מעבר קורדינטות ממערכת קרטזית אחת למערכת קרטזית שמסובבת ביחס אליה בזוית טאטא.

[מנוי]

המשוואה המפורסמת של מעבר ממערכת קרטזית לא מסובבת למערכת קרטזית מסובבת(עם כיוון השעון) היא:

x=x_R*cos(teta)+y_R*sin(teta)gggggg

y=-x_R*sin(teta)+y_R*cos(teta)gggggggg

 

אני ניסיתי להוכיח אותה, והוכחתי אותה ברביע ראשון ,עבור שני המצבים(המצב שבו ציר Y המסובב נמצא מעל לנקודה P כלשהי ,ועבור המצב שבו ציר Y המסובב נמצא מתחת לנקודה P כלשהי).

עברתי לרביע שני וגם שמה הוכחתי אותה עבור אחד מהמצבים, אך שמתי לב שבכל רביע אני נאלץ לבצע שיקולים אחרים(למשל להשתמש בזה שברביע השני רכיב X_R וX הם שליליים ורכיב הY_R חיובי, וכיוצא בזה).

כלומר ההוכחות עבור הרביעים השונים אינן סימטריות.

 

אז נניח שנתונה לי צורה גיאומטרית המונחת על צירים קרטזיים כך שכל הנקודות נמצאים בכל אחד ואחד מהרביעים.

האם כדי להוכיח את הנוסחא אני צריך לבדוק את כל 8 האופציות(בכל רביע יש להתחשב אם הנקודה P היא מעל לציר הרלוונטי או מתחתיו, למשל ברביע השני יש להתחשב אם הנקודה P היא מעל להמשכו אחורונית של ציר X או מתחתיו וכיוצא בזה), או שישנה דרך יותר אלגנטית?

[אודי]

שמתי לב שבכל רביע אני נאלץ לבצע שיקולים אחרים(למשל להשתמש בזה שברביע השני רכיב X_R וX הם שליליים ורכיב הY_R חיובי, וכיוצא בזה).

כלומר ההוכחות עבור הרביעים השונים אינן סימטריות.

מכיוון שהגדרת הטרנספורמציה זהה בכל הרבעים זה לא יכול להיות נכון, אבל אני חושד שהויכוח פה סמנטי.

X_R ו-Y_R כוללים בתוכם סימן, כך שאם אתה משתמש בגיאומטריה אתה צריך להתאים את הסימן בכל רביע כדי לקשר בין ההטלים שאתה עובד איתם לרכיבי הוקטור שאתה ממיר. ואתה צריך לעשות את זה בכל רביע. אז ההוכחה לא "זהה" טכנית כי הסימנים שונים בכל רביע אבל היא סימטרית בין הרבעים כי בכולם אתה צריך לבצע את שלב התאמת הסימן.

 

בכל מקרה, דרך פשוטה וכללית יותר להראות שהטרנספורמציה הזו נכונה בלי להטריד את עצמך ברבעים היא לבצע מכפלה סקלרית בין הוקטור המקורי http://www.codecogs.com/gif.latex?(X_R,Y_R) לוקטור המומר http://www.codecogs.com/gif.latex?(X_R%5Ccos(%5Ctheta)+Y_R%5Csin(%5Ctheta),-X_R%5Csin(%5Ctheta)+Y_R%5Ccos(%5Ctheta)), להשוות להגדרת המכפלה הסקלרית http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot%5Cvec%7Bb%7D=%7Ca%7C%7Cb%7C%5Ccos(%5Calpha) ולראות שהזווית אלפא (בין הוקטור המקורי לוקטור במערכת המסובבת) היא אמנם תטא. מכיוון שאתה יכול גם לוודא שהגודל שלהם זהה, אתה רואה שהמטריצה עשתה את הפעולה המבוקשת ממטריצת סיבוב.

 

[אודי]

...אם אתה רוצה להוכיח שהנוסחה מתאימה לסיבוב מערכת הצירים נגד/עם כיוון השעון אתה יכול להסתכל על הסימן של המכפלה הוקטורית בין שני הוקטורים.

