עזרה מד"ר

[riovelo]

אוקיי. את המשוואה הראשונה פשוט צריך לפתור. בדקתי וגיליתי שהיא לא מדוייקת. לכן חיפשתי גורם אינטגרציה M(y) כך שאם מכפילים בו את שני האגפים של המשוואה מקבלים משוואה מדוייקת. עשיתי את זה והגעתי לשני אגפים שלא הצלחתי לפתח יותר. כנ"ל לגבי השאלה השנייה. ניסיתי למצוא f(x^2+y^2 שתהיה לי משוואה מדוייקת, עשיתי נגזרות חלקיות, ושוב, כמו בשאלה הקודמת לא הצלחתי לפתח את האגפים כך שיתקבל לי פתרון ל  
 f(x^2+y^2
אשמח לעזרה, תודה

[אודי]

2. נכפיל את המשוואה ב-f ונקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?fydx-f(x%5E2+y%5E2+x)dy=%5CPhi,_xdx+%5CPhi,_ydy=0

 

נחשב את הנגזרת המעורבת http://www.codecogs.com/gif.latex?%5CPhi_,%7Bxy%7D משני האברים ונדרוש שוויון.

נזכור בגזירה את כלל השרשרת, כלומר כשגוזרים את f לפי x או y מקבלים תמיד מכפלה של הנגזרת לפי הארגומנט http://www.codecogs.com/gif.latex?f' ב-2x או 2y.

 

נקבל:

http://www.codecogs.com/gif.latex?2y%5E2f'+f=-2xf'(x%5E2+y%5E2+x)-(2x+1)f

 

ולאחר העברת אגפים וחלוקה ב-2:

http://www.codecogs.com/gif.latex?(x%5E2+y%5E2)(x+1)f'=-(x+1)f

 

או:

http://www.codecogs.com/gif.latex?f'=-%5Cfrac%7Bf%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D

 

אבל http://www.codecogs.com/gif.latex?f' היא נגזרת של f לפי http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2, ולכן נובע:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f'%5C(r%5C)=-%5Cfrac%7Bf%5C(r%5C)%7D%7Br%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cln(f%5C(r%5C))=-%5Cln%5C(r%5C)

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f%5C(r%5C)=%5Cfrac%7B1%7D%7Br%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?f(x%5E2+y%5E2)=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D

 

מכאן והלאה זה פתרון של משוואה מדוייקת.

[אודי]

גורם האינטגרציה בשאלה הראשונה (4) הוא דווקא פונקצייה של x. לפי אותם שלבים (רק שעכשיו לא צריך את כלל השרשרת כי http://www.codecogs.com/gif.latex?M' היא נגזרת חלקית לפי x):

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?M(3x%5E2y+2xy+y%5E3)dx+M(x%5E2+y%5E2)dy=0

 

1. השוואת הנגזרות המעורבות:

http://www.codecogs.com/gif.latex?M(3x%5E2+2x+3y%5E2)=M'(x%5E2+y%5E2)+2xM

 

2. העברת אגפים:

http://www.codecogs.com/gif.latex?3M(x%5E2+y%5E2)=M'(x%5E2+y%5E2)

 

3. צמצום:

http://www.codecogs.com/gif.latex?M'=3M

 

4. פתרון:

http://www.codecogs.com/gif.latex?M=e%5E%7B3x%7D

 

5. ומכאן והלאה - משוואה מדוייקת.

[riovelo]

לגבי השאלה הראשונה. לא כל כך הבנתי מה בדיוק נעשה בהתחלה. כלומר, איך אתה רואה שגורם האינטגרציה הוא פונקציה לפי x? דבר שני, לפי מה הפכת שתי פונקציות לארגומנטים של M?

ולגבי השאלה השנייה- למה לפי זה ש- 'f היא נגזרת של f לפי x^2+y^2 אמרת ש f=x^2+y^2?

[אודי]

1. ניסוי וטעייה. ראיתי שאני לא מגיע למשוואה נוחה עם גורם אינטגרציה שהוא פונקצייה של y.

    ...אפשר היה לקבל אינטואיציה מכך שאחת הנגזרות הראשונות (הארוכה, עם יותר מידע) מכילה את y בכל איבר שלה אך לא את x, אבל זה לא תמיד עובד.

 

2. שים לב לתיקון בעריכה. היה שם סימן ששכחתי ששינה את התשובה.

[riovelo]

אוקיי, לגבי השאלה השנייה- הבנתי.
לגבי הראשונה- עדיין לא הבנתי מדוע 3x^2*y+2xy+y^3
ו-
 x^2+y^2
הוכנסו כארגומנטים בפונקציה M, ולאחר שהם הוכנסו, מה נעשה בשלב השוואת הנגזרות המעורבות.

[אודי]

הם לא הוכנסו כארגומנטים. אלו סוגריים של גורם משותף. הפונקציה M מכפילה אותם (כמו ש-f הכפילה את המשוואה בבעייה השנייה).

כאמור, M היא פונקציה של x בלבד.

שלבי הפתרון בשתי הבעיות זהים.

[riovelo]

אוקיי, עכשיו התבהרה לי התמונה.
אז שוב תודה! כרגיל

[אודי]

:)