אודי

מאיפה השאלה? האם יש פתרון, לפחות ברמת תוצאה?
בכל מקרה, המפתח לפתרון השאלה הוא שיטת הדמויות.
השדה במישור האינסופי מתאפס, ולכן הפתרון לשדה באיזור המטען q מתאים לפתרון שבו המישור המוארק לא קיים וקיים במקומו מטען דמות q- במרחק 2d מהמטען המקורי בכיוון המישור המוליך המוארק.
 
א. הכוח שפועל על המטען q תואם, כאמור, לכח שמפעיל מטען נקודתי q- במרחק 2d. כלומר הגודל של הכח הוא
  http://www.codecogs.com/gif.latex?F=%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B4d%5E2%7D
והכיוון שלו הוא בכיוון המישור המוארק.
 
ב. שוב, האנרגיה מתאימה לאנרגיה האצורה במערכת שני המטענים הנקודתיים, שהיא מכפלה של המטען q בפוטנציאל של המטען q- במרחק 2d:
http://www.codecogs.com/gif.latex?W=V_%7B-q%7Dq=-%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B2d%7D
 
ג. משהו פה מוזר. יש מצב שאתה אמור להניח שהכח נשאר קבוע כמו ב-א' ואז הפתרון קל (תנועה בתאוצה קבועה). לדעתי זה לא נכון, כמובן, כי ברגע שהמטען מתקרב למישור המוארק גם מטען הדמות זז. אבל הפתרון שאני חושב שנכון מוביל למשוואה דיפרנציאלית מסובכת שלא ברור לי איך אתה אמור לפתור. הוא בספוילר פה אם אתה מעוניין. אם אתה מניח שהכוח נשאר קבוע (וכאמור, ממש אין סיבה להניח דבר כזה), מתקבל שהתאוצה היא
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?a=%5Cfrac%7Bkq%5E2%7D%7B4md%5E2%7D
ואז הזמן הוא פשוט (מנוסחא של תנועה בתאוצה קבועה, http://www.codecogs.com/gif.latex?d=%5Cfrac%7Bat%5E2%7D%7B2%7D):
http://www.codecogs.com/gif.latex?t=%5Csqrt%7B2d/a%7D=%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B8md%5E3%7D%7Bkq%5E2%7D%7D
 
 
 

אם קיים למשטח מישור משיק בנקודה הזו הרי שהוקטורים המשיקים לשלושת העקומים שהם חלק מהמשטח בנקודה צריכים להיות חלק ממנו.
את יכולה לחשב את שלושת הוקטורים האלו ולראות אם הם קו פלנריים בעזרת חישוב המכפלה המעורבת. אם הם קו פלנריים,
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D%20%5Ccdot%20(%5Cvec%7Bb%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bc%7D)=0

לא נראה לי שהדרך הזו הולכת לעבוד לך כי יש לך תרומה מכל איבר בפיתוח האינסופי של האקספוננט (כי כל איבר בפיתוח הזה מכיל מכפלה של חזקה שלילית הולכת וגדלה בסדרה אינסופית של חזקות חיוביות).
אתה צריך להציב את הפיתוח של ה-ln באקספוננט ואז לפתח את האקספוננט, תוך כדי שאתה שומר איברים מהסדר המתאים. אני משחזר את התוצאה של וולפראם ככה.

ניתן לקבל ממשוואות קושי רימן את הקשר הבא בין גזירה ב-r ותטא:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?f,_r=-%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df,_%7B%5Ctheta%7D
 
פשוט תגזור את http://www.codecogs.com/gif.latex?f=u+iv לפי r ותציב את המשוואות.
 
כעת נגזור את המשוואה:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C%5E2%20=%20f%5Cbar%7Bf%7D=C%5E2
 
לפי r. מאגף ימין מתקבל אפס. באגף שמאל מתקבל:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%7Cf%7C%7C%5E2,_r=f,_r%5Cbar%7Bf%7D+f%5Cbar%7Bf%7D,_r=-%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D+%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%7Df%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=0
 
עכשיו נצמצם i/r ונעביר את האיבר הראשון באגף שמאל אגף. קבלנו:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?f%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D
.
אבל מפה נובע ש:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?0=%7C%7Cf%7C%7C%5E2,_%7B%5Ctheta%7D=f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D+f%5Cbar%7Bf%7D,_%7B%5Ctheta%7D=2f,_%7B%5Ctheta%7D%5Cbar%7Bf%7D
 
וזה אומר או שהצמוד של f מתאפס (ואז f היא אפס זהותית בתחום) או שהנגזרת של f לפי תטא מתאפסת, ואז נובע שגם הנגזרת של f לפי r מתאפסת - ומכאן f פונקציה קבועה.