[מנוי]

 

שמתי לב שבכל רביע אני נאלץ לבצע שיקולים אחרים(למשל להשתמש בזה שברביע השני רכיב X_R וX הם שליליים ורכיב הY_R חיובי, וכיוצא בזה).

כלומר ההוכחות עבור הרביעים השונים אינן סימטריות.

 

....ולראות שהזווית אלפא (בין הוקטור המקורי לוקטור במערכת המסובבת) היא אמנם תטא. מכיוון שאתה יכול גם לוודא שהגודל שלהם זהה, אתה רואה שהמטריצה עשתה את הפעולה המבוקשת ממטריצת סיבוב.

איך אני יכול לוודא שהגדול זהה? בגלל שסיבוב לא יכול להשפיע על הגודל? כי כל הוכחה אחרת שראיתי לזה שהגודל זהה, עוברת למעשה דרך הטרנפורנציה הזאת.

[אודי]

אתה מחשב את הגודל של כל וקטור מפיתגורס ומקבל שהוא אותו הדבר.

[מנוי]

אני די מבולבל. אשמח אם תוכל לעשות לי סדר בראש.
איך אני מוכיח את הטרנפורמציה שבצילום הבא:
http://i.imgur.com/g4CYSOA.png



אני הצלחתי להוכיח אותה כאמור ברביע הראשון, אבל מכיוון שבצד אחד יש לי X(גל) וY(גל) ,ובצד האחר יש לי X וY רגילים, אני לא ממש מבין איך אני יכול להתקדם מפה. אם אני עושה פיתגרוס כדי להראות שזהו אותו גודל, אני מקבל לכאורה שני ביטויים שונים.

[אודי]

אם הטרנספורמציה הזו אכן מסובבת את מערכת הצירים בזוית תטא עם כיוון השעון, הרי שאם נסתכל על הוקטור בקואורדינטות החדשות נראה שהוא מסובב ביחס לוקטור בקואורדינטות הישנות בזוית תטא נגד כיוון השעון. כלומר, לשני הוקטורים יש אותו גודל והזווית ביניהם היא תטא.

 

1. הגודל של הוקטור בקואורדינטות החדשות:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C=%7C(X_R,Y_R)%7C=%5Csqrt%7BX_R%5E2+Y_R%5E2%7D

 

    הגודל של הוקטור בקואורדינטות המקוריות:

 

 http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C=%7C(x,y)%7C=%7C(X_R%5Ccos(%5Ctheta)+Y_R%5Csin(%5Ctheta),-X_R%5Csin(%5Ctheta)+Y_R%5Ccos(%5Ctheta))%7C=%5Csqrt%7B(X_R%5Ccos(%5Ctheta)+Y_R%5Csin(%5Ctheta))%5E2+(-X_R%5Csin(%5Ctheta)+Y_R%5Ccos(%5Ctheta))%5E2%7D

 

 http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C=%5Csqrt%7BX_R%5E2%5Ccos%5E2(%5Ctheta)+2X_RY_R%5Ccos(%5Ctheta)%5Csin(%5Ctheta)+Y_R%5E2%5Csin%5E2(%5Ctheta)+X_R%5E2%5Csin%5E2(%5Ctheta)-2X_RY_R%5Ccos(%5Ctheta)%5Csin(%5Ctheta)+Y_R%5E2%5Ccos%5E2(%5Ctheta)%7D

 

ואחרי שמצמצמים ומחברים ריבועי סינוסים וקוסינוסים מקבלים שהגודל של הוקטור לפני ואחרי הטרנספורמציה זהה:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C=%5Csqrt%7BX_R%5E2+Y_R%5E2%7D=%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C

[אודי]

2. עכשיו אנחנו מוודאים שהזוית בין הוקטור בקואורדינטות החדשות לוקטור בקואורדינטות הישנות היא באמת תטא. נעשה מכפלה סקלרית בשביל זה. אם נסמן את הזוית בין הוקטורים באלפא (ואנחנו רוצים להוכיח שאלפא שווה לתטא), הרי שמהגדרת המכפלה הסקלרית נובע:

