גבולות בשני משתנים (חדו"א 2ת מתנט)

[yoni]

כל עזרה תתקבל בברכה:

 

שאלה ראשונה:

 
http://i.imgur.com/Juqcg65.png
 
בגבול הראשון אני עושה הצבה ונתקע. אפילו קואורדינטות פולאריות לא עוזרות.
 
בגבול השני ניסיתי לפתור עם כלל הסנדויץ' אבל אני לא מגיע לפתרון.

 

שאלה שנייה:
 
http://i.imgur.com/6fA8rr5.png
 
פה הבנתי ש-A צריך להיות שווה לגבול של הפונקציה מהענף העליון אבל אני לא מצליח לחשב את הגבול שלה. השתמשתי בזהות http://www.codecogs.com/gif.latex?1-cos(2xy)=2sin%5E2(xy) ואין לי מושג איך להמשיך מכאן.

[Fluff]

בגבול השני, תשתמש בזהות http://www.codecogs.com/gif.latex?%7C%5Cfrac%7Bxy%7D%7Bx%5E2+y%5E2%7D%7C%5Cleq%7C%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%7C וזה פותר את זה.

בשאלה השנייה, אחרי השימוש בזהות שרשמת תחלק ותכפיל ב-pi*y (ואז תקבל את הגבול הידוע sin(t)/t).

 

אגב, מה המספר של הגליון במתנט?

[Flying Python]

הגבול הראשון:

http://www.codecogs.com/gif.latex?%5C0%5Cle%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B%5Ctan%20(v)%7B%7B%5Csin%20%7D%5E%7B2%7D%7D(5u-v)%7D%7B%7B%7Bu%7D%5E%7B2%7D%7D+%7B%7Bv%7D%5E%7B2%7D%7D%7D%20%5Cright%7C%5Cle%20%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B%5Csin%20v%7D%7B%5Ccos%20v%7D%7B%7B%5Csin%20%7D%5E%7B2%7D%7D(5u-v)%7D%7B2uv%7D%20%5Cright%7C=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cunderbrace%7B%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B%5Csin%20v%7D%7Bv%7D%20%5Cright%7C%7D_%7B%5Cto%201%7D%5Ccdot%20%5Cunderbrace%7B%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%20v%7D%20%5Cright%7C%7D_%7B%5Cto%201%7D%5Ccdot%20%5Cunderbrace%7B%5Cleft%7C%20%5Cfrac%7B%5Csin%20(5u-v)%7D%7B5u%7D%20%5Cright%7C%7D_%7B%5Cto%201%7D%5Ccdot%205%5Ccdot%20%5Cunderbrace%7B%5Cleft%7C%20%5Csin%20(5u-v)%20%5Cright%7C%7D_%7B%5Cto%200%7D%5Cto%200

(אופס, גלש שורה. הכוונה בחץ האחרון שכל המכפלה שואפת לאפס.)

[yoni]

Fluff - קודם כל, תודה על העזרה. לגבי הגבול השני, לא ברור לי איך הנוסחה הזו יכולה לעזור לפתור את הגבול הזה. לגבי השאלה השנייה, שמתי לב עכשיו שאני אמור להגיע לכך שהגבול לא קיים (אחרת המתנט מוריד לי ניקוד). לגבי מספר הגיליון - זה גיליון תרגילי בית 4.

 

Flying Python - תודה, אבל לא ברור לי למה http://www.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Csin%20(5u-v)%7D%7B5u%7D שואף ל-1 - הרי זה לא בדיוק sin t/t. חוץ מזה שלפי wolfram אין בכלל גבול (קישור).

[Fluff]

אתה אמור להשתמש בנוסחא עם x^3 ו-y^6 ולא עם x ו-y (ואז חסמת את זה עם משהו גדול יותר ואפס, ואז סנדוויץ' רגיל).

בקשר לשאלה השנייה צריכים למצוא מסלול בו הגבול לא קיים, יכול להיות שניתן להשתמש ב-x=t, y=1? (ואז יש חלוקה באפס והגבול לא קיים) אשמח אם מישהו יאמת את זה.

 

אה ובלינק שהבאת זה רושם שאין גבול בקומפלקסיים, ובחדו"א 2ת' מתעסקים רק בממשיים.

[yoni]

אתה אמור להשתמש בנוסחא עם x^3 ו-y^6 ולא עם x ו-y (ואז חסמת את זה עם משהו גדול יותר ואפס, ואז סנדוויץ' רגיל).

 

אוקי, הבנתי - תודה!

 

 

בקשר לשאלה השנייה צריכים למצוא מסלול בו הגבול לא קיים, יכול להיות שניתן להשתמש ב-x=t, y=1? (ואז יש חלוקה באפס והגבול לא קיים) אשמח אם מישהו יאמת את זה.

לי נראה שצריך למצוא 2 מסלולים שונים שנותנים גבולות שונים אבל לא מצאתי כאלה.

 

 

 

בלינק שהבאת זה רושם שאין גבול בקומפלקסיים, ובחדו"א 2ת' מתעסקים רק בממשיים.

 

נראה לי שהכוונה שיכול להיות גבול אם מתייחסים למספרים מרוכבים אבל אם יש גבול בממשיים היה כתוב מהו. יכול להיות שיש טעות באתר (זה קורה לפעמים עבור פונקציות מסובכות) אבל לא ברור לי איך מוכיחים שהגבול הוא 1.