כפל מטריצות

[מנוי]

למה אם אני כופל מטריצה בטרנספוס שלה והתוצאה היא אפס, אז המטריצה היא מטריצת האפס?

[אני]

תחשוב בעצם איך מתאפס איבר כלשהו במטריצה בכפל מטריצות?

כדי שאיבר יתאפס צריך שייכפלו אותו באפס.

ואם כולם מתאפסים זה גורר...

[מנוי]

תחשוב בעצם איך מתאפס איבר כלשהו במטריצה בכפל מטריצות?

כדי שאיבר יתאפס צריך שייכפלו אותו באפס.

ואם כולם מתאפסים זה גורר...

כן, תודה.

[incog]

דרך קצת יותר אלגנטית:
נניח ש- A שונה מאפס אזי קיים וקטור x כך ש: Ax=y  שונה מאפס.

ולכן:
0=(Ax)^T(Ax)) (כי על פי הנתון A^T*A=0)
מצד שני זה שווה ל- y^T*y וזה שווה לסכום הריבועים של הקואורדינטות של y וזה מספר חיובי גדול ממש מאפס (כי y שונה מאפס) 
סתירה.

[מנוי]

דרך קצת יותר אלגנטית:

נניח ש- A שונה מאפס אזי קיים וקטור x כך ש: Ax=y  שונה מאפס.

ולכן:

0=(Ax)^T(Ax)) (כי על פי הנתון A^T*A=0)

מצד שני זה שווה ל- y^T*y וזה שווה לסכום הריבועים של הקואורדינטות של y וזה מספר חיובי גדול ממש מאפס (כי y שונה מאפס) 

סתירה.

 

תוכל רק בבקשה להסביר למה המעבר הזה חוקי:

 

0=(Ax)^T(Ax)) (כי על פי הנתון A^T*A=0)

 

 

נתון לך משהו על כפל מטריצות, אתה כופל כל אחד מהם בוקטור עמודה וטוען שהנתון עדיין רלוונטי.

למה?

 

בנוסף גם המספר יכול להיות שלילי או אפס, והיה וY הוא מרוכב, ואז גם לא מושגת סתירה.

[incog]

מתקיים ש:
=(Ax)^T(Ax))
x^T(A^T*A)x=0 
כי הביטוי באמצע שווה לאפס.

 

לגבי מרוכבים, טוב אז הנחתי שהיא ממשית (ואז זה בסדר), אם היא מעל המרוכבים אז צריך להראות שהיא ממשית (וכאן באמת לא עולה לי דרך 'אלגנטית' להראות זאת).