אודי

למה השלמה לריבוע?
:scratch:
אם
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%5E2+1%7D=%5Carctan(x)
אז נובע מכלל השרשרת בגזירה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B4x%5E2+1%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Carctan(2x)
 
אתה יכול לעשות החלפת משתנים באינטגרל y=2x אם אתה לא משתכנע שזה מיידי.

מספר השורשים הממשיים של פונקציה רציפה לא יכול להיות גדול יותר ממספר נקודות הקיצון* של הפונקציה + 1.
נניח שהפונקציה y=x^2007+ax+2001 חותכת את אפס פעם אחת.
כדי שהפונקציה תוכל לחתוך שוב את אפס ב-x מאוחר יותר היא צריכה לשנות כיוון, כלומר צריך להיות לה מינימום או מקסימום אחרי נקודת החיתוך הראשונה.
לכן לפונקציה רציפה עם נקודת קיצון אחת יכולות להיות שתי נקודות חיתוך עם אפס, לפונקציה רציפה עם שתי נקודות קיצון שלוש נקודות חיתוך וכו'.
 
חישוב נקודות קיצון מראה שעבור a ממשי לפונקציה יש לכל היותר שתי נקודות קיצון, http://www.codecogs.com/gif.latex?x_%7B0%7D=%5Cpm%5Csqrt%5B2006%5D%7B%5Cfrac%7B-a%7D%7B2007%7D%7D, ולכן יכולות להיות לכל היותר שלוש נקודות חיתוך של הפונקציה עם ציר x.
 
* (אגב, נקודת פיתול לא נחשבת בספירה הזו, אבל זה בסדר כי חישוב הנגזרת השנייה מראה שעבור a שונה מאפס נקודות הקיצון תמיד תהיינה מינימום או מקסימום (למעשה, a חייב להיות שלילי כדי שתהיינה נקודות קיצון).

לא.
אם נבחר את כיוון למטה כציר החיובי לתנע החד ממדי שלנו, התנע של אלמנט מסה של כדורי גומי לפני הפגיעה בקרקע הוא http://www.codecogs.com/gif.latex?P_i=vdm ואחרי הפגיעה בקרקע http://www.codecogs.com/gif.latex?P_f=-vdm. ההפרש בין לפני לאחרי הוא התנע שעבר לקרקע, http://www.codecogs.com/gif.latex?dP=2vdm.
 
הכיוון שאני חותר אליו הוא שלא לכל מניפולציה מתמטית שאפשר לעשות לנוסחאות יש בהכרח משמעות פיסיקלית בבעייה שדנים בה.

בכיווץ המקסימלי, כמו במרחק המינימלי בשאלה הקודמת, המהירות של כל המסות היא מהירות מרכז המסה, vcm (שאינה v).
...זה נובע מכך שבמערכת מרכז המסה המהירות שלהם באותו זמן היא אפס כי שם הם פשוט מתקרבות זו לזו, משנות כיוון ומתרחקות

את צריכה למצוא פונקציה שמקבלת מקסימום בתחום שהישר הנ"ל הוא גבול שלו בנקודה (4,4).
 
אם הנקודה היא מקסימום של הפונקציה על הישר אז הנגזרת המכוונת בכיוון הישר בנקודה (4,4) חייבת להתאפס.
כלומר:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f(4,4)%5Ccdot%5Cfrac%7B(1,-1)%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D=0
 
מפה יש לך חופש בחירה גדול למדי במקדמים של הפונקציה הריבועית.
אם תבחרי שניים שלא מתאפסים כך שהגרדיינט יהיה פונקציה של x ו-y ששונה מאפס בנקודה (למשל המקדמים של x^2 ו-y^2) תוכלי לקבל קשר ביניהם בעזרת הנגזרת המכוונת בנקודה ולבחור אחד מהם ולקבל את השני.

