שאלה בהסתברות

[mobi]

שלום לכולם,

יש לי שאלה בהסתברות שאשמח אם תעזרו לי לפתור:

מחלקים חפיסה רגילה של קלפי (52 קלפים) ל-4 שחקנים באופן אחיד.

א. מה ההסתברות שאחד השחקנים מקבל את כל 13 קלפי העלה?

ב. מה ההסתברות שכל שחקן מקבל בדיוק אס אחד?

-יש לפתור מבלי להשתמש בהסתברות מותנית.

 

תודה לעוזרים!

[radagast]

א. ננסה לבדוק מהן כלל האפשרויות: לשחקן הראשון יש לבחור 13 קלפים מתוך 52, לשחקן השני יש לבחור 13 קלפים מתוך ה-39 הנותרים, לשחקן השלישי יש לבחור 13 מתוך ה-26 הנותרים ולשחקן הרביעי יש אפשרות אחת - הקלפים שנותרו.

עבור המקרה השני שבו שחקן אחד מקבל את 13 קלפי העלה, מספר האפשרויות הוא הבחירה של 13 מתוך 39 עבור השחקן השני, 13 מתוך 26 עבור השחקן השלישי ושאר הקלפים הולכים לשחקן האחרון.

ב. כנ"ל, צריך לבדוק מהן מספר האפשרויות שבהן כל שחקן קיבל אס יחיד - צריך למצוא את שאר האפשרויות של הקלפים.

[incog]

לגבי 1:

 

יותר פשוט זה לשים לב שההסתברות שקלף מסוים יגיע לשחקן X היא רבע.

חלוקת הקלפים היא בלתי תלויה, ולכן הסיכוי ש-13 קלפי האס יגיעו לשחקן X היא (1/4)^13,

מכיוון שיש ארבעה שחקנים, והחיתוך בין המאורעות הוא 0 (כלומר לא יתכן ששני שחקנים יקבלו 13 אסים), אזי ההסתברות היא:

 

(1/4)^12

[-ליאור]

אינקוג, זה לא מדוייק. מה שאתה אומר שקול לזה שאם מחלקים את הקלפים בסבב, אתה רוצה שהספיידים יהיו תמיד במקום קבוע בכל רביעייה ואז יגיעו לאותו שחקן, ואז אתה מחשב שההסתברות לכך היא רבע ב-13 (כפול 4 כי לא משנה איזה שחקן זה יהיה). זה לא נכון כי הנחת שלא יכולים להיות 2 ספיידים או יותר באותה "רביעייה", ואז לעולם לא תוכל לתת לאותו שחקן את כולם.

(אגב, אני חושב שבהסבר שלך הבעיה היא עם "חלוקת הקלפים היא בלתי תלויה")

 

נראה לי שהדרך הפשוטה היא "כאילו" לסדר את הערימה כך שכל שחקן מקבל רבע רציף ממנה, ואז להסתכל על מספר הסידורים שבו כל הספיידים הם ברצף ברבע אחד (בסדר כלשהו) והשאר מעורבבים בסדר כלשהו, מתוך כלל הסידורים של 52 קלפים. זה קל לחישוב עם עצרות - 4 (בחר 1 מארבעת הרבעים), כפול 13 עצרת, כפול (52-13) עצרת

[incog]

אינקוג, זה לא מדוייק. מה שאתה אומר שקול לזה שאם מחלקים את הקלפים בסבב, אתה רוצה שהספיידים יהיו תמיד במקום קבוע בכל רביעייה ואז יגיעו לאותו שחקן, ואז אתה מחשב שההסתברות לכך היא רבע ב-13 (כפול 4 כי לא משנה איזה שחקן זה יהיה). זה לא נכון כי הנחת שלא יכולים להיות 2 ספיידים או יותר באותה "רביעייה", ואז לעולם לא תוכל לתת לאותו שחקן את כולם.

(אגב, אני חושב שבהסבר שלך הבעיה היא עם "חלוקת הקלפים היא בלתי תלויה")

 

נראה לי שהדרך הפשוטה היא "כאילו" לסדר את הערימה כך שכל שחקן מקבל רבע רציף ממנה, ואז להסתכל על מספר הסידורים שבו כל הספיידים הם ברצף ברבע אחד (בסדר כלשהו) והשאר מעורבבים בסדר כלשהו, מתוך כלל הסידורים של 52 קלפים. זה קל לחישוב עם עצרות - 4 (בחר 1 מארבעת הרבעים), כפול 13 עצרת, כפול (52-13) עצרת

 

אתה צודק, החלוקה היא לא בלתי תלויה כי כל השחקנים צריכים לקבל מספר שווה של קלפים (היא הייתה בלתי תלויה אם לא היה אכפת לך כמה קלפים מקבל כל אחד).

[טמבוויל]

א. 13 עצרת כפול 39 עצרת לחלק ל-52 עצרת. זה הסיכוי שהשחקן הראשון יקבל 13 קלפים ספציפיים. תכפיל ב- 4 מכיוון שיש לך 4 שחקנים.

ב. אותו דבר כמו א, רק הפעם יש לך 4 קלפים ספציפים. לכן - 4 עצרת כפול 48 עצרת לחלק ל-52 עצרת. תכפיל שוב במספר השחקנים -4. מכיוון שיש אפשרויות לסדר שליפת האסים, צריך להכפיל במס' האפשרויות לסדר 4 אסים בחבילה של 13 קלפים. לכן כופלים ב- 13 עצרת לחלק למכפלה של 9 עצרת ו-4 עצרת.