(אני מניח שבתוך הסוגרים יש גדלים סקלרים ולא וקטורים, ואז הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות מצטמצם לחישוב של ביטוי אחד. תקן אותי אם אני טועה):
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cnabla%5E2(%5Cfrac%7Bf(r-vt)%7D%7Br%7D)=%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20r%7D(r%5E2%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial%20r%7D%20(%5Cfrac%7Bf(r-vt)%7D%7Br%7D))
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cnabla%5E2(%5Cfrac%7Bf(r-vt)%7D%7Br%7D)=%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20r%7D(rf'(r-vt)-f(r-vt))
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cnabla%5E2(%5Cfrac%7Bf(r-vt)%7D%7Br%7D)=%5Cfrac%7Bf'(r-vt)%7D%7Br%5E2%7D+%5Cfrac%7Bf''(r-vt)%7D%7Br%7D-%5Cfrac%7Bf'(r-vt)%7D%7Br%5E2%7D=%5Cfrac%7Bf''(r-vt)%7D%7Br%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20(f(r-vt)/r)%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D=v%5E2f''(r-vt)/r
 
ומתקבל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%20%5Cnabla%5E2(f(r-vt)/r)-%5Cfrac%7B1%7D%7Bv%5E2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5E2%20(f(r-vt)/r)%7D%7B%5Cpartial%20t%5E2%7D%20=%200
 
מנוי, אתה רואה את הנוסחאות? כי אני הפסקתי לראות משום מה.

נראה לי שבטא בדוגמא הנגדית שלך עשוי להיות וקטור גדול מאחד (זה בודאי נכון עבור אלפא קטן מספיק), כלומר הבוסט שעשית עשוי להיות גדול ממהירות האור. אי אפשר

התשובה ל-v נובעת משימור תנ"ז ביחס למרכז כדוה"א. גודל התנ"ז שיש לפגז בירי הוא:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?J_0=mV_0R%5Csin(%5Calpha)
 
והתנ"ז שיש לפגז בשיא הגובה הוא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?J_h=mv(R+h)
 
מכיוון שבשיא הגובה המהירות אופקית, כלומר ניצבת לרדיוס וקטור ממרכז כדוה"א ולכן הסינוס נותן 1.
 
כשאתה משווה ביניהם ומחלץ את v אתה מקבל את התשובה שצטטת.
 
אני מניח שאת הגובה h מוצאים משיקולי שימור אנרגיה.
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DmV_0%5E2-%5Cfrac%7BGMm%7D%7BR%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2-%5Cfrac%7BGMm%7D%7Bh+R%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20mV_0%5E2%20%5Csin%5E2(%5Calpha)%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7B(h+R)%5E2%7D-%5Cfrac%7BGMm%7D%7Bh+R%7D
 
המשוואה נראית מסובכת אבל זה כולו משוואה ריבועית בגורם h+R. אחרי שמצאת אותו אתה יכול למצוא את h.

יש.
 
1. משוואת כוחות באמפליטודה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?kA-f_s=ma
 
2. משוואת מומנטים באמפליטודה (הקפיץ קשור לציר הגליל ולכן לא מפעיל מומנט):
http://www.codecogs.com/gif.latex?f_sr=I%5Calpha=cmr%5E2%5Calpha=cmra
 
3. כאשר המעבר האחרון נעשה בעזרת התנאי לגלגול ללא החלקה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha=%5Cfrac%7Ba%7D%7Br%7D
 
4. נציב את משוואת הכוחות (1) במשוואת המומנטים (2) ונקבל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?f_sr=cr(kA-f_s)
 
r מצטמצם ואפשר לבודד את A ולהציב את החיכוך הסטטי המקסימלי כדי לקבל את הערך המקסימלי של האמפליטודה:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?A=%5Cfrac%7B(c+1)f_s%7D%7Bck%7D=%5Cfrac%7B(c+1)%5Cmu%20mg%7D%7Bck%7D