הנתונים המספריים הם לא הנתונים המספריים של התרגיל שלך, אבל העיקרון הוא אותו עקרון:
http://forums.techstud.net/index.php/topic/5618-%D7%97%D7%93%D7%95%D7%90-2-%D7%9E%D7%AA%D7%A0%D7%98-%D7%95%D7%94%D7%92%D7%A9%D7%94/

אם את יודעת שצריך להציב רק בסוף את הנקודה למה את מציבה ביטויים לנגזרות לפני הגזירה השנייה?
:scratch:
את לא תקבלי את הנגזרת המעורבת ככה. את צריכה לגזור את הביטוי עם הנגזרות הראשונות ללא שום הצבה:
מגזירה של המשוואה פעם ראשונה לפי y:
http://www.codecogs.com/gif.latex?3z%5E2z,_y%20-xz,_y%20-1%20=0
ואז את גוזרת את המשוואה לפי x ומקבלת:
http://www.codecogs.com/gif.latex?6zz,_xz,_y+3z%5E2z,_%7Bxy%7D-z,_y-xz,_%7Bxy%7D=0
הציבי את הנגזרות הראשונות ואת הנקודה בשוויון האחרון ותקבלי את התוצאה שאת צריכה לנגזרת המעורבת.

את צריכה למצוא את משוואת המישור המשיק למשטח בנקודה (מנורמלת, כך שתוכלי להציב בה את (0,0,0) ולקבל את המרחק מהראשית).
 
בשביל משוואת המישור את צריכה את הנורמל שלו, שהוא הגרדיינט למשטח בנקודה.
 
את יכולה למצוא את הגרדיינט ממכפלה וקטורית של שני הוקטורים המשיקים לעקומים בנקודה, שבה הם גם משיקים למשטח. אם שני הוקטורים משיקים למשטח המכפלה הוקטורית שלהם ניצבת למשטח, כלומר בכיוון הגרדיינט.
 
את הוקטורים המשיקים לעקומים את מוצאת מגזירה לפי t של משוואת הישר הפרמטרית והצבת ערך t המתאים לנקודה (שונה עבור כל ישר).
 
כלומר, השלבים בפתרון לפי הסדר הם:
1. מציאת הוקטורים המשיקים לעקומים בנקודה (מגזירה של משוואות הישרים הפרמטריות והצבת t המתאים לנקודה עבור כל ישר)
2. חישוב הגרדיינט למשטח בנקודה ממכפלה וקטורית של הוקטורים מ-1
3. בניית (ונרמול) משוואות המישור המשיק למשטח בנקודה מהגרדיינט מהסעיף הקודם והנקודה הידועה על המישור
4. חישוב המרחק מהראשית ע"י הצבת (0,0,0) במשוואת המישור המנורמלת.

בהינתן משוואת משטח, דבר ראשון מחשבים לו גרדיינט. די בטוח שיהיה מה לעשות איתו.
:)
במקרה הזה, הגרדיינט למשטח בנקודה הוא וקטור הכיוון של הישר, מכיוון ששניהם נורמלים למשטח בנקודה.
 
במילים אחרות, ניתן למצוא את ההצגה הפרמטרית של הישר מחישוב הגרדיינט בנקודה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f(0,-1,0):
http://www.codecogs.com/gif.latex?(x,y,z)=(0,-1,0)+%5Cnabla%20f(0,-1,0)%20t
 
זה ישר שעובר בנקודה הדרושה (t=0) וכיוונו בכיוון הגרדיינט.
 
מהרגע שמצאת את ההצגה הפרמטרית של הישר, כדי למצוא את ההיטל את מתעלמת מרכיב z ומחלצת את y כפונקציה של x מההצגה הפרמטרית.
למשל, אם מתקבלת ההצגה הפרמטרית הבאה:
x=t
y=t-1
 
אז נובע ישירות שההיטל מתואר ע"י y=x-1.

