%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7BP%7D%7D
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?181.%5C,%5C,%5C,%5Cintop%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7BP%7D%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7Bc%7D%7D%5Clog(%5Csqrt%7BP%7D+x%5Csqrt%7Bc%7D+%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%5Csqrt%7Bc%7D%7D)

אה, יותר הגיוני.
 
ההוכחה בשלילה. נניח ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?T(%5Cvec%7Bv_3%7D)   ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?T(%5Cvec%7Bv_4%7D) תלויים ליניארית.
אז קיימת קומבינציה שלהם שהיא וקטור האפס, נניח http://www.codecogs.com/gif.latex?aT(%5Cvec%7Bv_3%7D)+bT(%5Cvec%7Bv_4%7D)=0 כש-a,b מספרים ממשיים.
אבל מהליניאריות של הטרנספורמציה נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?T(a%5Cvec%7Bv_3%7D+b%5Cvec%7Bv_4%7D)=0 כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5Cvec%7Bv_3%7D+b%5Cvec%7Bv_4%7D  וקטור בגרעין, או
http://www.codecogs.com/gif.latex?a%5Cvec%7Bv_3%7D+b%5Cvec%7Bv_4%7D%20%5Cin%20Span(%5Cvec%7Bv_1%7D,%5Cvec%7Bv_2%7D)
...זה כמובן לא יכול להיות כי מדובר בארבעה וקטורי בסיס בלתי תלויים.
 

לא, זה אומר שההעתקה הספציפית הזו, בגלל איך שהיא מוגדרת, מעבירה את וקטורי הבסיס הספציפי הזה לעצמם (חוץ מהאחרון שעובר לאפס).

נראה לי שאתה מתבלבל עם הנוסחה לחישוב אורך של קטע מעקום.
אבל פה לא נשאלת על אורך של קטע מעקום אלא על קטע שהוא חלק מקו ישר - תחום אינטגרציה במימד אחד שנמצא על ציר x.
על קו ישר אפשר לחשב אורך קטע פשוט כהפרש קואורדינטות.
 
אתה צריך לקחת את האינטגרנד בערך מוחלט.
אם האינטגרנד משנה סימן בתחום האינטגרציה שלך חלק את התחום למספר קטעים שבכל קטע הסימן קבוע.
אז תוכל לודא שבכל קטע עליו אתה עושה אינטגרציה האינטגרנד יהיה חיובי (להוסיף מינוס אם צריך).
 
למשל, אם אתה עושה אינטגרציה על ערך מוחלט של סינוס בין אפס לשני פאי יש לך שני קטעים שבכל אחד לסינוס יש סימן אחר - בין אפס לפאי סינוס חיובי ובין פאי לשני פאי סינוס שלילי.
בשביל לעשות אינטגרל על ערך מוחלט של סינוס בקטע הזה אתה צריך לחלק את התחום לשני תת תחומים (שני אינטגרלים נפרדים) - בין אפס לפאי אתה עושה אינטגרציה על http://www.codecogs.com/gif.latex?sin(x) ובין פאי לשני פאי על http://www.codecogs.com/gif.latex?-sin(x).
חלקת את תחום האינטגרציה והתאמת את האינטגרנד שלך כך שיהיה חיובי לאורך כל התחום.

אתה צריך לנסח את משוואת המומנטים של הבעייה בצורה שתהיה מקבילה למשוואה של תנועה הרמונית (http://www.codecogs.com/gif.latex?F=ma=-kx)
(רמז - היא תהיה http://www.codecogs.com/gif.latex?N=I%5Calpha=-C%5Ctheta עם מקדם כלשהוא C שהוא פונקציה של g, L והמסות).
 
מהרגע שעשית את זה, אתה יודע שהפתרון למשוואת הוא תנודות הרמוניות בתטא בתדירות http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Comega=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7BC%7D%7BI%7D%7D וזמן המחזור הוא פשוט http://www.codecogs.com/gif.latex?T=%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Comega%7D
פשוט כי זה אותה משוואה בדיוק של אוסילטור הרמוני "רגיל" רק עם שמות שונים למשתנים ולקבועים.
 
החלק הבעייתי בשאלה הוא לא חישוב מומנט ההתמד I (מורכב ממומנט התמד של מסה נקודתית ושל מוט דק וארוך סביב ציר בקצהו), אלא חישוב מומנט הכוח N באופן בלתי תלוי ב-I.
קל לעשות זאת עבור המסה הנקודתית וקשה יותר עבור המוט, אבל אפשר לאלתר משהו
:)

טוב, הנחתי שציר הסיבוב נמצא מעל הדיסקה והמוט וקבלתי פתרון.
 
