אלגברה - שאלה 6 מעמ' 5 בספר של הופמן וקונץ

[Raf]

אשמח לקבל הדרכה לשאלה הבאה

הוכח שאם לשתי מע' משוואות לינאריות הומוגניות בשני משתנים יש פתרונות זהים אזי המע' שקולות.

הגדרה למע' שקולות לפי הספר: שתי מערכות של משוואות לינאריות הן שקולות אם כל משוואה בכל אחת מהמע' היא צירוף לינארי של משוואות מהמע' האחרת.

השאלה נמצאת ממש בתחילת הספר והמושגים שנסקרו עד כה שקשורים לשאלה הם : הגדרה של מע' לינארית, פתרון של מע' משוואות לינאריות, מע' הומוגנית של משוואות לינאריות ומע' שקולות

אשמח לתגובה,

תודה,

[אודי]

אאל"ט זה נובע מיידית מהומוגניות המשוואות וזהות הפתרון. פשוט רושמים את שתי המערכות:

 

אחת:

http://www.codecogs.com/gif.latex?a_1x+b_1y=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?c_1x+d_1y=0

 

שנייה:

http://www.codecogs.com/gif.latex?a_2x+b_2y=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?c_2x+d_2y=0

 

אז בפרט:

http://www.codecogs.com/gif.latex?a_1x+b_1y=%5Calpha(a_2x+b_2y)+%5Cbeta(c_2x+d_2y)=%5Calpha%5Ctimes0+%5Cbeta%5Ctimes0=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?c_1x+d_1y=%5Calpha(a_2x+b_2y)+%5Cbeta(c_2x+d_2y)=%5Calpha%5Ctimes0+%5Cbeta%5Ctimes0=0

 

לכל אלפא וביתא ממשיים. ואפשר לרשום זאת באותה מידה עבור המערכת השנייה.

 

אמנם הזהות הזו נכונה אפילו כשהפתרונות לא זהים לשתי המערכות, אבל רק במקרה שהפתרונות זהים ניתן לרשום את המקדמים שלהם בצורה של קומבינציה ליניארית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Calpha%20a_2%20+%20%5Cbeta%20c_2)x+(%5Calpha%20b_2%20+%20%5Cbeta%20d_2)y=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Calpha%20a_2%20+%20%5Cbeta%20c_2)x+(%5Calpha%20b_2%20+%20%5Cbeta%20d_2)y=0

[Raf]

אם הבנתי נכון אז כתבת ש-0 הוא צ"ל של 0 ו-0 שזה די ברור

הכוונה בצירוף לינארי היא למשל שהמשוואה 3x+5y=0

היא צ"ל של המשוואות

x+y=0

x+2y=0

המשוואה 3x+5y=0 היא פעם אחת המשוואה הראשונה ועוד פעמיים המשוואה השנייה.

מה שצריך להוכיח הוא שאם לשתי מע' משוואות לינאריות הומוגניות יש את אותן הפתרונות בדיוק אזי המע' שקולות (כל אחת מהמשוואות באחת ניתנת להצגה כצירוף לינארי של משוואות מהמע' האחרת)

[samael]

לא, הוא כתב לך בדיוק את מה שהתבקשת להוכיח:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?a_1x+b_1y=%5Calpha(a_2x+b_2y)+%5Cbeta(c_2x+d_2y)=%5Calpha%5Ctimes0+%5Cbeta%5Ctimes0=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?c_1x+d_1y=%5Calpha(a_2x+b_2y)+%5Cbeta(c_2x+d_2y)=%5Calpha%5Ctimes0+%5Cbeta%5Ctimes0=0

 

 

שים לב לשוויון הראשון מצד שמאל. 

נערך בתאריך ספטמבר 26, 2013 - על-ידי samael

[Raf]

תודה בכל אופן על התגובות אבל עדיין לא הבנתי את הפתרון

לפי ההקשר מה שאני מבין הוא שהשוויון הראשון משמאל אומר שהמשוואה הראשונה שווה לצירוף לינארי של שתי המשוואות האחרות רק אם נציב את הפתרונות המשותפים ולא תמיד.