את גוזרת את g לפי כלל השרשרת. כך למשל:
http://www.codecogs.com/gif.latex?g,_u=f,_x%20x,_u%20+%20f,_y%20y,_u=-8f,_x+3f,_y
 
ובאותו אופן את מקבלת את הנגזרת השנייה:
http://www.codecogs.com/gif.latex?g,_%7Buu%7D=-8f,_%7Bxx%7Dx,_u-8f,_%7Bxy%7Dy,_u+3f_%7Byx%7Dx,_u+3f,_%7Byy%7Dy,_u=64f,_%7Bxx%7D-48f,_%7Bxy%7D+9f_%7Byy%7D
 
מכיוון ש-x ו-y ליניארים ב-u ו-v יוצא שלא נשארות לך נגזרות ראשונות של f בביטוי הסופי.

אני מתנצל שאני מציק, אבל זה די הבסיס של נושא הפוטנציאל. לא ברור לי איך פספסת את זה בהרצאות והתרגולים.
:scratch:
בכל מקרה, כזכור:
http://www.codecogs.com/gif.latex?U=-%5Cintop%5Cvec%7BE%7D%5Ccdot%20d%5Cvec%7Br%7D
כאשר האינטגרציה נעשית מנקודת הרפרנס (במקרה שלנו, (0,0,0)) עד לנקודה שבה מחושב הפוטנציאל.
כאשר עושים את האינטגרציה במסלול שמחולק לחלקים כמו בשאלה הזו צריך להוסיף לכל שלב את התוצאה של השלב הקודם, שמייצגת את האינטגרל עד לנקודה שבה מתחיל השלב החדש.
 
1. בקטע הראשון של המסלול המוזכר
http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Br%7D=dx%5Chat%7Bx%7D
ולכן נובע:
http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x_0,0,0)=-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bx_0%7DE_x(x,0,0)dx=-%5Cintop0dx=0
 
2. בקטע השני של המסלול המוזכר
http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Br%7D=dy%5Chat%7By%7D
ולכן נובע:
http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x_0,y_0,0)=U(x_0,0,0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7By_0%7DE_y(x_0,y,0)dy=-%5Calpha%5Cintop_%7B0%7D%5E%7By_0%7D2x_0ydy=-%5Calpha%20x_0y_0%5E2
 
3. בקטע השלישי של המסלול המוזכר
http://www.codecogs.com/gif.latex?d%5Cvec%7Br%7D=dz%5Chat%7Bz%7D
ולכן נובע:
http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x_0,y_0,z_0)=U(x_0,y_0,0)-%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bz_0%7DE_z(x_0,y_0,z)dz=-%5Calpha%20x_0y_0%5E2-%5Calpha%5Cintop_%7B0%7D%5E%7Bz_0%7D2y_0zdz=-%5Calpha%20(x_0y_0%5E2+y_0z_0%5E2)
 
כלומר סה"כ:
http://www.codecogs.com/gif.latex?U(x_0,y_0,z_0)=-%5Calpha%20(x_0y_0%5E2+y_0z_0%5E2)

http://forums.techstud.net/index.php/topic/5423-פיסיקה-1-עבודה-ואנרגיה/?p=113994

...כמובן שזה לא סותר את העובדה שבמקרים מסויימים אפשר להשתמש בכלים פשוטים יותר מעולם חקירת הפונקציות כדי להוכיח את אחד משני המקרים האחרים לפולינום מדרגה 4.
 
1. אם הפונקציה חיובית ממש או שלילית ממש אין לה שורשים ממשיים
2. אם מצליחים, למשל, למצוא שני שורשים (או שתי החלפות סימן) ולהראות שבשאר הישר הפונקציה מונוטונית ממש אפשר להוכיח שיש שני שורשים.
 