 

א. http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot%5Cvec%7Bb%7D=%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C%5Ccos(%5Calpha)=(X_R%5E2+Y_R%5E2)%5Ccos(%5Calpha)

 

מצד שני, אפשר לבטא את המכפלה הסקלרית בין שני הוקטורים כסכום מכפלות רכיבים ולקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot%5Cvec%7Bb%7D=X_R%5E2%5Ccos(%5Ctheta)+X_RY_R%5Csin(%5Ctheta)-Y_RX_R%5Csin(%5Ctheta)+Y_R%5E2%5Ccos(%5Ctheta)

 

ב. http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot%5Cvec%7Bb%7D=(X_R%5E2+Y_R%5E2)%5Ccos(%5Ctheta)

 

נובע מייד מהשוואה בין הביטויים א' וב' ש-http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha=%5Ctheta, כלומר הזווית בין הוקטורים היא באמת תטא.

[אודי]

3. עד כה הוכחנו שקבלנו אחרי הטרנספורמציה את אותו וקטור מסובב בזוית תטא, עכשיו מה שנשאר להוכיח הוא שסיבוב מערכת הצירים היה אמנם עם כיוון השעון. כאמור נובע מזה שהוקטור בקואורדינטות החדשות יהיה מסובב ביחס לוקטור בקואורדינטות הישנות נגד כיוון השעון, כלומר שהמכפלה הוקטורית בין הוקטור בקואורדינטות הישנות לוקטור בקואורדינטות החדשות תהיה בכיוון z+, עד כדי פקטור סינוס תטא (נובע מכלל יד ימין). ואמנם מתקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bb%7D%5Ctimes%5Cvec%7Ba%7D=%5BX_RY_R%5Ccos(%5Ctheta)+Y_R%5E2%5Csin(%5Ctheta)+X_R%5E2%5Csin(%5Ctheta)-X_RY_R%5Ccos(%5Ctheta)%5D%5Chat%7Bz%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bb%7D%5Ctimes%5Cvec%7Ba%7D=(X_R%5E2+Y_R%5E2)%5Csin(%5Ctheta)%5C,%5Chat%7Bz%7D

 

שים לב שהדבר הזה חיובי רק כל עוד תטא קטנה מ-180, אבל החלפת הסימן עדיין מתאימה לסיבוב נגד כיוון השעון.

[מנוי]

3. עד כה הוכחנו שקבלנו אחרי הטרנספורמציה את אותו וקטור מסובב בזוית תטא, עכשיו מה שנשאר להוכיח הוא שסיבוב מערכת הצירים היה אמנם עם כיוון השעון. כאמור נובע מזה שהוקטור בקואורדינטות החדשות יהיה מסובב ביחס לוקטור בקואורדינטות הישנות נגד כיוון השעון, כלומר שהמכפלה הוקטורית בין הוקטור בקואורדינטות הישנות לוקטור בקואורדינטות החדשות תהיה בכיוון z+, עד כדי פקטור סינוס תטא (נובע מכלל יד ימין). ואמנם מתקבל:

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bb%7D%5Ctimes%5Cvec%7Ba%7D=%5BX_RY_R%5Ccos(%5Ctheta)+Y_R%5E2%5Csin(%5Ctheta)+X_R%5E2%5Csin(theta)-X_RY_R%5Ccos(%5Ctheta)%5D%5Chat%7Bz%7D

 

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7Bb%7D%5Ctimes%5Cvec%7Ba%7D=(X_R%5E2+Y_R%5E2)%5Csin(%5Ctheta)%5C,%5Chat%7Bz%7D

 

שים לב שהדבר הזה חיובי רק כל עוד תטא קטנה מ-90, אבל החלפת הסימן עדיין מתאימה לסיבוב נגד כיוון השעון.

למה כול עוד תטא קטנה מ90? פונקציית סינוס חיובית בכל התחום מ0 עד 180 מעלות,לא?

[אודי]

צודק. התבלבלתי עם קוסינוס.

:oops: