חתך של מישור עם משטח

[מנוי]

אני מנסה להבין את הקביעה הנחרצת הזאת:

 

http://i.imgur.com/YaStK4W.png

 

 

נניח שיש לנו פרבואליד קנוני(x^2+y^2=z),ואני מעביר מישור (z=0) בנקודה(0,0,0),אז אני מקבל שהחתך הוא נקודה.

 

נניח שיש לי היפרבוליד חד-ירעתי (x^2+y^2-z^2=1) ואני מעביר משטח(X=1),אני מקבל זוג ישרים נחתכים.

איך זה מסתדר עם הקביעה שלמעלה?

[אסף]

ניתן לבטא נקודה או זוג קווים נחתכים כנ"ל באמצעות משוואה של הנעלמים בריבוע ולכן הם עקומים ריבועיים.

[מנוי]

ניתן לבטא נקודה או זוג קווים נחתכים כנ"ל באמצעות משוואה של הנעלמים בריבוע ולכן הם עקומים ריבועיים.

כמו X^2+y^2+z^2=0

ו-    Y=1 ,Z^2=X^2

?

[אסף]

כן. אולי מתייחסים לעקום הריבועי כעקום דו ממדי במישור החותך, ואז נשארים רק עם ריבועים כי לא מציינים ש

z/x=0

[מנוי]

איך אפשר להוכיח את הטענה הזאת עבר המקרה הכללי?

כלומר נתון משטח ריבועי כלשהו ,ומישור  כלשהו שחותך אותו.  איך ניתן להוכיח שהחתך של המשטח עם המישור הוא תמיד עקום ריבועי, ולא ייתכן במצב שיווצר קו ישר למשל?

[אסף]

משוואת מישור היא משוואה ליניארית בשלושה נעלמים, כלומר, במידה ונתונים לך שני נעלמים תדע מה הקואורדינטה השלישית שצריך כדי להיות על המישור. שתי דרגות חופש. משטח ריבועי מוגדר על ידי משוואה בה כל הנעלמים הם בריבוע, חיתוך עם מישור בסך הכל מוריד את מספר המשתנים החופשיים באחד. מה שנותן לנו משוואה ריבועית עם שני נעלמים.

[מנוי]

משוואת מישור היא משוואה ליניארית בשלושה נעלמים, כלומר, במידה ונתונים לך שני נעלמים תדע מה הקואורדינטה השלישית שצריך כדי להיות על המישור. שתי דרגות חופש. משטח ריבועי מוגדר על ידי משוואה בה כל הנעלמים הם בריבוע, חיתוך עם מישור בסך הכל מוריד את מספר המשתנים החופשיים באחד. מה שנותן לנו משוואה ריבועית עם שני נעלמים.

 

 

האם פרבולאיד הוא משטח ריבועי, כי במשוואה שלו לא כל הנעלמים הם בריבוע?(http://www.codecogs.com/gif.latex?x%5E2+y%5E2=z)?

[אסף]

צודק, לא דייקתי, אבל אני חושב שזה לא מפריע לעיקרון.