אבל כאמור, אלו לא דרכים ריגורוזיות במובן זה שהן מתבססות על ניסוי וטעייה יותר מאשר על משפטים מתמטיים.
אם לא הצלחת למצוא החלפות סימן או שאתה לא יודע להוכיח שהפונקציה מונוטונית בקטעים המתאימים - אתה תקוע.
הדרך הריגורוזית המתאימה לפתור שאלה כזו היא באמצעות כלים מאלגברה.
מסתבר שיש שיטות אנליטיות (לא פשוטות...) לפתרון של פולינומים מדרגה 3 ו-4:

http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%9E%D7%9E%D7%A2%D7%9C%D7%94_%D7%A9%D7%9C%D7%99%D7%A9%D7%99%D7%AA
http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%9E%D7%9E%D7%A2%D7%9C%D7%94_%D7%A8%D7%91%D7%99%D7%A2%D7%99%D7%AA

זו גם הנוסחא שאני השתמשתי בה. רק שצריך לזכור שלמבדא בנוסחא היא צפיפות המטען האורכית ולכן מתקיים הקשר:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda=%5Cfrac%7BQ%7D%7Bl%7D
כאשר http://www.codecogs.com/gif.latex?l הוא אורך התיל.
 
x הוא מה שקראת לו r. המרחק האופקי מהתיל. מכיוון שבחרתי מערכת צירים מסויימת שבה המרחק הזה הוא על ציר x, סמנתי אותו ב-x.
 
חשבתי את הפרש הפוטנציאלים בין שני התילים, והוא תלוי בשדה בין התילים בלבד ולא בשדה מעבר לתילים.
 
לא. כאמור, הקיבול תלוי בהפרש הפוטנציאלים בין התילים, והפרש הפוטנציאלים בין התילים הוא אינטגרל על השדה מסוף תיל אחד לתחילת התיל השני.

גורם האינטגרציה בשאלה הראשונה (4) הוא דווקא פונקצייה של x. לפי אותם שלבים (רק שעכשיו לא צריך את כלל השרשרת כי http://www.codecogs.com/gif.latex?M' היא נגזרת חלקית לפי x):
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?M(3x%5E2y+2xy+y%5E3)dx+M(x%5E2+y%5E2)dy=0
 
1. השוואת הנגזרות המעורבות:
http://www.codecogs.com/gif.latex?M(3x%5E2+2x+3y%5E2)=M'(x%5E2+y%5E2)+2xM
 
2. העברת אגפים:
http://www.codecogs.com/gif.latex?3M(x%5E2+y%5E2)=M'(x%5E2+y%5E2)
 
3. צמצום:
http://www.codecogs.com/gif.latex?M'=3M
 
4. פתרון:
http://www.codecogs.com/gif.latex?M=e%5E%7B3x%7D
 
5. ומכאן והלאה - משוואה מדוייקת.

עריכה: אוקי, לא חשוב, הבנתי.
עד כמה שאני מבין את מוצאת את רכיב k באותה דרך שמצאת אותו קודם, רק שעכשיו את דורשת שלוקטור המשיק (שהוא כיוון התנועה) יהיו רכיבי x,y בכיוון מינוס הגרדיינט, אבל הוא עדיין ניצב לגרדיינט (התלת ממדי).
נדמה לי שיוצאת אותה תשובה, 185-

אני לא מבין למה אתה ממיר את אלפא במקום להמיר רק את התוצאה הסופית ממטרים לשנייה לקילומטרים לשנייה.
אם אתה ממיר את אלפא ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?km%5E%7B-1%7D אתה צריך להמיר גם את A, כי הניוטון שיש לך ב-A הוא בעצם http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bkg%5C,m%7D%7Bsec%5E2%7D ואתה צריך להפוך אותו ל-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bkg%5C,km%7D%7Bsec%5E2%7D אם אתה רוצה שהיחידות של התוצאה הסופית יתאימו.
נראה לי פשוט יותר להמיר את המרחק http://www.codecogs.com/gif.latex?r_0 למטרים (כל שאר הגדלים נתונים ביחידות שמתאימות לתוצאת מהירות במטרים לשנייה) ואז להמיר את התוצאה הסופית ליחידות המבוקשות.