נקודות B ו-D אינן נקודות שיווי משקל כי הכוח לא מתאפס שם.
נקודות A E ו-F הן שיווי משקל רופף מכיוון שהנגזרת השנייה של הפוטנציאל (שהיא מינוס הנגזרת של הכח) שלילית שם. אפשר גם לראות שבסטייה קטנה מנקודת שיווי המשקל פועל כוח שמרחיק את הגוף ממנה (כח ימינה (חיובי) עבור סטייה ימינה; כוח שמאלה (שלילי) עבור סטייה שמאלה).
נקודה C היא שיווי משקל יציב מכיוון שהנגזרת השנייה של הפוטנציאל חיובית שם. אפשר גם לראות שבסטייה קטנה מנקודת שיווי המשקל פועל כוח שמחזיר את הגוף אליה (כוח שלילי עבור סטייה חיובית וכוח חיובי עבור סטייה שלילית).

אתה מתכוון לפיסיקה 1מ', לא? גוף קשיח לא בסילבוס של פיסיקה 1.
 
1. המערכת תבצע לאחר ההתנגשות תנועה שהיא קומבינציה של סיבוב סביב מרכז המסה ותנועה קווית של מרכז המסה.
    כפי שראו בתרגולים (לפחות של פיסיקה 1), נובע מכאן שאפשר לפרק את התנ"ז הכולל של המערכת לרכיב סיבובי (שמתאים לסיבוב סביב מרכז המסה) ולרכיב קווי (שמתאים לתנועה הקווית של מרכז המסה):
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BJ%7D_%7BTOT%7D=I_%7BCM%7D%5Cvec%7B%5Comega%7D+M_%7BTOT%7D%5C,%5Cvec%7Br%7D_%7BCM%7D%5C,%5Ctimes%5C,%5Cvec%7Bv%7D_%7BCM%7D
 
הם סמנו את הרכיב הראשון באגף ימין כ-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BJ%7D_%7BCM%7D, סימון שאני לא אוהב כי הוא מבלבל.
 
2. שים לב שמשפט שטיינר מתאר את הקשר בין מומנט אינרציה שמחושב ביחס למרכז המסה למומנט אינרציה שמחושב ביחס לנקודה אחרת:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I'=I_%7BCM%7D+M_%7BTOT%7D%5C,r%5E2
 
בדרך כלל כשמשתמשים במשפט הזה מחשבים את אגף שמאל מאגף ימין, כי עובדים עם גופים שמומנט האינרציה שלהם ביחס למרכז המסה ידוע. מה שעשו בבעייה הזו הוא העברת אגף:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?I'-M_%7BTOT%7Dr%5E2=I_%7BCM%7D
 
וחשבו את אגף ימין מאגף שמאל. המומנט הידוע שמשתמשים בו בחישוב הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?I', המומנט ביחס לנקודת החיבור של המוטות, לא http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BCM%7D, המומנט ביחס למרכז המסה.
את http://www.codecogs.com/gif.latex?I_%7BCM%7D מוצאים מ-http://www.codecogs.com/gif.latex?I' בעזרת משפט שטיינר.

בסעיף ב' ראינו שעבור http://www.codecogs.com/gif.latex?0 מתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ex עבור כל x.
 
נובע שעבור http://www.codecogs.com/gif.latex?0 מתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ex (דרך פשוטה לראות - להגדיר פרמטר חיובי חדש http://www.codecogs.com/gif.latex?k'=k/2, להציב http://www.codecogs.com/gif.latex?k=2k' בשני האי שוויונות ואז מקבלים את הזהויות הנ"ל עם http://www.codecogs.com/gif.latex?k').
 
כלומר עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?0 הנגזרת של http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=e%5Ex-kx%5E2 חיובית לכל x והפונקצייה מונוטונית עולה. בפרט, מכיוון ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(0)=1, נובע שעבור כל http://www.codecogs.com/gif.latex?x מתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x) או http://www.codecogs.com/gif.latex?e%5Ex.