צירוף לינארי משמעותו שהמשוואה שווה לצירוף לינארי של האחרות לכל ערכי x ו-y ולא רק עבור הפתרונות. לפתרונות ברור שזה מתקיים.

הוא כתב בעצם שיש אינסוף צירופים לינאריים, כלומר עבור כל alpha ו-beta ממשיים יתקיים alpha*0+beta*0=0 ולפי דעתי זה לא מה שביקשו להוכיח.

זה שהמשוואה הראשונה של המערכת השנייה היא צ"ל של המשוואות במע' הראשונה זה אומר שקיימים t1 ו-t2 כך ש:

a2=a1*t1+c1*t2 וגם b2=b1*t1+d1*t2

וחוץ מזה בכל אחת מהמערכות יכולות להופיע מס' מסוים של משוואות ולא בהכרח 2. 2 זה מקרה פרטי של התרגיל.

[אודי]

לפי ההקשר מה שאני מבין הוא שהשוויון הראשון משמאל אומר שהמשוואה הראשונה שווה לצירוף לינארי של שתי המשוואות האחרות רק אם נציב את הפתרונות המשותפים ולא תמיד.

לא ברור לי מאיזה הקשר (?) הבנת את זה כשדווקא כתבתי במפורש על השוויון הזה:

הזהות הזו נכונה אפילו כשהפתרונות לא זהים לשתי המערכות

 

זה שהמשוואה הראשונה של המערכת השנייה היא צ"ל של המשוואות במע' הראשונה זה אומר שקיימים t1 ו-t2 כך ש:

a2=a1*t1+c1*t2 וגם b2=b1*t1+d1*t2

וזה בדיוק מה שהראיתי שמתקיים רק אם הפתרונות זהים:

במקרה שהפתרונות זהים ניתן לרשום את המקדמים שלהם בצורה של קומבינציה ליניארית:

http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Calpha%20a_2%20+%20%5Cbeta%20c_2)x+(%5Calpha%20b_2%20+%20%5Cbeta%20d_2)y=0

http://www.codecogs.com/gif.latex?(%5Calpha%20a_2%20+%20%5Cbeta%20c_2)x+(%5Calpha%20b_2%20+%20%5Cbeta%20d_2)y=0

ספציפית במקרה ההומוגני זה נכון עבור כל בחירה של אלפא וביתא.

 

וחוץ מזה בכל אחת מהמערכות יכולות להופיע מס' מסוים של משוואות ולא בהכרח 2. 2 זה מקרה פרטי של התרגיל.

תשמע, בקשת את המקרה הפרטי הזה. אם עכשיו אתה רוצה משהו אחר, סבבה. אבל להתלונן שפתרתי לך את המקרה הפרטי שבקשת זה קצת לא במקום.

[Raf]

לאודי, אני מבין שזה נראה לך לא במקום אבל הכוונה שלי לא הייתה להתלונן. אני מעריך מאוד את העזרה שאני מקבל פה בפורום ואתה אחד העוזרים העיקריים.

פשוט הפתרון לא מסתדר לי בראש עם השאלה. יכול להיות שזה רק אני אבל בכל אופן, הנה השאלה מהספר:

Prove that if two homogeneous systems of linear equations in two unknowns

have the same solutions, then they are equivalent.

ההגדרה של מע' שקולות מהספר היא:

Let us say that two systems of linear equations are equivalent if each equation

in each system is a linear combination of the equations in the other system.

בנוסף, יש גם את המשפט הבא

Theorem 1. Equivalent systems of linear equations have exactly the

same solutions.

זה המשפט היחיד שהוצג עד השלב הזה בספר.

אולי אני כבר אמשיך הלאה כי אני תקוע עם השאלה הזאת די הרבה זמן.

בכל אופן תודה על העזרה,

רף,

[אודי]

האמת שהניסוח באנגלית לא ממש עוזר לי להבין מדוע הפתרון שהבאתי לא ענה על השאלה הזו או מה הבעייה איתו

אבל נראה לי שגם אני אמשיך הלאה בחיי...