כן.
בנקודה נתונה, הכיוון שבו ההשתנות של הפונקציה מקסימלית ניצב לכיוון שבו היא לא משתנה כלל.

אז קל לראות שהגרדיינט יוצא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cnabla%20f(2,3)=(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+y%7D,%5Cfrac%7B1%7D%7Bx+y%7D)=%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(1,1)
ווקטור היחידה המתאים הוא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Chat%7Bn%7D=(%5Ccos(135%5E%7B%5Ccirc%7D),%5Csin(135%5E%7B%5Ccirc%7D))=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D(-1,1)
 
המכפלה הסקלרית ביניהם היא הנגזרת המכוונת וקל לראות שהיא מתאפסת:
http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20%5Cvec%7Bn%7D%7D=%5Cnabla%20f(2,3)%20%5Ccdot%20%5Chat%7Bn%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D(1,1)%20%5Ccdot%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D(-1,1)=0

נכון.
:oops:
 
הייתי מתחיל בלחפש פונקציה שאין לה גבול באפס, ואז תופר לה סדרה מתאימה שתתן את הגבול המתאים. אז פונקצייה מתאימה היא:
http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D
הפונקציה לא קבועה (היא 1 עבור x חיובי, 1- עבור x שלילי) ואין לה גבול באפס.
 
...מכאן אפשר להסיק שכל סדרה חיובית ששואפת לאפס תתן לנו את הגבול המבוקש, כי, בפרט, כל אבר בה מקיים http://www.codecogs.com/gif.latex?f(a_n)=1.
אז בסדרה אין מה להשקיע:
http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n=%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D

http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_r=u,_x%20e%5Er%20%5Ccos%20t+u,_y%20e%5Er%20%5Csin%20t
 
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Brr%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%5E2t+u,_%7Bxy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%20t%20%5Csin%20t%20+u,_%7Byx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%20t%20%5Ccos%20t%20+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%5E2t+e%5Er(u,_x%20%5Ccos%20t+u,_y%20%5Csin%20t)
 
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_t=-u,_x%20e%5Er%20%5Csin%20t+u,_y%20e%5Er%20%5Ccos%20t
 
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Btt%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%5E2t-u,_%7Bxy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%20t%20%5Csin%20t%20-u,_%7Byx%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Csin%20t%20%5Ccos%20t%20+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D%20%5Ccos%5E2t-e%5Er(u,_x%20%5Ccos%20t%20+%20u,_y%20%5Csin%20t)
 
כשאת מחברת את שתי הנגזרות השניות את מקבלת שהנגזרות המעורבות והאברים הפרופורציונים לנגזרות הראשונות מבטלים זה את זה וסה"כ:
http://www.codecogs.com/gif.latex?v,_%7Brr%7D+v,_%7Btt%7D=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D(%20%5Csin%5E2t+%5Ccos%5E2t)+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D(%5Ccos%5E2t+%5Csin%5E2t)=u,_%7Bxx%7D%20e%5E%7B2r%7D+u,_%7Byy%7D%20e%5E%7B2r%7D
או, מחלוקה באקספוננט:
http://www.codecogs.com/gif.latex?u,_%7Bxx%7D+u,_%7Byy%7D=e%5E%7B-2r%7D(v,_%7Brr%7D+v,_%7Btt%7D)

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x)=%5Cfrac%7Bxf(x)%7D%7Bx%7D
 
הפעל את אופרטור הגבול על אגף ימין. במונה יש לך ביטוי ששואף ל-1; במכנה יש לך ביטוי ששואף לאינסוף, ולכן השבר כולו חייב לשאוף לאפס.
אם אגף ימין שואף לאפס גם אגף שמאל חייב לשאוף לשם
:)