ב. בין כל שתי התאפסויות של הפונקצייה (אם היא רציפה) חייבת לשנות מגמה, אחרת לא תוכל לחזור לאפס. לכן בין כל שתי התאפסויות חייבת להיות נקודה שבה הנגזרת מתאפסת.
נניח שהפונקציה מתאפסת k+2 פעמים. נובע ישירות מהמשפט הקודם שחייבות להיות k+1 נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת. אבל יודעים שהנגזרת מתאפסת רק k פעמים, ולכן זה לא ייתכן ויכולות להיות לכל היותר רק k+1 נקודות בהן הפונקצייה מתאפסת.
 
ג. הנגזרת של הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?y=x%5E5+x%5E3+8x%5E2-3 היא
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?y'=5x%5E4+3x%5E2+16x=x(5x%5E3+3x+16)
 
אפשר לראות שהנגזרת מתאפסת פעמיים. פעם כש-x=0 ופעם כשהגורם http://www.codecogs.com/gif.latex?5x%5E3+3x+16 מתאפס (אפשר לדעת שהגורם הזה מתאפס פעם אחת, מכיוון שהוא מונוטוני עולה, מתחיל במינוס אינסוף ומגיע לאינסוף. ואפשר לראות שזה קורה עבור x שלילי).
לכן יש לכל היותר שלושה פתרונות לפולינום (שלוש פעמים בהן הפונקצייה מתאפסת).
 
מכיוון ששורשים מרוכבים באים בזוגות, האפשרויות שנותרנו איתן הם שורש ממשי אחד וארבעה מרוכבים או שלושה שורשים ממשיים ושניים מרוכבים. קל לפסול את האפשרות של שורש אחד באמצעות בדיקה פשוטה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?y(-1)=3
http://www.codecogs.com/gif.latex?y(0)=-3
http://www.codecogs.com/gif.latex?y(1)=5
מרציפות ומשפט ערך הביניים נובע שהפונקצייה חוצה את האפס לפחות פעמיים, ומכאן אנחנו מסיקים שחייבים להיות בדיוק שלושה שורשים.

לא כותבים ערך שלם במתנט ככה?
http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Bx%5D
:scratch:
בכל מקרה, גם הפונקציה http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7Bx%7D%7B%7Cx%7C%7D-1 עם אותה סדרה (http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n=%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D) טובה, כי הגבולות החד צדדיים שלה באפס שונים (0 ו-2-). אני מקווה שהיא נחשבת "לא קבועה" מספיק.

שים לב שהפונקצייה שקבלת מתחילה לעלות במקום לרדת כמו שהמשוואה דורשת בדיוק בנקודה שהיא חותכת את ציר x (או ב-y=0).
...נראה שמהנקודה הזו הפונקצייה הזו כבר לא הפתרון (כי כאמור היא עולה במקום לרדת) והפתרון עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?x הוא הפתרון הטריוויאלי y=0.
 
כלומר הפתרון הוא הפונקצייה הרציפה והגזירה ברציפות:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?y=(1-%5Cfrac%7Bx%5E%7B3/2%7D%7D%7B3%7D)%5E2%5C,%20%5C,%5C,%5C,%7C%5C,%5C,%5C,%200%5Cleq%20x%20%5Cleq%203%5E%7B2%20/%203%7D
http://www.codecogs.com/gif.latex?y=0%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%20%5C,%5C,%5C,%7C%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%5C,%20x%20
 
זה גם עונה לך על סעיף ג'
:)

זה בדיוק המעבר שמוכיח שהגבול אפס.
מאי השוויון
http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2(1-%5Cvarepsilon)
 
אפשר להסיק ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x) (עבור http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cx%7C) חסומה מלמעלה ע"י http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2(1+%5Cvarepsilon).
מכיוון שהחסם הזה גדול בערכו המוחלט מהאגף הנגדי של האי השוויון, אפשר להסיק בפרט ש-
http://www.codecogs.com/gif.latex?-x%5E2(1+%5Cvarepsilon)
 
ומכיוון שכאמור http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cx%7C אפשר להחליף את x ב-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta באי שוויון והוא יישאר נכון. מכאן:
http://www.codecogs.com/gif.latex?-%5Cdelta%5E2(1+%5Cvarepsilon)
 
או במילים אחרות:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%7Cf(x)-0%7C
וזה בדיוק מה שצריך להראות כדי להוכיח שהגבול של f ב-0 הוא אפס. לכל http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon' קיים http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cdelta.