1. נרשום את מומנטי האינרציה ואת וקטור מהירות הסיבוב במערכת הצירים הנתונה:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BDisc%7D=%5Cfrac%7BmR%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%20&%200%20&%200%5C%5C0%20&%201%20&%200%5C%5C0%20&%200%20&%202%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5C;%5C;%5C;%20I_%7BMass%7D=mL%5E%7B2%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%20&%200%20&%200%5C%5C0%20&%201%20&%200%5C%5C0%20&%200%20&%200%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%5C;%5C;%5C;%5Comega=%5Comega_%7B0%7D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D0%5C%5C%5Ccos%5Ctheta%5C%5C%5Csin%5Ctheta%5Cend%7Barray%7D%5Cright)
 
2. התנע הזוויתי הכולל מקיים:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BL%7D=(I_%7BDisc%7D+I_%7BMass%7D)%5Comega=%5Cfrac%7Bm%5Comega_%7B0%7D%7D%7B4%7D(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D0,%20&%20(R%5E%7B2%7D+4L%5E%7B2%7D)%5Ccos%5Ctheta,%20&%202R%5E%7B2%7D%5Csin%5Ctheta%5Cend%7Barray%7D)
 
3. כאמור, המשוואה המרכזית שמשמשת לפתרון התרגיל היא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BN%7D_I=%5Cfrac%7Bd%20%5Cvec%7BL%7D%7D%7Bdt%7D_I=%5Cfrac%7Bd%20%5Cvec%7BL%7D%7D%7Bdt%7D_R+%5Comega%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BL%7D
 
מכיוון ש-  http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bd%20%5Cvec%7BL%7D%7D%7Bdt%7D_R=0   כל מה שנשאר לעשות כדי לחשב את המומנט במערכת האינרציאלית הוא המכפלה הוקטורית.
 
4. כשעושים את המכפלה הוקטורית מקבלים שהרכיב היחידי של המומנט שלא מתאפס טריוויאלית הוא רכיב x, ששווה ל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?N_%7Bx%7D=%5Cfrac%7Bm%5Comega_%7B0%7D%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%7D%7B4%7D(2R%5E%7B2%7D-(R%5E%7B2%7D+4L%5E%7B2%7D))
 
5. מתוצאת סעיף 4 ברור שאם L=R/2 נקבל שהמכפלה הוקטורית ולכן גם המומנט כולו יתאפסו.
 
יש בפתרון כמה נקודות רגישות אבל נגיע לזה אח"כ
:)

http://forums.techstud.net/index.php/topic/6054-%D7%90%D7%A0%D7%98%D7%92%D7%A8%D7%9C%D7%99%D7%9D/

מכיוון שהכל פה מפורק לרכיבים של בסיס אורתונורמלי אין הרבה הבדל

לעבוד עם וקטורים ב-R3 יותר אינטואיטיבי, רק שימי לב שאת כותבת את הטרנספורמציות נכון.

אכן. גם 1 היא פונקצייה. את יכולה לקרוא לה x^0 אם בא לך

ב' לא קשה.
 
נתחיל את התהליך עם 1. את וקטור הבסיס הראשון צריך פשוט לנרמל.
http://www.codecogs.com/gif.latex?
ועל כן כדי לנרמל את 1 צריך לחלק אותו בשורש שלוש. אז וקטור הבסיס הראשון שלנו הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1=1/%5Csqrt%7B3%7D
 
נעבור לוקטור השני בתהליך. נבדוק מה ההיטל של וקטור הבסיס השני על הראשון:
http://www.codecogs.com/gif.latex?
מצויין, הם כבר ניצבים. זה אומר שלא צריך לחסר את ההיטל של http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1 כפול http://www.codecogs.com/gif.latex?v_1 מהוקטור השני, רק לנרמל את הוקטור השני.
http://www.codecogs.com/gif.latex?
כלומר http://www.codecogs.com/gif.latex?v_2=x/%5Csqrt%7B2%7D
 
נעבור לוקטור האחרון בתהליך. ראשית, נחשב את ההיטלים של שני הוקטורים הקודמים עליו:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?
http://www.codecogs.com/gif.latex?
 
ההיטל של הוקטור השני מתאפס, אז צריך לחסר את ההיטל של הוקטור הראשון כפול הוקטור הראשון מ-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2 ולקבל וקטור חדש, http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2-2/3 ומכיוון ש:
http://www.codecogs.com/gif.latex?
צריך לנרמל (לחלק בפקטור http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B2/3%7D) כדי לקבל את הוקטור השלישי, http://www.codecogs.com/gif.latex?v_3=%5Csqrt%7B3/2%7D*x%5E2-%5Csqrt%7B2/3%7D
אפשר לודא שהוקטור הזה מנורמל.

