איך מוכיחים שהטור הזה מתכנס?

[מנוי]

http://i.imgur.com/jXlGGDA.png

 

 

חשבתי על מבחן האינטגרל ,אבל איך אפשר לעשות אותו פה?

[אודי]

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cintop_%7B1%7D%5E%7B%5Cinfty%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cln(1+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D))dx=%5Cintop_%7B1%7D%5E%7B0%7D(y-%5Cln(1+y))%5Ctimes(-%5Cfrac%7B1%7D%7By%5E%7B2%7D%7D)dy=%5Cintop_%7B0%7D%5E%7B1%7D(%5Cfrac%7B1%7D%7By%7D-%5Cfrac%7B%5Cln(1+y)%7D%7By%5E%7B2%7D%7D)dy=%5Cfrac%7B(1+y)%5Cln(1+y)%7D%7By%7D%7C_%7B0%7D%5E%7B1%7D=2%5Cln2-1
 

אתה צריך לבצע החלפת משתנים (http://www.codecogs.com/gif.latex?y=%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D)  ולהשתמש בלופיטל פעם אחת (לחישוב הגבול התחתון באינטגרל האחרון). אבל זה פתיר.