המממ... אין לי בעייה למצוא פונקציות שמקיימות את הגבול הראשון אבל לא את השני, הבעייה היא לגבי "מוגדרות בסביבה נקובה". האם הכוונה היא שהסביבה כוללת את אפס?

 
אם לא, http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+6 ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?g(x)=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D+4 נראות כמו דוגמא טובה.

ג' - ההוכחה נבנית על הסעיפים הקודמים. כמו כל השאלה. מותר לך להעזר בסעיף א' בהוכחת ב'.
 
1. קודם כל, מ-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3-y%5E3=3%5Em נובע http://www.codecogs.com/gif.latex?x. נניח בשלילה ששלוש לא מחלק את x. אזי http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5C,%20(mod%20%5C,%203)=k כאשר k=1/2.
 
2. מהתוצאה הזו, מהנתון וסעיפים א' וב' נובע ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3%20%5Cequiv%20y%5E3%20(mod%5C,%203)=k, כלומר ניתן לכתוב את http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3  ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E3  כ:
http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3=3%5Ep+k
http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E3=3%5Eq+k
מכיוון שכאמור http://www.codecogs.com/gif.latex?x, צריך להתקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?p.
 
3. אבל מסעיף 2 נובע ש:
http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3-y%5E3=3%5Ep+k-3%5Eq-k=3%5E%7Bq%7D(3%5E%7Bp-q%7D-1)
כלומר קבלנו ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E3-y%5E3 אינו חזקה של שלוש (כי הוא מכיל גורם שאינו חזקה של שלוש, http://www.codecogs.com/gif.latex?3%5E%7Bp-q%7D-1), בסתירה לנתון. מכאן שההנחה שהנחנו לא נכונה ו-http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cx.
 
4. אם http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cx נובע מייד ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?3%7Cy (כי לפי סעיף ב' והנתון http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5Cequiv%20y%5C,%20(mod%5C,3)).

זהויות טריגונומטריות.
http://www.codecogs.com/gif.latex?1-%5Ccos(2xy)=2%5Csin%5E2(xy)
כשאתה משאיף את x ו-y לאפס אתה יכול להחליף את הסינוס בארגומנט שלו גם במונה וגם במכנה, ואז אתה מקבל מיידית את הקבוע המבוקש. x ו-y פשוט מצטמצמים שניהם.

נראה לי ששכחת לחלק את האגף של mgh במספר אבוגדרו. יש לך מולקולה אחת של חנקן, המסה שלה היא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?m=%5Cfrac%7B28%5C,%5Cfrac%7Bgr%7D%7Bmole%7D%7D%7B1000%5Ctimes6.022%5Ctimes10%5E%7B23%7D%7D=4.6496%20%5Ctime%2010%5E%7B-26%7D%5C,Kg

אם אתה מציב את http://www.codecogs.com/gif.latex?v_y והנגזרת שלה לפי הזמן במשוואת התנועה הנתונה אתה מקבל שהאיבר עם הקבוע A מצטמצם ואתה יכול לחלץ את B מהדרישה שמשוואת התנועה מתקיימת.

אבל אמרת שתשמח לקבל עזרה רק לגבי צורת הרישום

 
בכל מקרה, אתה יכול למצוא בקלות את המסה המולקולרית של כל תרכובת, ואת אחוז הבור מהמסה הזו. נניח שעבור קרנייט המסה המולקולרית היא X גרם למול ומתוכם Y גרם למול הם בור (מסה מולרית של ארבעה אטומי בור). אזי כמות הקרנייט שצריך כדי להפיק 3.5 ק"ג בור היא:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?M_K=3.5%20%5Cfrac%7BX%7D%7BY%7D%20%5C,%20Kg
 
אם תחזור על אותו חישוב עבור הבורקס ותחסר בין המסות תקבל את התשובה הרצוייה.

