[הסתברות] התפלגות גמה

[yoni]

http://i.imgur.com/XEFLxic.jpg

 

לא הבנתי את התשובה לסעיף א':

1. מה הכוונה "תקלות עוקבות במנוע" - איפה כתוב שהמנוע בכלל חוזר לעבוד אחרי שהוא מתקלקל?

2. איך הסיקו שהזמן בין התקלות הוא אקספוננציאלי?

3. למה טוענים שהמנוע שובק חיים לאחר התקלה השנייה דווקא? למה לא אחרי הראשונה?

[Home@]

הכל מגיע מכך שהתפלגות גאמא קשורה בקשר הדוק לתהליך פואסון הומוגני. 

 

נניח שיש לנו תהליך הגעה פואסוני עם קצב http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda. אנחנו יודעים שבתהליך כזה:

1. מספר המופעים עד זמן http://www.codecogs.com/gif.latex?t מתפלג פואסון עם פרמטר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda%20%5Ccdot%20t

2. הזמן בין מופע למופע מתפלג מעריכית עם פרמטר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda (והזמנים השונים הם ב"ת)

 

אנחנו גם יודעים שסכום של n מ"מ מעריכיים בלתי תלויים עם פרמטר http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda מתפלג http://www.codecogs.com/gif.latex?Gamma(n,%20%5Clambda). במסגרת התהליך, המשמעות של סכום כזה היא משך הזמן שעבר עד המופע ה-n של התהליך. השאלה האם הזמן שעבר עד המופע ה-n גדול מ-x כלשהוא, שקולה לשאלה האם עד הזמן ה-x היו פחות מ-n מופעים - וזו שאלה שכאמור אפשר לענות עליה לפי (1), עם התפלגות פואסון.

 

למה כל זה עוזר לנו? היות ופונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות גאמא היא לא משהו שאפשר לחשב אנליטית, אפשר ללכת אחורה "ולהמציא" תהליך פואסון שיוכל להסביר את המשתנה המבוקש. פה יש לנו http://www.codecogs.com/gif.latex?Gamma(2,1), כלומר זמן המופע השני בתהליך פואסון בעל קצב http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda%20=%201. לשאול האם המופע השני הגיע אחרי חודשיים שקול לשאלה האם במשך חודשיים היה לכל היותר מופע אחד בתהליך.

 

כל הסיפור על כך שמנוע מתקלקל אחרי שתי תקלות וכו', הוא באמת רק סיפור שנועד לתת איזשהיא אינטואיציה למה שנאמר לעיל. תהליך הפואסון שנבנה הוא מלאכותי לחלוטין ולא צריך להיות קשור לנושא של השאלה.

 

מקווה שהצלחת להבין...