די ברור שהערך העצמי המדובר הוא אפס, הערך העצמי עם הערך המוחלט הקטן ביקום

אפס הוא ערך עצמי של המטריצה כי השורות שלה תלויות. קל לאפס את השנייה והרביעית ע"י חיסור מכפלה בסקלר של השורות הראשונה והשלישית מהן, בהתאמה.
את יכולה גם לחשב את הדטרמיננטה ולראות שהיא מתאפסת.
 
היות ואפס הוא הע"ע המדובר שהוקטור הדרוש הוא ו"ע שלו, כל מה שאת צריכה לעשות הוא לכפול את הוקטור במטריצה ולהשוות לאפס.
זה והפרטים הנוספים שנמסרים לך על הרכיבים יספיקו לך כדי לחשב את כל הרכיבים.

לי זה דווקא נראה נכון.  ההוכחה עבור מטריצה מייצגת ממימד כללי מעט מייגעת, אבל אני חושב שהיא תקפה.
 
1. נכתוב את המטריצה המייצגת של הטרנספורמציה. היא מורכבת מעמודות שהן הטרנספורמציה של הבסיס. מכיוון ש:
http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_1)=v_1
http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_2)=v_1+v_2
...
http://www.codecogs.com/gif.latex?T(v_%7BN%7D)=%7B%5Cdisplaystyle%20%7B%5Cdisplaystyle%20%5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7BN%7D%7D%7Dv_%7Bi%7D
 
המטריצה המייצגת A היא מהצורה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccccccccc%7D1%20&%201%20&%201%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C0%20&%201%20&%201%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C0%20&%200%20&%201%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%5C%5C.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%5C%5C.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%20.%5C%5C0%20&%200%20&%200%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%201%20&%201%20&%201%5C%5C0%20&%200%20&%200%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%200%20&%201%20&%201%5C%5C0%20&%200%20&%200%20&%20.%20&%20.%20&%20.%20&%200%20&%200%20&%201%5Cend%7Barray%7D%5Cright)
 
2. קל לראות (ע"י חיסור מטריצת היחידה מהמטריצה הזו) ש-1 הוא ע"ע של המטריצה הזו, כי http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda%20I-A לא הפיכה ולכן קיים פתרון לא טריוויאלי ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Clambda%20I-A)%5Cvec%7Bv%7D=0.
 
3. הריבוי האלגברי של הע"ע הוא N (ניתן לראות ע"י חישוב הדטרמיננטה של http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda%20I-A, שקלה לחישוב אם מחסרים מכל שורה את השורה העוקבת).
 
4. לעומת זאת, הריבוי הגיאומטרי של הע"ע הוא 1 בלבד. ניתן לראות ע"י פתרון http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Clambda%20I-A)%5Cvec%7Bv%7D=0 באינדוקציה. משורה N-1 נובע שהרכיב ה-N של v מתאפס. מהצבתו בשורה N-2 נובע שהרכיב ה-N-1 של v מתאפס. וכן הלאה וכן הלאה, עד שאת מקבלת שהרכיב היחידי שלא חייב להתאפס הוא הראשון ולכן הע"ע היחידי של המטריצה הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?(1,0,0,0,...,0).
 
5. קבלנו שהריבוי הגיאומטרי קטן מהריבוי האלגברי ולכן המטריצה לא לכסינה.

במחובר הראשון באינטגרנד יש לך קוסינוס אחד מיותר, כמדומני. זה קוסינוס כפול סינוס בריבוע.
...התוצאה הסופית דווקא נראית לי נכונה, גם אחרי התיקון של האינטגרנד

יכול להיות שבגבול העליון של האינטגרל אתה צריך להוסיף סימן כפל? pi*2?

זה לא הכיוון. T(1)=beta לא נכון וגם הטרנספורמציה השנייה לא נכונה.
את מקבלת טרנספורמציה של קומבינציה של וקטורי הבסיס, ואף אחד לא אמר שרכיבי הקומבינציה הזו לא מתערבבים במהלך הטרנספורמציה (למשל המקדם של 1 יכול להפוך להיות חלק מהמקדם של x^2-1 וכו').
את צריכה לבנות את הייצוג הוקטורי של המקור x^2+2x+1 ושל הטרנספורמציה שלו x^2+4x+beta בבסיס הנתון.
יש לך את מטריצת הטרנספורמציה באותו ייצוג וקטורי שאת יכולה להכפיל בייצוג הוקטורי של המקור ולהשוות לייצוג הוקטורי של הטרנספורמציה.