אתה יכול לחסום את האינטגרנד מלמטה בקטע האינטגרציה הנתון:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B(9-x%5E2)%5E%7B3/2%7D%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B(3-x)%5E%7B3/2%7D(3+x)%5E%7B3/2%7D%7D%5Cgeq%5Cfrac%7B1%7D%7B(3-x)%5E%7B3/2%7D3%5E%7B3/2%7D%7D
 
קל לראות שהאינטגרל על השבר באגף ימין מתבדר (הוא פתיר אנליטית אחרי החלפת משתנים, y=3-x, ונותן http://www.codecogs.com/gif.latex?y%5E%7B-1/2%7D שמתבדר בהצבת הגבולות) ולכן גם האינטגרל המקורי מתבדר.

אני לא מבין למה אתה מסתבך.
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Br_1%7D הוא וקטור ממרכז התיל הראשון לנקודה P.
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Br_2%7D הוא וקטור ממרכז התיל השני לנקודה P.
הם לא באותו כיוון, וההפרש שלהם הוא בדיוק וקטור בכיוון (ובגודל) של d.
זה לא הכיוון של השקול של השדה המגנטי, אבל כאמור המשולש שמגדיר את כיוון הוקטור השקול של השדה המגנטי דומה למשולש שסוגרת הנקודה P עם מרכזי התילים.

כלל יד ימין מכיר?
הבט על יד ימין שלך. מכיוון ש:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BM%7D=%5Cvec%7Br%7D%5Ctimes%5Cvec%7BF%7D
 
אם r הוא וקטור שמצביע מנקודת הייחוס למיקום הגוף שלך, ניתן להתאים:
1. את r לכיוון שאליו מצביעה האצבע (השנייה מהאגודל) של יד ימין;
2. את F לכיוון שאליו מצביעה האמה (השלישית מהאגודל) של יד ימין, בתנאי שהיא מכופפת יותר מהאצבע (תצטרך להפוך את היד כדי להשיג את הקונפיגורציה המתאימה);
3. את M לכיוון שאליו מצביעה האגודל (מאונך לשתי האצבעות האחרות).
 
ניתן למקם את הכיוונים האלו ביחס למערכת צירים קרטזית ימנית (סטנדרטית) אם מתאימים את יד ימין:
1. הכיוון החיובי של ציר x בכיוון האצבע
2. הכיוון החיובי של ציר y בכיוון האמה, כאשר היא מכופפת יותר מהאצבע ומאונכת ביחס אליה
3. הכיוון החיובי של ציר z בכיוון האגודל (שמאונכת לשתי האצבעות האחרות).
 
אזי פעולה אחת עם יד ימין (נשמע מלוכלך אבל בכלל לא) תתן לך את כיוון המומנט ביחס לוקטורי המיקום והכוח; פעולה אחרת תאפשר לך לדעת את כיוון המומנט ביחס למערכת הצירים שלך, כל עוד תשמור על הזווית המתאימה בין כיווני הוקטורים בשני המקרים.

1. אם המוט אחיד ניתן להתייחס אליו כאל מסה נקודתית M שממוקמת במרכז המסה לצרכי חישוב אנרגיה פוטנציאלית.
 
2. אתה יכול לבחור נקודת ייחוס לאנרגיה פוטנציאלית כרצונך אבל בכל מקרה מה שנשאר בסוף כפרמטר במשוואת האנרגיה שלך הוא השינוי בגובה של מרכז המסה.
 
3. אפשר לראות שבתחילת הבעייה מרכז המסה היה באותו גובה כמו הציר ובסוף הבעייה הוא היה נמוך מהציר (שלא זז) ב-L/4. מכאן שהפרש הגובה המתאים הוא L/4, לא L/2, ושימור האנרגיה המתאים הוא:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DI%5Comega%5E2=%5Cfrac%7B7%7D%7B96%7D%20ML%5E2%20%5Comega%5E2%20=Mg%5Cfrac%7BL%7D%7B4%7D
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Comega=2%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B6g%7D%7B7L%7D%7D
 
אם אתה צריך לחשב את המהירות הקווית של קצה המוט אתה מכפיל את המהירות הסיבובית במרחק של קצה המוט מהציר:
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?v=%5Comega%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7B3L%7D%7B4%7D=%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B6%7D%7B7%7DgL%7D