1.
א. לסטודנט לתואר גבוה יש פטור משכר לימוד אם הוא מלגאי בעל ארבע מנות מלגה ומעלה. מספר מנות המלגה המוקצה למשתלם משתנה מפקולטה לפקולטה. המנחה לתואר יכול להשלים את המכסה אם המספר הבסיסי לא מספיק לפטור משכר לימוד. הסכום שמרוויחים מתרגול לא גבוה (ובודאי שלא מכסה שכר לימוד אם אין פטור). בטכניון, ובמיוחד בדוקטורט, מקור ההכנסה העיקרי של המשתלם הוא המלגה ולא השכר על תרגול. בתואר שני אני מניח שהם יכולים להיות מאותו סד"ג אם אתה מוכן לתרגל מספיק שעות.
That said, אני חושב שאם אתה מוכן להתפשר על מגורים במעונות ולוותר על זוטות כגון אחזקת רכב לא אמורה להיות לך בעייה קשה מדי להסתדר כלכלית (ואני מודה שלא עשיתי מחקר מבוסס בנושא, זה יותר רושם שקבלתי).
 
ב. הבנתי שבפקולטות מסויימות יש סטודנטים מצטיינים לתואר ראשון שמתרגלים לקראת סוף התואר. זה תלוי בהיצע וביקוש - אם באותה פקולטה יש עודף של משתלמים לתארים גבוהים שרוצים לתרגל אני מניח שהם יקבלו עדיפות על סטודנטים לתואר ראשון. אתה צריך לברר בפקולטה שלך אם מחפשים מתרגלים.
 
2.
א. בדוקטורט אתה חייב למצוא מנחה שיסכים להנחות אותך. אם תמצא מנחה (בהנחה שהציונים לא באמת בעייה) אתה מסודר.
ב. קבלת המלגה (שוב, מעל מספר מסויים של מנות, 3 לזכרוני) מותנית בשהייה בטכניון ולא מאפשרת עבודה מחוץ לטכניון. מותר לעבוד בטכניון (תרגול).
 
יש אספקט אחד חשוב ביותר שלא התייחסת אליו וכדאי שתחשוב עליו - אתה צריך לזכור שאם המטרה שלך היא להיות חוקר ומרצה היא לא מושגת ברגע שסיימת את הדוקטורט.
אפילו אם סיימת אותו באופן מזהיר, בדרך כלל תידרש לפוסט-דוקטורט אחד לפחות בחו"ל ואחר כך תידרש למצוא תקן פנוי בתחום המחקר שלך. אם אתה לא מגביל את החיפושים שלך לארץ כנראה לא תהיה בעייה, אבל אם אתה רוצה להישאר בארץ - זו תהיה בעייה, כי כמעט בכל האוניברסיטאות ובכל התחומים מספר התקנים מצומצם והתחרות עליהם עזה.
אם אתה נעול על המסלול האקדמי כדאי לבחור את נושא ומנחה הדוקטורט בזהירות יתרה ע"מ שתבטיח לעצמך סיכוי טוב יותר להשיג תקן במוסד טוב.
אני לא מנסה לרפות את ידיך, אבל חשוב שתהיה מודע לבעייה הזו לפני שאתה ממשיך ללימודים גבוהים. לא נראה לי שהמצב הזה הולך להשתפר עד שתסיים דוקטורט.

את גוזרת את z לפי t בעזרת כלל השרשרת:
http://www.codecogs.com/gif.latex?z'(t)=-2xx'(t)+4yy'(t)-3x'(t)-2y'(t)
עכשיו כל מה שנשאר לך לעשות כדי למצוא את הקצב המבוקש (אגף שמאל) זה להציב באגף ימין את ערכי x,y ואת הנגזרות http://www.codecogs.com/gif.latex?x',y' בנקודה (נתונות) כדי להגיע לתוצאה המספרית המבוקשת.

אם אתה רוצה סדרה שתלוייה ב-n ולא סדרה קבועה, אפשר את
 
http://www.codecogs.com/gif.latex?a_n=1-%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%7D